2022年兩個重要極限教案

1、公 開 課 教 案教者徐明科目數(shù)學(xué)班級課題兩個重要極限（一）課 型時間地 點兩個重要極限 是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限、 函數(shù)的極限以及函數(shù)極限的四則運算法則的基礎(chǔ)上進行研究的，它是解決極限計算問題的教材分析 一個有效工具， 也是今后研究初等函數(shù)求導(dǎo)公式的一個工具，所以兩個重要極限是后繼學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。學(xué)情分析一方面，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的極限以及函數(shù)極限的運算法則，會用因式分解約去非零因子、有理化分子或分母這兩種方法計算“0 0型” 函數(shù)的極限， 具備了接受新知識的基礎(chǔ)； 另一方面， 學(xué)生理性思維能力相對較弱， 對函數(shù)極限概念的理解還比較淺顯，運用極限思維解決問題的能力有限。知識與技能： 讓學(xué)生了

2、解公式 lim sin x 1 的證明過程，正確理解x 0 x公式，知道公式應(yīng)用的條件， 熟練運用公式及其變形式解決有關(guān)函數(shù)極限的計算。過程與方法： 通過教師引導(dǎo)，學(xué)生觀察、實驗、猜想、分析討論和教學(xué)目標練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、舉一反三的能力，進一步認識換元法、轉(zhuǎn) 化思想、數(shù)型結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中的重要作用。情感態(tài)度與價值觀： 通過對這一重要極限公式的研究，進一步認識數(shù)學(xué)的美，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；養(yǎng)成細心觀察、認真分析、善于總結(jié)的良好思維品質(zhì)。教學(xué)重點正確理解公式lim x 0sinx1，并能運用公式及其變形式解決有關(guān)函x數(shù)極限的計算。教學(xué)難點公式lim x 0sinx1的證明、公式及其變形

3、式靈活運用。通過復(fù)習(xí)函x本節(jié)課采用實驗法、 討論法以及講練結(jié)合的教學(xué)方法。數(shù)極限的定義以及函數(shù)極限的運算法則，配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)， 強化學(xué)生對極限概念的理解和運算能力。在公式的引入上通過設(shè)疑引導(dǎo)學(xué)生嘗試、討論、猜想，并借助多媒體動畫幫助學(xué)生理解結(jié)論，鍛煉學(xué)生運用數(shù)學(xué) 教法學(xué)法 工具解決數(shù)學(xué)問題的意識， 提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。 對于公式的證明， 所涉及的內(nèi)容比較多， 邏輯性較強， 在老師的引導(dǎo)下了解論證過程。在公式的運用上按照循序漸進的原則，設(shè)計梯度、 降低難度， 留出學(xué)生的思考空間，讓學(xué)生去嘗試、聯(lián)想、探索，以獨立思考和相互交流相結(jié)合的 形式，在教師的指導(dǎo)下分析和解決問題，幫助學(xué)生獲得成功的體驗。課

4、前準備教師：多媒體課件；學(xué)生：計算器。師生雙邊活教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容動復(fù)習(xí)導(dǎo)入1、說說當(dāng)xx0時，函數(shù)f(x)的極限的定義。教師引導(dǎo)，學(xué)生回憶口如果當(dāng) x 無限接近于定值x 時，函數(shù)f(x)無限接近于一個確定的常數(shù)A ，那么 A 稱為函數(shù)f(x)當(dāng)xx0時述，為了解的極限，記作x lim x 0f(x )A。公 式 的 證明、正確計2、lim x x 0f(x )A的充要條件是什么？算有關(guān)函數(shù)x lim x 0f(x )Alim x x 0f(x)=lim x x 0f(x)A極 限 作 鋪3、說出函數(shù)極限的四則運算法則。墊，達到溫法則 1:設(shè)limf(x )A ,limg(x )B ,故知新的目

