[強(qiáng)烈推薦]八年級(jí)數(shù)學(xué)三角形輔助線大全(精簡(jiǎn)、全面)

1、三角形作輔助性方法大全在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角證明角的不等關(guān)系時(shí)，如果直接證不出來，可連結(jié)兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形外角的位置上，小角處在內(nèi)角的位置上，再利用外角定理證題.例：已知DABC內(nèi)任一點(diǎn)，求證：ZBDOZBAC證法（一）：延長(zhǎng)BD交AC于E，ZZBDC是厶EDC的外角，ADFCAZBDOZDEC同理：ZDEOZBACAZBDOZBAC證法（二）：連結(jié)AD，并延長(zhǎng)交BC于FZBDF是厶ABD的外角，.ZBDFZBAD同理ZCDFZCADAZBDF+ZCDFZBAD+ZCAD即：ZBDOZBAC有角平分線時(shí)常在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角

2、形.例：已知，如圖，ADABC的中線且Zl=Z2，Z3=Z4，求證：BE+CFEF證明：在DA上截取DN=DB，連結(jié)NE、NF，則DN=DC在厶BDE和厶N(yùn)DE中，ANEFB2314DCDN=DBZl=Z2ED=ED.BDE9ANDE.BE=NE同理可證：CF=NF在厶EFN中，EN+FNEF.BECFEF有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常加倍延長(zhǎng)此線段構(gòu)造全等三角形.例：已知，如圖，ADABC的中線，且Zl=Z2，Z3=Z4，求證：BE+CFEF證明：延長(zhǎng)ED到M,使DM=DE，連結(jié)CM、FMBDE和厶CDM中，BD=CDZl=Z5ED=MD.BDE9ACDM.CM=BE又VZ1=Z2，Z3=Z

3、4ZlZ2Z3Z4=l80oAZ3+Z2=90。即ZEDF=90oZFDM=ZEDF=90。EDF和厶MDF中ED=MDZFDM=ZEDFDF=DF.EDF9AMDFEF=MF在CMF中，CF+CMMFBE+CFEF（此題也可加倍FD,證法同上）E2314D54.在三角形中有中線時(shí)，常加倍延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形.例：已知，如圖，ADABC的中線，求證：AB+AC2AD證明：延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD,連結(jié)BETADABC的中線BD=CD在厶ACD和厶EBD中BD=CDZ1=Z2B1D2CAD=ED.ACD9AEBDABE中有AB+BEAE.AB+AC2AD5.截長(zhǎng)補(bǔ)短作輔助線的方法截長(zhǎng)法：在較

4、長(zhǎng)的線段上截取一條線段等于較短線段；補(bǔ)短法：延長(zhǎng)較短線段和較長(zhǎng)線段相等.這兩種方法統(tǒng)稱截長(zhǎng)補(bǔ)短法.當(dāng)已知或求證中涉及到線段a、b、c、d有下列情況之一時(shí)用此種方法:abab=cab=cd例：已知，如圖，在ABC中，ABAC，Z1=Z2，P為AD上任一點(diǎn)，求證：ABACPBPC證明：截長(zhǎng)法：在AB上截取AN=AC,連結(jié)PN在人卩“和厶APC中，AN=ACZ1=Z2AAP=AP12NP/.APNAPCBD.PC=PN.BPN中有PBPCVBN.PBPCVABAC補(bǔ)短法：延長(zhǎng)AC至M,使AM=AB,連結(jié)PM在厶ABP和AMP中AB=AMZ1=Z2AP=AP.ABP9AAMPb.PB=PM又在PCM中

5、有CMPMPC.ABACPBPCA12P練習(xí)：1.已知，在ABC中，ZB=60,AD、CE是AABC的角平分線，并且它們交于點(diǎn)O求證：AC=AE+CD2.已知，如圖，ABCDZ1=Z2,Z3=Z4.求證：BC=AB+CD1B26.證明兩條線段相等的步驟：觀察要證線段在哪兩個(gè)可能全等的三角形中，然后證這兩個(gè)三角形全等。若圖中沒有全等三角形，可以把求證線段用和它相等的線段代換，再證它們所在的三角形全等.如果沒有相等的線段代換，可設(shè)法作輔助線構(gòu)造全等三角形.例:如圖，已知，BE、CD相交于F,ZB=ZC，Z1=Z2，求證：DF=EF證明：TZADF=ZB+Z3ZAEF=ZC+Z4又VZ3=Z4ZB=

