因式分解精選例題(附答案)-供參考

1、因式分解 例題講解及練習(xí)【例題精選】： （1） 評析：先查各項(xiàng)系數(shù)（其它字母暫時不看），確定5，15，20的最大公因數(shù)是5，確定系數(shù)是5 ，再查各項(xiàng)是否都有字母X，各項(xiàng)都有時，再確定X的最低次冪是幾，至此確認(rèn)提取X2，同法確定提Y，最后確定提公因式5X2Y。提取公因式后，再算出括號內(nèi)各項(xiàng)。解： =（2） 評析：多項(xiàng)式的第一項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)，應(yīng)先提出負(fù)號，各項(xiàng)系數(shù)的最大公因數(shù)為3，且相同字母最低次的項(xiàng)是X2Y 解: = = =（3）(y-x)(c-b-a)-(x-y)(2a+b-c)-(x-y)(b-2a) 評析：在本題中，y-x和x-y都可以做為公因式，但應(yīng)避免負(fù)號過多的情況出現(xiàn)，所以應(yīng)提取y-x

2、解：原式=(y-x)(c-b-a)+(y-x)(2a+b-c)+(y-x)(b-2a) =(y-x)(c-b-a+2a+b-c+b-2a) =(y-x)(b-a)（4） 把分解因式 評析：這個多項(xiàng)式有公因式2x3，應(yīng)先提取公因式，剩余的多項(xiàng)式16y4-1具備平方差公式的形式解：=2=2=（5） 把分解因式 評析：首先提取公因式xy2，剩下的多項(xiàng)式x6-y6可以看作用平方差公式分解，最后再運(yùn)用立方和立方差公式分解。 對于x6-y6也可以變成先運(yùn)用立方差公式分解，但比較麻煩。 解： =xy2(x6-y6)= xy2= =（6）把分解因式 評析：把(x+y)看作一個整體，那么這個多項(xiàng)式相當(dāng)于(x+y

3、)的二次三項(xiàng)式，并且為降冪排列，適合完全平方公式。對于本例中的多項(xiàng)式切不可用乘法公式展開后再分解，而要注意觀察分析，善于把(x+y)代換完全平方公式中的a，（6Z）換公式中的解： =(x+y-6z)2（7） 把分解因式評析：把x2-2y2和y2看作兩個整體，那么這個多項(xiàng)式就是關(guān)于x2-2y2和y2的二次三項(xiàng)式，但首末兩項(xiàng)不是有理數(shù)范圍內(nèi)的完全平方項(xiàng)，不能直接應(yīng)用完全平方公式，但注意把首項(xiàng)系數(shù)提出后，括號里邊實(shí)際上就是一個完全平方式。解： = = =（8） 分解因式a2-b2-2b-1 評析：初看，前兩項(xiàng)可用平方差公式分解。采用“二、二”分組，原式=(a+b)(a-b)-(2b+1)，此時無法繼

4、續(xù)分解。再仔細(xì)看，后三項(xiàng)是一個完全平方式，應(yīng)采用“一、三”分組。解：a2-b2-2b-1= a2-(b2-2b+1)=a2-(b+1)2=a+(b+1)a-(b+1)=(a-b-1)(a+b+1)一般來說，四項(xiàng)式“一、三”分解，最后要用“平方差”。四項(xiàng)式“二、二”分組，只有前后兩組出現(xiàn)公因式，才是正確的分組方案。（9） 把a(bǔ)2-ab+ac-bc分解因式解法一：a2-ab+ac-bc=(a2-ab)+(ac-bc)=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c) 解法二：a2-ab+ac-bc=(a2+ac)-(ab+bc)=a(a+c)-b(a+c) =(a-b)(a+c)（10） 把分解因

