押第15題 雙曲線（新高考）（解析）

1、押第15題 雙曲線雙曲線是高考全國卷每年必考知識點,且均以客觀題的形式進(jìn)行考查,若為基礎(chǔ)題,主要考查雙曲線的幾何性質(zhì),考查熱點是雙曲線的漸近線與離心率,若為較難題,一般常涉及直線與雙曲線的位置關(guān)系、范圍與最值問題,2020年全國卷以填空題形式考查雙曲線,難度中等偏易,2021年全國新高考卷以填空題形式考查雙曲線,難度中等偏易,預(yù)測2022年全國新高考卷以選擇題形式考查雙曲線的可能性較大,難度依然會保持中等偏易.1.雙曲線的定義與方程(1)利用雙曲線的定義判定平面內(nèi)動點與兩定點的軌跡是否為雙曲線,進(jìn)而根據(jù)要求可求出雙曲線方程；(2)在“焦點三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,經(jīng)常結(jié)合|PF1|

2、PF2|2a,運用平方的方法,建立與|PF1|PF2|的聯(lián)系(3)待定系數(shù)法求雙曲線方程具體過程中先定形,再定量,即先確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式,然后再根據(jù)a,b,c,e及漸近線之間的關(guān)系,求出a,b的值,如果已知雙曲線的漸近線方程,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,可設(shè)有公共漸近線的雙曲線方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)(0),再由條件求出的值即可2.雙曲線的幾何性質(zhì)(1)注意雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0,b0)的實軸長是2a,不是a.(2)雙曲線的幾何性質(zhì)中重點是漸近線方程和離心率,在雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0,b0)中,離心

3、率e與雙曲線的漸近線的斜率keq f(b,a)滿足關(guān)系式e21k2.在求雙曲線的離心率范圍時要注意離心率.3.直線與雙曲線的位置關(guān)系(1)研究直線與雙曲線位置關(guān)系問題的通法：將直線方程代入雙曲線方程,消元,得關(guān)于x或y的一元二次方程當(dāng)二次項系數(shù)等于0時,直線與雙曲線相交于某支上一點,這時直線平行于一條漸近線；當(dāng)二次項系數(shù)不等于0時,用判別式來判定(2)用“點差法”可以解決弦中點和弦斜率的關(guān)系問題,但需要檢驗1（2021新高考全國卷數(shù)學(xué)高考真題）若雙曲線的離心率為2，則此雙曲線的漸近線方程_.【答案】【詳解】解：由題可知，離心率，即，又，即，則，故此雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.2（2021

4、全國高考乙卷真題（文）雙曲線的右焦點到直線的距離為_【答案】【詳解】由已知，所以雙曲線的右焦點為，所以右焦點到直線的距離為.故答案為：3（2021全國高考乙卷真題（理）已知雙曲線的一條漸近線為，則C的焦距為_【答案】4【詳解】由漸近線方程化簡得，即，同時平方得，又雙曲線中，故，解得（舍去），故焦距.故答案為：4.4（2021全國高考甲卷真題（文）點到雙曲線的一條漸近線的距離為（）ABCD【答案】A【詳解】由題意可知，雙曲線的漸近線方程為：，即，結(jié)合對稱性，不妨考慮點到直線的距離：.故選：A.5（2021全國高考甲卷真題（理）已知是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，則C的離心率為（）ABCD

5、【答案】A【詳解】因為，由雙曲線的定義可得，所以，；因為,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故選：A1（2022山東濟(jì)南一中模擬預(yù)測）建在水資源不十分充足的地區(qū)的火電廠為了節(jié)約用水，需建造一個循環(huán)冷卻水系統(tǒng)（冷卻塔），以使水可循環(huán)使用下圖是世界最高的電廠冷卻塔中國國家能源集團(tuán)勝利電廠冷卻塔，該冷卻塔高225米，創(chuàng)造了“最高冷卻塔”的吉尼斯世界紀(jì)錄該冷卻塔的外形可看作雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，如圖：已知直線，為該雙曲線的兩條漸近線，向上的方向所成的角的正切值為，則該雙曲線的離心率為_【答案】【詳解】解：設(shè)一條漸近線向上的方向與虛軸向上的方向所成的角為，則，解得或（舍），即，故，所以

6、故答案為：.2（2022河北邯鄲一模）已知點在雙曲線的右支上，動點滿足，是雙曲線的右焦點，則的最大值為_.【答案】#【詳解】動點滿足，則點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓,設(shè)雙曲線的左焦點為，由題知，則，當(dāng)且僅當(dāng)，三點共線時，等號成立，所以的最大值為，故答案為：3（2022河北模擬預(yù)測）已知雙曲線的左右焦點分別為，直線在第一象限交雙曲線C右支于點A.若雙曲線的離心率滿足，且，則k的取值范圍是_.【答案】【詳解】設(shè)，由題可知，.，.又由，可知，解得.，.，依題意，.故答案為：4（2022河北石家莊二中模擬預(yù)測）已知雙曲線的左焦點為，過點作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，點在雙曲線上，且，則雙曲線

7、的離心率為_【答案】【詳解】由題意，設(shè)，直線的方程為，與漸近線聯(lián)立，可得的坐標(biāo)為，即，代入雙曲線方程可得，化簡可得，故答案為：5（2022廣東汕頭二模）如圖從雙曲線（其中）的左焦點F引圓的切線，切點為T，延長，交雙曲線右支于P，若M為線段的中點，O為原點，則的值為（用表示）_【答案】【詳解】由圖可知點在第一象限設(shè)是雙曲線的右焦點，連接、分別為、的中點，又由雙曲線定義得，故故答案為：（限時：30分鐘）1已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過原點的直線l與雙曲線在第一象限和第三象限的交點分別為A、B，四邊形的周長p與面積S滿足，則該雙曲線的離心率為_【答案】【詳解】由題知，四邊形的是平行四邊形，聯(lián)立解