6、ZC.ZADF=ZAEF在ADF和AAEF中ZADF=ZAEFZ1=Z2AF=AF.adfaaef.DF=EF123F47.在一個(gè)圖形中，有多個(gè)垂直關(guān)系時(shí)，常用同角（等角）的余角相等來證明兩個(gè)角相等.例：已知，如圖RtAABC中，AB=AC，ZBAC=90。，過A作任一條直線AN,作BD丄AN于D，CE丄AN于E,求證：DE=BDCE證明：TZBAC=90o,BD丄AN.Z1+Z2=90。Z1+Z3=90。.Z2=Z3.BD丄ANCE丄AN.ZBDA=ZAEC=90。在厶ABD和ACAE中，ZBDA=ZAECA312DBCENBCFZ2=Z3AB=AC.ABD9ACAE.BD=AE且AD=CE

7、.AEAD=BDCE.DE=BDCE8.三角形一邊的兩端點(diǎn)到這邊的中線所在的直線的距離相等.例：AD為厶ABC的中線，且CF丄AD于F,BE丄AD的延長(zhǎng)線于E求證：BE=CF證明：（略）AF21DE9.條件不足時(shí)延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形.例：已知AC=BD,AD丄AC于A,BCBD于B求證：AD=BC證明：分別延長(zhǎng)DA、CB交于點(diǎn)ETAD丄ACBC丄BDZ.ZCAE=ZDBE=90。在厶DBE和ACAE中ZDBE=ZCAEEABODCBD=ACZE=ZE.DBE9ACAE.ED=EC,EB=EA.EDEA=ECEB.AD=BC10.連接四邊形的對(duì)角線,把四邊形問題轉(zhuǎn)化成三角形來解決問題.例：已知，

8、如圖，ABCD,ADBC求證：AB=CD證明：連結(jié)AC（或BD）TAB#CD,ADBC.Z1=Z2在厶ABC和厶CDA中，Z1=Z2AC=CAZ3=Z4.abcacda.AB=CD練習(xí)：已知，如圖，AB=DC，AD=BCAD132B4CEDE=BF，DCAB求證：BE=DF有和角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條線段延長(zhǎng)。可歸結(jié)為“角分垂等腰歸”.例：已知，如圖，在RtAABC中，AB=AC,ZBAC=90。，Z1=Z2,CE丄BD的延長(zhǎng)線于E求證：BD=2CE證明：分別延長(zhǎng)BA、CE交于FTBE丄CFZ.ZBEF=ZBEC=90。FAEDC在ABEF和ABEC中Z1=Z2BE=BE1ZBEF=Z

9、BECb2.BEFBEC1CE=FE=CF2ZZBAC=90o,BE丄CF/.ZBAC=ZCAF=90oZ1+ZBDA=90oZ1ZBFC=90。ZBDA=ZBFC在厶ABD和AACF中ZBAC=ZCAFZBDA=ZBFCAB=AC/.ABDACFBD=CFBD=2CE練習(xí)：已知，如圖，ZACB=3ZB，Z1=Z2,CD丄AD于D,求證：AB-AC=2CDA12DC當(dāng)證題有困難時(shí)，可結(jié)合已知條件，把圖形中的某兩點(diǎn)連接起來構(gòu)造全等三角形.例：已知，如圖，AC、BD相交于O,且AB=DC，AC=BD，求證：ZA=ZDAD證明：（連結(jié)BC,過程略）當(dāng)證題缺少線段相等的條件時(shí)，可取某條線段中點(diǎn)，為證題

10、提供條件.例：已知，如圖，AB=DC，ZA=ZD求證：ZABC=ZDCBF證明：分別取AD、BC中點(diǎn)N、M,連結(jié)NB、NM、NC（過程略）有角平分線時(shí),常過角平分線上的點(diǎn)向角兩邊做垂線,利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等證題.例：已知，如圖，Z1=Z2,P為BN上一點(diǎn)，且PD丄BC于D,AB+BC=2BD,求證：ZBAP+ZBCP=180o證明：過P作PE丄BA于E1B2DCVPD丄BC,Z1=Z2APE=PD在RtABPE和RtABPD中BP=BPPE=PDZ.RtBPERtBPDABE=BDVAB+BC=2BD,BC=CD+BD,AB=BEAEAAE=CDVPE丄BE,PD丄BCZPEB=