5、則limf(x)g(x )limf(x )limg(x )AB的。法則2：設(shè)limf(x )A ,limg(x )B ,則limf(x)g(x )limf(x )limg(x)AB法則3：設(shè)limf(x)A ,limg(x)B ,且B0 ,則limf(x )limf(x )Ag(x )limg(x )B新授4、求下列函數(shù)的極限：x lim x 0 x 25；2 x lim x 2 x4學(xué)生分組鞏32lim x 0 x2x211固練習(xí)一、問題的提出設(shè)疑激趣“0 型” 極限的計算方法 0，到目前為止，我們學(xué)過分組討論因式分解約去非零因子，有理化分子或分母這兩種方法。是不是所有的“0 型” 都可以用

6、這兩種方法解決呢？0教師視情況引導(dǎo)學(xué)生使問題：如何求lim x 0sinx？用計算器代x入進行近似（學(xué)生使用計算器進行實驗）計算，并猜二、動態(tài)演示，驗證猜想想。作單位圓O，設(shè)AOBx(,0 x2),則弧ABx,作BCOA 利用幾何畫于 C ，則BCsinx，拖動點 B ，改變 x 的大小，觀察sinx板事先制作x課件，拖動值的變化趨勢。動點，讓學(xué)得出結(jié)論：lim x 0sinx1生觀察比值x的變化，驗證猜想。體三、證明猜想sinx的分子分母都是當(dāng)x0時會數(shù)形結(jié)合過程見課本P 51P 52思想的作用強調(diào)：極限中函數(shù)教師講授證x的無窮小。明過程，學(xué)這里的自變量 x 是用弧度度量的， 以后引用 生

7、理 解 識這個極限時必須用弧度作單位。記，記住公在利用這個極限求較復(fù)雜函數(shù)的極限時，必 式特征。須注意所有含有自變量的表達形式應(yīng)一致。lim x 0 xx1sin四、公式的應(yīng)用例 1：求lim x 0sinxlim x 0tanx教師引導(dǎo)鼓 勵學(xué)生發(fā)表 觀點。第（1）小題學(xué)生獨立思考，第（2）小題教 師引導(dǎo)并板書。3xx解：lim x 0sinxlim x 0(1sinx)1lim x 0sinx1113 x3x3x33lim x 0tanx=lim x 0(sinx1x)=lim x 0sinxlim x 01xxxcosxcos=111回顧反思： 1、求此類函數(shù)的極限其關(guān)鍵是把此函數(shù)轉(zhuǎn)化為

8、sinx與另一個函數(shù)的乘積， 若另一個函數(shù)的極限可求，x則可求出此函數(shù)的極限。2、當(dāng)x0 時，x、sinx、tanx 為等價無窮小。如學(xué)生嘗試，lim x 0tanx1。sinx例 2：求 lim x 0sin3xlim x 0tan3xxsin2x解：lim x 0sin3xlim x 03sin3x=33 lim x0sin3x=3 教師引導(dǎo)。x3x3x體 會 換 元lim x 0tan3x=lim x 03tan3x2xx法、轉(zhuǎn)化思sin2x23xsin2=33 lim x0tan3x2 lim x02xx想在數(shù)學(xué)解23xsin2題中的重要=3作用。2回顧反思： 1、此例用到了變量替換（

9、換元） ，變量替換后一定要注意變量的變化趨勢可能會發(fā)生變化。2、函數(shù)變形后要注意系數(shù)的變化，防止計算錯誤。師生回顧歸 納交流解題 經(jīng)驗綜合運用，提高分析、解決問題的 能力3 、 一 般 地lim x 0sinaxa，lim x 0tanaxa，bxbbxblim x 0tanaxa。sinbxb例 3：求lim x 01cosxx2解：lim x 01cosx=lim x 02sin2x=1lim x02sinx2=122x2x22x22回顧反思：利用公式lim x 0sinx1求函數(shù)極限，有時不僅x要進行變量替換，還要利用三角函數(shù)公式進行變形。課堂練習(xí)練習(xí)：求下列極限：。lim x 0sinxlim x 0tan3x5xxlim x 0sin5xlim x 01cos2x小結(jié)tan3 xx21