8、得，又，即.由余弦定理可得，化簡得，.故答案為：2已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們一個公共點，且，橢圓、雙曲線的離心率分別為，則的最小值_【答案】【詳解】由題意，可設(shè)橢圓的長半軸為，雙曲線的實半軸為，由橢圓和雙曲線的定義可知，則，又，由余弦定理可得，整理得，即， 則，所以.3已知橢圓和雙曲線有公共的焦點，曲線和在第一象限相交于點P.且，若橢圓的離心率的取值范圍是，則雙曲線的離心率的取值范圍是_.【答案】【詳解】設(shè)橢圓，雙曲線：，橢圓與雙曲線的半焦距為c，橢圓離心率，雙曲線離心率，如圖，由橢圓定義可得：，由雙曲線定義可得：，聯(lián)立可得，由余弦定理可得：即，解得，因為，所以，可得，故，故答案為：

9、4已知雙曲線的右焦點為F，若軸，的中點為P，點A，B為雙曲線頂點，當(dāng)最大時，點M恰好在雙曲線上，則該雙曲線的離心率為_.【答案】【詳解】解：設(shè)，A為左頂點，B為右頂點.當(dāng)最大時，最大.又，當(dāng)且僅當(dāng)，即為時取等號.此時點P的坐標(biāo)為，點M的坐標(biāo)為.將點M的坐標(biāo)代入雙曲線方程，得，得.當(dāng)最大時，該雙曲線離心率為.故答案為：.5已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，過右支上一點P作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為H若的最小值為3a，則雙曲線C的離心率為_【答案】【詳解】由雙曲線定義知，則，所以，過作雙曲線一條漸近線的垂線垂足為，交右支于點，此時最小，且最小值為，易求焦點到漸近線的距離為，即，所以，即，可

10、求離心率.故答案為：.6雙曲線的兩條漸近線的夾角為_.【答案】【詳解】由題意，雙曲線，可得兩條漸近線方程為，設(shè)直線的傾斜角為，則，解得，根據(jù)雙曲線的對稱性，可得兩見解析的夾角為.故答案為.7已知雙曲線C：=1（a0，b0）的右焦點F關(guān)于它的一條漸近線的對稱點在另一條漸近線上，則雙曲線C的離心率為_.【答案】2【詳解】雙曲線的右焦點為，漸近線方程為，設(shè)關(guān)于的對稱點為，由題意可得，且，可得，代入可得，故，則離心率，故答案為：28已知雙曲線的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若C與直線有交點，且雙曲線上存在不是頂點的P，使得，則雙曲線離心率取值范圍范圍為_.【答案】【詳解】雙曲線C與直線有交點，則，解得，雙

11、曲線上存在不是頂點的P，使得，則點在右支上，設(shè)與軸交于點，由對稱性，所以，所以，所以，由得，所以，又中，所以，即，綜上，故答案為：9寫出一個同時滿足下列性質(zhì)的雙曲線方程_中心在原點，焦點在y軸上；一條漸近線方程為焦距大于10【答案】（答案不唯一，寫出一個即可）【詳解】由中心在原點，焦點在y軸上知，可設(shè)雙曲線方程為：由一條漸近線方程為知，即由知，即，則可?。ù颂幰部扇〈笥诘钠渌麛?shù)）又，則同時滿足下列性質(zhì)的一個雙曲線方程為：故答案為：（答案不唯一, 寫出一個即可）.10已知雙曲線C的方程為，則其離心率為_【答案】【詳解】由雙曲線C的方程可得：所以，所以11如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是平面上兩點，|F1F2|

12、10，圖中的一系列圓是圓心分別為F1，F(xiàn)2的兩組同心圓，每組同心圓的半徑依次是1，2，3，點A，B，C分別是其中兩圓的公共點請寫出一個圓錐曲線的離心率的值為_，使得此圓錐曲線可以同時滿足：以F1，F(xiàn)2為焦點；恰經(jīng)過A，B，C中的兩點【答案】5（或）（答案不唯一）【詳解】因為，若過A，C兩點，則由題意得，此時離心率若過B，C兩點，則由題意得，此時離心率故答案為：5（或）（答案不唯一）12若雙曲線經(jīng)過點，其漸近線方程為，則雙曲線的方程是_.【答案】【詳解】由題意可知，若雙曲線的焦點在x軸上,則可設(shè)，則且，聯(lián)立解得,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；若雙曲線的焦點在y軸上，則可設(shè)，則，且，此時無解，綜上，雙曲線的方程為.故答案為：13已知雙曲線）的左右焦點分別是是雙曲線右支上的兩點，.記的周長分別為，若，則雙曲線的右頂點到直線的距離為_.【答案】【詳解】解：根據(jù)雙曲線的定義，.所以，故雙曲線右頂點，因為，所以在上，在上，即直線方程為：，所以雙曲線的右頂點到直線的距離為故答案為：14雙曲線的左、右焦點分別為，焦距為，以右頂點為圓心，半徑為的圓與過的直線相切于點，設(shè)與的交點為，若，則雙曲線的離心率為_.【答案】2.【詳解】因為以右頂點為圓心，半徑為的圓過的直線相切與點，A=，故可知