11、ZPDC=90。在厶PEA和厶PDC中PE=PDZPEB=ZPDCAE=CD.PEA9APDCAZPCB=ZEAPVZBAP+ZEAP=180。.ZBAP+ZBCP=180。練習(xí)：1.已知，如圖，PA、PC分別是ABC外角ZMAC與ZNCA的平分線，它們交于P,PD丄BM于M,PF丄BN于F,求證：BP為ZMBN的平分線2.已知，如圖，在厶ABC中，ZABC=100o,ZACB=20。，CE是ZACB的平分線,D是AC上一點(diǎn)，若ZCBD=20o,求ZCED的度數(shù)。有等腰三角形時(shí)常用的輔助線作頂角的平分線，底邊中線，底邊高線例：已知，如圖，AB=AC,BD丄AC于D,求證：ZBAC=2ZDBC1

12、證明：（方法一）作ZBAC的平分線AE,交BC于E,則Zl=Z2=-ZBAC又TAB=ACA12D.AE丄BCAZ2+ZACB=90。TBD丄AC.ZDBCZACB=90。.Z2=ZDBC.ZBAC=2ZDBC（方法二）過A作AE丄BC于E（過程略）（方法三）取BC中點(diǎn)E,連結(jié)AE（過程略）有底邊中點(diǎn)時(shí)，常作底邊中線例：已知，如圖，AABC中，AB=AC,D為BC中點(diǎn)，DE丄AB于E,DF丄AC于F,求證：DE=DF證明：連結(jié)AD.TD為BC中點(diǎn)，A.BD=CD又TAB=ACEF.AD平分ZBACBCDCTDE丄AB,DF丄AC.DE=DF將腰延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造直角三角形解題例：已知，如圖，AAB

13、C中，AB=AC,在BA延長(zhǎng)線和AC上各取一點(diǎn)E、F,使AE=AF,求證：EF丄BC證明：延長(zhǎng)BE到N,使AN=AB,連結(jié)CN,則AB=AN=ACTOC o 1-5 h z.ZB=ZACB,ZACN=ZANCTZBZACBZACNZANC=l80。N.2ZBCA2ZACN=l80。E.ZBCAZACN=90。A即ZBCN=90of.NC丄BCBcTAE=AF.ZAEF=ZAFE又TZBAC=ZAEF+ZAFEZBAC=ZACNZANC.ZBAC=2ZAEF=2ZANC.ZAEF=ZANC.EFNCEFBC常過一腰上的某一已知點(diǎn)做另一腰的平行線例：已知，如圖，在ABC中，AB=AC,D在AB上，

14、E在AC延長(zhǎng)線上，且BD=CE,連結(jié)DE交BC于F求證：DF=EFAADDB1NF2CB1F2CCMEE交BC于N,則ZDNB=ZACB，ZNDE=ZE，證明：（證法一）過D作DNAE,TAB=AC，ZB=ZACB.ZB=ZDNBBD=DN又TBD=CEDN=EC在ADNF和厶ECF中Z1=Z2ZNDF=ZEDN=EC.dnfaecfDF=EF（證法二）過E作EM#AB交BC延長(zhǎng)線于M,則ZEMB=ZB（過程略）常過一腰上的某一已知點(diǎn)做底的平行線例：已知，如圖，AABC中，AB=AC，E在AC上,D在BA延長(zhǎng)線上，且AD=AE,連結(jié)DENDAMFEBC求證：DE丄BC證明：（證法一）過點(diǎn)E作E

15、FBC交AB于F，則ZAFE=ZBZAEF=ZCTAB=ACZB=ZCZAFE=ZAEFTAD=AEZAED=ZADE又VZAFE+ZAEF+ZAED+ZADE=180。2ZAEF2ZAED=90o即ZFED=90。.DE丄FE又TEF#BC.DE丄BC（證法二）過點(diǎn)D作DNBC交CA的延長(zhǎng)線于N，（過程略）（證法三）過點(diǎn)A作AMBC交DE于M，（過程略）常將等腰三角形轉(zhuǎn)化成特殊的等腰三角形等邊三角形例：已知，如圖，AABC中，AB=AC，ZBAC=80。,P為形內(nèi)一點(diǎn)，若ZPBC=10。ZPCB=30。求ZPAB的度數(shù).解法一：以AB為一邊作等邊三角形，連結(jié)CE貝kBAE=ZABE=60。A