5、式解法一： =解法二： =說明：例（2）和例（3）的解法一和解法二雖然分組不同，但卻有著相同的內(nèi)在聯(lián)系，即兩組中的對應(yīng)系數(shù)成比例。（2）題解法一 1：1，解法二也是1：1；（3）題解法一是1：1，解法二是2：（-3）(11) 分解因式評析：四項(xiàng)式一般先觀察某三項(xiàng)是否是完全平方式。如是，就考慮“一、三”分組；不是，就考慮“二、二”分組解法一：=解法二：= =解法三：= =（12） 分解因式(a-b)2-1-2c(a-b)+c2 評析：本題將（a-b）看作一個整體，可觀察出其中三項(xiàng)是完全平方式，可以“一、三”分組解：(a-b)2-1-2c(a-b)+c2 =(a-b)2-2c(a-b)+c2-1=

6、(a-b)-c2-1=(a-b-c)2-1-(a-b-c+1)(a-b-c-1)（13）分解因式8a2-5ab-42b2 8a -21b解：8a2-5ab-42b2 a +2b =(8a-21b)(a+2b) -21ab+16ab=-5ab（14） 分解因式a6-10a3+16 解：a6-10a3+16 a3 -2 =( a3-2)( a3-8) a3 -8 =( a3-2)(a-2)(a2+2a+4) -8a3-2a3 =-10a3（15） 分解因式-x2+x+30解：-x2+x+30 （先提出負(fù)號） x +5 =-( x2-x-30) x -6 =-(x+5)(x-6) +5x-6x=-x

7、（16） 分解因式12(x+y)2-8(x+y)-7 解：12(x+y)2-8(x+y)-7 2(x+y) +1 =2(x+y)+16(x+y)-7 6(x+y) -7 =(2x+2y+1)(6x+6y-7) -14+6=8（17）把分解因式評析：此題是一個五項(xiàng)式，它能否分組分解，要看分組后組與組之間是否出現(xiàn)公因式或是否符合公式。本題注意到后三項(xiàng)當(dāng)把-1提出后，實(shí)際上是按立方差公式分解后的一個因式：解： = = =（18） 把分解因式評析：把看成一組符合完全平方公式，而剩下的三項(xiàng)把-1提出之后恰好也是完全平方式，這樣分組后又可用平方差公式繼續(xù)分解。解： = = =（19）分解因式 評析：先不要

8、把前面兩個二次三項(xiàng)式的乘積展開，要注意到這兩個二次三項(xiàng)式的前兩項(xiàng)都是這一顯著特點(diǎn)，我們不妨設(shè)=a可得（a+1）（a+2）-6即a2+3a+2-6，即a2+3a-4，此時可分解為（a+4）（a-1）解： = = = = （20）把分解因式解： = = = = （21）把分解因式 評析：它不同于例3（1）的形式，但通過觀察，我們可以對這兩個二次三項(xiàng)式先進(jìn)行分解，有。它又回到例3（1）的形式，我們把第一項(xiàng)和第三項(xiàng)結(jié)合在一起，第二、四項(xiàng)結(jié)合在一起，都產(chǎn)生了（x2-3x）解： = = = = = = （22）把分解因式 評析：不要輕易展開前四個一次因式的積，要注意到常數(shù)有16=23=6 利用結(jié)合律會出現(xiàn)

9、a2+6 解： = = =（23）把（x+1）（x+3）（x+5）（x+7）-9分解因式 評析：不要輕易地把前四個一次因式的乘積展開，要注意到1+7=3+5，如果利用乘法結(jié)合律，把（x+1）（x+7）和（x+3）（x+5）分別乘開就會出現(xiàn)的形式，這就不難發(fā)現(xiàn)（x2+8x）作為一個整體a同時出現(xiàn)在兩個因式中，即（a+7）（a+15）-9的形式，展開后有a2+22a+96，利用十字相乘，得到（a+6）（a+16）而分解。 解：（x+1）（x+3）（x+5）（x+7）-9 =（x+1）（x+7）（x+3）（x+5）-9 = 以下同于例3 = =+96 = =（24）把x（x+1）（x+2）（x+3）

