高數(shù)下總復(fù)習(xí)題解

1、高等數(shù)學(xué)（下）總復(fù)習(xí)題解1. 給出下列方程的特解形式，不必解出結(jié)果： （1） （2） 解. （1） （2）設(shè)是的特解, 設(shè)是的特解, 則方程的特解設(shè)為:2. 求下列方程通解： （1） （2） （3）解 （1）原方程整理為： （2）原方程整理為： （3）特征方程：特征根為： 對應(yīng)齊次方程的通解為 所給方程自由項 設(shè)是：的一個特解 是的一個特解可求得， 原方程的一個特解為 原方程的通解為=+3. 設(shè)可微，且?，F(xiàn)已知，x軸，y軸及x軸上經(jīng)過點的垂線所圍成的圖形的面積值與曲線在上一段弧長的值相等，求解. 由題設(shè)，得：求導(dǎo)：記為則有 ，通解：，由， 整理得： 4. 設(shè)z=arctg+ln(x2+y),求

2、dz。解 其中 5. 設(shè)Z=(x2y,)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求 6. 設(shè)=ln求.解 原方程變形為： 方程兩端求x導(dǎo)數(shù),得: 方程兩端求y的導(dǎo)數(shù),得: 7. 求函數(shù)z=2x2+y2在點M(1,1)沿y=x的垂線方向的方向?qū)?shù).解 直線的垂線方向可?。?， 8. 求球面x2+y2+z2=9/4與橢球面3x2+(y-1)2+z2=17/4交線上對應(yīng)于x=1的點處的切線與法平面方程。解 當(dāng)時， 設(shè)對應(yīng)的切線的切向量為 滿足方程： 解得： 過的切線方程：, 法平面方程 類似可求處的切線，法平面方程。(略) 9. 證明：曲面()=0上任一點處的切平面過一定點。解 設(shè)，則過P點的切平面的法向量：整理后,可以取

3、 =切平面: 可以看出,點在該切平面上。故結(jié)論成立.10. 求點P（2，8）到拋物線=4的距離。解 不妨設(shè)目標(biāo)函數(shù) 條件為： 作輔助函數(shù) 解得：， 解得： 最小值點為（4，4） 注：本題中直接要求的距離函數(shù)是:與解法中的有相同的極值點，但的表達式更便于數(shù)學(xué)上的處理，比如求比d的導(dǎo)數(shù)要簡單些。11. 求旋轉(zhuǎn)橢球面x2+y2+=1在第一卦限部分上的點，使該點處的切平面在三個坐標(biāo)軸上的截距平方和最小。解 設(shè)所求點為過P的切平面方程為： 切平面在三個坐標(biāo)軸上的截距分別為: 目標(biāo)函數(shù) 約束： 令： 解方程組 解得， ，所求點為. 12. 設(shè)M為橢球面: 上位于一卦限的點，其切平面與三個坐標(biāo)面圍成的四面體

4、的體積最小，求M點。解 設(shè)， 過M的切平面方程為： 目標(biāo)函數(shù) 條件： 令： 解方程組：(常數(shù))得,將其代入條件方程，解得,當(dāng)，時,即M為()13. 更換積分順序：（1）I= （2）I=（3）I=解（1）如圖示(圖略,下同) （2）如圖 （3）如圖示 14. 計算二重積分I=D：以（0，0），（1，1）和（0，1）為頂點的三角形。解 15. 計算二重積分I=解 I 16 計算I=，其中：x2+y2z2,x2+y2+z2R2,z0.解 I 17. 求由曲面z=x2+2y2及z=3-2x2-y2所圍立體的體積。解 該立體在yoz面的投影如圖示，曲面和的交線（消z）在柱面：上 該立體在xoy面上的投影

5、區(qū)域為D： = 18. 將三重積分I=分別用直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)、球面坐標(biāo)化為累次積分，其中：x2+y2+z24, z。解 積分立體在yoz平面上的投影如圖示。曲面和的交線（消z）在（柱面）上： 在xoy平面上的投影區(qū)域為 I19. 求球體x2+y2+z2R2與x2+y2+z22Rz的公共部分體積.解 法1 = 法2 = 法3 20. 已知三次積分:I= (1).確定在柱面坐標(biāo)下和球面坐標(biāo)系下的三次積分; (2).任選一種計算I值.解 積分立體在xoy面和yoz面的投影區(qū)域，如圖示 （1） （2） 21. 將I=（其中是由z2=x2+y2,z=1所圍成的立體）分別表為直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)系