16、E=AB=BETAB=ACAE=ACZABC=ZACB.ZAEC=ZACEZZEAC=ZBAC-ZBAE=80o60o=20o1Z.ZACE=2(180oZEAC)=80。1?ZACB=2(180oZBAC)=50。.ZBCE=ZACEZACBb=80。50。=30。ZZPCB=30。.ZPCB=ZBCETZABC=ZACB=50。，ZABE=60。.ZEBC=ZABEZABC=60。一50。=10。.ZPBC=10o.ZPBC=ZEBC在厶PBC和厶EBC中ZPBC=ZEBCBC=BCZPCB=ZBCE.PBCAEBC.BP=BETAB=BE.AB=BP.ZBAP=ZBPATZABP=ZAB

17、CZPBC=50。10。=40。1.ZPAB=2(180oZABP)=70。解法二：以AC為一邊作等邊三角形，證法同一。解法三：以BC為一邊作等邊三角形BCE，連結(jié)AE,則EB=EC=BC，ZBEC=ZEBC=60。TEB=EC.E在BC的中垂線上同理A在BC的中垂線上EA所在的直線是BC的中垂線.EA丄BC1ZAEB=ZBEC=30o=ZPCB2b由解法一知：ZABC=50o.ZABE=ZEBCZABC=10。=ZPBCTZABE=ZPBC,BE=BC,ZAEB=ZPCB.ABE竺APBC.AB=BP.ZBAP=ZBPABCTZABP=ZABCZPBC=50。一10。=40。11Z.ZPAB

18、=2（180ZABP）=亍（180。一40。）=70。=Z2，ZABC=2ZC，有二倍角時(shí)常用的輔助線構(gòu)造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的頂角的外角例：已知，如圖，在ABC中，Z1，連結(jié)DE12求證：AB+BD=AC證明：延長(zhǎng)AB到E,使BE=I則ZBED=ZBDEZZABD=ZE+ZBDEZ.ZABC=2ZEZABC=2ZCZE=ZC在AAED和AACD中ZE=ZCZ1=Z2AD=AD.aedaacdAC=AEVAE=AB+BEAC=ABBE即AB+BD=AC平分二倍角例：已知，如圖，在ABC中，BD丄AC于D,ZBAC=2ZDBC求證：ZABC=ZACBZDBCADEC證明：作ZBAC的平

19、分線AE交BC于E,貝ZBAE=ZCAEVBD丄ACZCBD+ZC=90。ZCAE+ZC=90。VZAEC=180oZCAEZC=90。.AE丄BCZABC+ZBAE=90。VZCAE+ZC=90。BZBAE=ZCAE.ZABC=ZACB加倍小角例：已知，如圖，在ABC中，BD丄AC于D，ZBAC=2ZDBC求證：ZABC=ZACB證明：作ZFBD=ZDBC,BF交AC于F（過程略）AF有垂直平分線時(shí)常把垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)連結(jié)起來.例：已知，如圖，AABC中，AB=AC,ZBAC=120。，EF為AB的垂直平分線，EF交BC于F,交AB于E1求證：BF=2FC證明：連結(jié)AF,則AF=BFAZB=ZFABAZB=ZCZBAC=120o1AZB=ZCZBAC=-（180ZBAC）=30。AZFAB=30。AZFAC=ZBACZFAB=120。30。=90。又VZC=30o1AAF=FC21ABF=FC2練習(xí)：已知，如圖，在厶ABC中，ZCAB的平分線AD與BC的垂直平分線DE交于點(diǎn)D,DM丄AB于M,DN丄AC延長(zhǎng)線于N求證：BM=CN18.有垂直時(shí)常構(gòu)造垂直平分線.例：已知，如圖，在ABC中，ZB=2ZC，AD丄BC于D求證：CD=AB+BD證明：（一）在CD上截取DE=DB,連結(jié)AE，貝AB=AE