10、-24分解因式 評析：通過觀察第一項(xiàng)和第四項(xiàng)兩上一次式相乘出現(xiàn)（x2+3x），第二和第三個一次式相乘出現(xiàn)（x2+3x）?？梢栽O(shè)x2+3x=a，會有a（a+2）-24，此時已易于分解 解：x（x+1）（x+2）（x+3）-24 =x（x+3）（x+1）（x+2）-24 = = = =（25）把分解因式評析：不要急于展開，通過觀察前兩項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)它們有公共的x2+3x，此時把它看成一個整體將使運(yùn)算簡化。解： = =（26）把分解因式 評析：我們可以觀察到+前后的兩項(xiàng)都有（a+b）和（c+d）。據(jù)此可把它們看作為一個整體。解： = = = =（27）把分解因式 評析：把（1+a）看成一個整體，第一項(xiàng)1與

11、第二項(xiàng)a也合成一個整體（1+a） 解： = = =（28）把分解因式 評析：此題容易想到分組分解法，但比較困難，考慮到 此時可設(shè) 再用待定系數(shù)法求出m和n 解：設(shè) = 比較兩邊對應(yīng)系數(shù) 得到 m+2n=2 -3n+2m=11 mn=-4 由和 得到m=4，n=-1 代入也成立 =（2x-3y+4）（x+2y-1）（29）把分解因式 解： = =（x+4y+m）（x-2y+n） = 有 m+n=-4 4n-2m=-10 mn=3 由和 得到m=-3，n=-1 代入也成立 =（x+4y-3）（x-2y-1）（30）當(dāng)x+y=2時，求的值 評析：x+y=2這是唯一的條件。要從中找到x+y或有關(guān)（x+

12、y）的表達(dá)式 解：=（x+y）（）+6xy x+y=2 原式= =2=8 （31）己知=2 求的值解：=2原式=2（2）2-3=2 （32）己知x-y=2，求的值解： = = （x-y） -3a = （x-y） +2a x-y=a 原式=初中因式分解的常用方法（例題詳解）一、提公因式法. 如多項(xiàng)式其中m叫做這個多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式， m既可以是一個單項(xiàng)式，也可以是一個多項(xiàng)式二、運(yùn)用公式法.運(yùn)用公式法，即用 寫出結(jié)果三、分組分解法.（一）分組后能直接提公因式例1、分解因式：分析：從“整體”看，這個多項(xiàng)式的各項(xiàng)既沒有公因式可提，也不能運(yùn)用公式分解，但從“局部”看，這個多項(xiàng)式前兩項(xiàng)都含有a，后兩項(xiàng)都含

13、有b，因此可以考慮將前兩項(xiàng)分為一組，后兩項(xiàng)分為一組先分解，然后再考慮兩組之間的聯(lián)系。解：原式= = 每組之間還有公因式！ = 思考：此題還可以怎樣分組？此類型分組的關(guān)鍵：分組后，每組內(nèi)可以提公因式，且各組分解后，組與組之間又有公因式可以提。例2、分解因式：解法一：第一、二項(xiàng)為一組； 解法二：第一、四項(xiàng)為一組；第三、四項(xiàng)為一組。 第二、三項(xiàng)為一組。解：原式= 原式= = = = =練習(xí)：分解因式1、 2、（二）分組后能直接運(yùn)用公式 例3、分解因式：分析：若將第一、三項(xiàng)分為一組，第二、四項(xiàng)分為一組，雖然可以提公因式，但提完后就能繼續(xù)分解，所以只能另外分組。 解：原式= = = 例4、分解因式： 解