6、下的三次積分。解 22. 計算I= 其中是x2+y2+z2=a2與x=y相交的圓周。解 上任一點滿足： 注：是半徑為a的圓。 23. 計算I=，其中C是以O(shè)（0，0）、A（1，0）、B（0，1）為頂點的三角回路。解 24. 計算I=其中為立體的邊界曲面。解 如圖示 , :z=1 (,: 上 25. 計算I=，是由z=被x2+y2=2x所截部分。解 在xoy平面的投影區(qū)域 26. 求球面在柱面內(nèi)部的表面積。解 球面 在xoy面的投影均為 且或上，由對稱性用幾種不同的方法計算I=，其中C是起點O（0，0），終點為A（2，0）的上半圓周: 直接計算法公式：設(shè)C的參數(shù)方程且起點、終點對應(yīng)的參數(shù)值分別為

7、，則： 解 法1 利用C的坐標(biāo)方程：，可寫出C的參數(shù)方程。 法2： 計算略 法3：計算略間接計算法格林公式： 注1：當(dāng)沿著C的正向行進時，區(qū)域D在“行者”的左手，取“+”。 注2：當(dāng)C不是閉曲線時，需增加輔助路徑；通常選平行于坐標(biāo)軸的直線段為輔助路徑。 法4：本題中由于因而還可選擇以下的間接計算法 準(zhǔn)備知識：單連通區(qū)域D上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，以下四個結(jié)論等價：（） （） （）的值與路徑無關(guān)（只與起、終點有關(guān)）。 （）存在，使 且 法5 可設(shè)，使 且 則28. 計算I=，其中C是擺線且參數(shù)增加的方向為積分路徑的方向。解 如圖 增加輔助路徑：。 則： 29 計算I=，其中C是以（1，0）為中心，R為

8、半徑的圓周（R1），方向取逆時針方向。解 注R = 1圓周經(jīng)過原點，積分無意義。 情形1 情形2 （原點在圓盤內(nèi)） 設(shè)輔助積分路徑 的大小滿足包含在圓盤之內(nèi)）正方向取為順時針方向。 則： 注：C包含的區(qū)域內(nèi)包含原點不滿足Green公式條件 30. 設(shè)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且滿足其中C為平面第一象限內(nèi)的閉曲線，已知求。解 由已知， 令 （一階非齊次線性方程） 解得： 由，得 由得 31. 已知求使與路徑無關(guān)，并求A為（0，0）、B為（1，1）時的積分值。解 由積分值與路徑無關(guān)，得 解得： 由 32. 設(shè)函數(shù)二階連續(xù)可導(dǎo)，且，試求的表達式，使微分方程是一個全微分方程。解 33. 計算I=，其中是球面的

9、外側(cè)。解 34. 計算I=，其中是曲面的上側(cè)。解 如圖(略)，增添輔助曲面 則 (注)35. 計算I=為的上側(cè)。解 輔助曲面 正側(cè)為下側(cè)：則 又注 這里用到了三重積分的對稱性:是正園錐,它關(guān)于yoz平面對稱，且被積函數(shù)，關(guān)于x變元”奇”對稱， . 類似有36. 計算I=,其中為曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面，它的法向量與軸正向的夾角恒大于。解 增加輔助曲面，正側(cè)為右側(cè)。 又= 37. 判斷或填空： （1）若（），且級數(shù)收斂，則級數(shù)也收斂。 （2）若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)也一定發(fā)散。 （3）級數(shù)的部分和有界，級數(shù)一定收斂。 （4）一般項趨于零是級數(shù)發(fā)散的_條件。 （5）若級數(shù)和級數(shù)發(fā)散，則一定發(fā)散。 （6

10、）若級數(shù)和級數(shù)都發(fā)散，則一定發(fā)散。 （7）若級數(shù)絕對收斂，則若級數(shù)一定條件收斂。解（1）比較法則只對正項級數(shù)成立。（） （2）否則由收斂收斂。（） （3）正項級數(shù)的部分和Sn有界級數(shù)收斂（） （4）既非充分也非必要條件。 （5）（） （6）否則：而和收斂收斂。（） （7）絕對收斂與條件收斂是互斥的。（）。 38. 判斷級數(shù)的斂散性（1）；(2）(3）（4）(5) 解 （1）收斂 （2）與同斂散收斂 （3） 而 收斂收斂收斂 （4）且時，級數(shù)發(fā)散。 當(dāng)時，級數(shù)收斂。（5） 收斂 39. 判斷級數(shù)（k為自然數(shù)）和的斂散性。解 (1) (2) 收斂 40. 將lnx展為的冪級數(shù)，并求其收斂域。解 41. 求冪級數(shù)的收斂域與和函數(shù)解 設(shè) 先求的表達式及收斂域 即 42. 將展為x的冪級數(shù)，并求其收斂域解 收斂域: 且即。 43. 求冪級數(shù)的收斂域與和函數(shù)。解 先令 則： 44. 求級數(shù)的和解 設(shè) 則： 記 則 所求級數(shù)的和 45. 設(shè)級數(shù)