14、：原式= = =注意這兩個例題的區(qū)別！練習(xí)：分解因式3、 4、綜合練習(xí)：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11）（12）四、十字相乘法.（一）二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式直接利用公式進(jìn)行分解。特點(diǎn)：（1）二次項(xiàng)系數(shù)是1； （2）常數(shù)項(xiàng)是兩個數(shù)的乘積；（3）一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩因數(shù)的和。 例5、分解因式：分析：將6分成兩個數(shù)相乘，且這兩個數(shù)的和要等于5。 由于6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，從中可以發(fā)現(xiàn)只有23的分解適合，即2+3=5。 1 2解：= 1 3 = 12+13=5用此方法進(jìn)行分解的關(guān)鍵：將常數(shù)項(xiàng)分解成兩個因數(shù)的積，且這兩個

15、因數(shù)的代數(shù)和要等于一次項(xiàng)的系數(shù)。例6、分解因式：解：原式= 1 -1 = 1 -6 （-1）+（-6）= -7練習(xí)5、分解因式(1) (2) (3)練習(xí)6、分解因式(1) (2) (3)（二）二次項(xiàng)系數(shù)不為1的二次三項(xiàng)式條件：（1） （2） （3） 分解結(jié)果：=例7、分解因式：分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：=練習(xí)7、分解因式：（1） （2） （3） （4）（三）二次項(xiàng)系數(shù)為1的齊次多項(xiàng)式例8、分解因式：分析：將看成常數(shù)，把原多項(xiàng)式看成關(guān)于的二次三項(xiàng)式，利用十字相乘法進(jìn)行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解：= =練習(xí)8、分解因式(1)(

16、2)(3)（四）二次項(xiàng)系數(shù)不為1的齊次多項(xiàng)式例9、 例10、 1 -2y 把看作一個整體 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式=練習(xí)9、分解因式：（1） （2）綜合練習(xí)10、（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7）（8）（9）（10）思考：分解因式：五、主元法. 例11、分解因式： 5 -2解法一：以為主元 2 -1 解：原式= (-5)+(-4)= -9 = 1 -(5y-2) = 1 (2y-1) = -(5y-2)+(2y-1)= -(3y-1)解法二：以為主元 1 -1 解：原式= 1 2 = -1+

17、2=1= 2 (x-1)= 5 -(x+2) = 5(x-1)-2(x+2)=(3x-9)練習(xí)11、分解因式(1) (2)(3) (4)六、雙十字相乘法。定義：雙十字相乘法用于對型多項(xiàng)式的分解因式。條件：（1），（2），即： ，則例12、分解因式（1） （2）解：（1）應(yīng)用雙十字相乘法： ，原式= （2）應(yīng)用雙十字相乘法： ，原式=練習(xí)12、分解因式（1） （2）七、換元法。例13、分解因式（1） （2）解：（1）設(shè)2005=，則原式= = =（2）型如的多項(xiàng)式，分解因式時可以把四個因式兩兩分組相乘。 原式=設(shè)，則原式= =練習(xí)13、分解因式（1）（2） （3）例14、分解因式（1）觀察：此多

18、項(xiàng)式的特點(diǎn)是關(guān)于的降冪排列，每一項(xiàng)的次數(shù)依次少1，并且系數(shù)成“軸對稱”。這種多項(xiàng)式屬于“等距離多項(xiàng)式”。方法：提中間項(xiàng)的字母和它的次數(shù)，保留系數(shù)，然后再用換元法。解：原式=設(shè)，則原式= = = = （2）解：原式= 設(shè)，則 原式= =練習(xí)14、（1）（2）八、添項(xiàng)、拆項(xiàng)、配方法。 例15、分解因式（1） 解法1拆項(xiàng)。 解法2添項(xiàng)。原式= 原式= = = = = = = =（2）解：原式=練習(xí)15、分解因式（1） （2）（3） （4）（5） （6）九、待定系數(shù)法。例16、分解因式分析：原式的前3項(xiàng)可以分為，則原多項(xiàng)式必定可分為解：設(shè)=對比左右兩邊相同項(xiàng)的系數(shù)可得，解得原式=例17、（1）當(dāng)為何值時，多項(xiàng)式能分解因式，并分解此多項(xiàng)式。 （2）如果有兩個因式為和，求的值。（1）分析