2019屆河南省洛陽(yáng)市高三第二次統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(文)試題(解析版)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)2019屆河南省洛陽(yáng)市高三第二次統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1已知集合，則（ ）ABCD【答案】A【解析】求出集合A，利用交集運(yùn)算直接求解?！驹斀狻坑傻茫海?，又所以，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。2已知的共軛復(fù)數(shù)是，且（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限【答案】D【解析】設(shè)，整理得到方程組，解方程組即可解決問(wèn)題?！驹斀狻吭O(shè)，因?yàn)?，所以，所以，解得：，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，

2、此點(diǎn)位于第四象限.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)知識(shí)，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題。3已知向量，且與的夾角為，則（ ）A5BC7D37【答案】B【解析】求出，從而求得，將等價(jià)變形為，整理即可得解?！驹斀狻坑深}可得：，所以，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量模的坐標(biāo)運(yùn)算、向量的數(shù)量積概念，考查轉(zhuǎn)化能力及計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。4已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則的最大值為（ ）ABCD【答案】C【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，利用表示點(diǎn)與點(diǎn)連線(xiàn)斜率的幾何意義直接求解?！驹斀狻孔鞒霾坏仁浇M表示的平面區(qū)域如下圖：其中,，又，它表示點(diǎn)與點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，由圖可知，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，其與點(diǎn)連線(xiàn)的斜

3、率最大，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了線(xiàn)性規(guī)劃知識(shí)，考查了分式型目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題。5下圖的程序框圖的算法思路源于我國(guó) 古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的“中國(guó)剩余定理”.已知正整數(shù)被 除余， 被除余，被除余，求的最小值.執(zhí)行該程序框圖，則輸出的（ ）A B C D【答案】C【解析】分析：根據(jù)正整數(shù)n被3除余2，被8除余5，被7除余4，求出n的最小值詳解：正整數(shù)n被3除余2，得n=3k+2，kN；被8除余5，得n=8l+5，lN；被7除余4，得n=7m+4，mN；求得n的最小值是53故選：C點(diǎn)睛：本題主要考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，屬于中檔題. 解決程序框圖問(wèn)題時(shí)一定注意以下幾點(diǎn)：(

4、1) 不要混淆處理框和輸入框；(2) 注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu)；(3) 注意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；(4) 處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問(wèn)題時(shí)一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；(5) 要注意各個(gè)框的順序,（6）在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計(jì)算，直到達(dá)到輸出條件即可.6如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（ ）A18B12C10D9【答案】D【解析】由三視圖可得：該幾何體是長(zhǎng)方體中的一個(gè)四棱錐，直接利用錐體體積公式計(jì)算即可求解?！驹斀狻坑扇晥D可得：該幾何體是長(zhǎng)方體中的一個(gè)四棱錐，三視圖中的俯視圖的面積就是四棱錐的底面面積，四棱錐的高為3，所以

5、.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了三視圖還原及錐體體積計(jì)算，考查空間思維能力，屬于基礎(chǔ)題。7已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】A【解析】由函數(shù)的表達(dá)式即可判斷在上遞減，利用單調(diào)性可得：，解不等式即可。【詳解】函數(shù)在各段內(nèi)都是減函數(shù)，并且，所以在上遞減，又，所以解得：，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題。8已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則的最小值是（ ）ABCD【答案】A【解析】化簡(jiǎn)為，求出它的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后的圖象的函數(shù)表達(dá)式，利用所得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)列方程即可求得，問(wèn)題得解?！?/p>

6、詳解】函數(shù)可化為：，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象，又所得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以，解得：，即：，又，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角和的正弦公式及三角函數(shù)圖象的平移、性質(zhì)等知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題。9已知雙曲線(xiàn)的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，且，成等差數(shù)列，則該雙曲線(xiàn)的方程為（ ）ABCD【答案】A【解析】設(shè)雙曲線(xiàn)左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，由，成等差數(shù)列列方程，結(jié)合雙曲線(xiàn)定義即可求得：，用坐標(biāo)表示出，聯(lián)立方程組即可求得，結(jié)合點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，即可列方程求得，問(wèn)題得解?！驹斀狻吭O(shè)雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，因?yàn)椋傻炔顢?shù)列，所以，又點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的右支上，所以，解得：

7、，即：，整理得：，（1）-（2）得：，所以，又點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，所以，將代入，解得：，所以所求雙曲線(xiàn)的方程為，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線(xiàn)的定義及簡(jiǎn)單性質(zhì)、等差數(shù)列的概念，還考查了方程思想及計(jì)算能力，屬于中檔題。10如圖所示，三國(guó)時(shí)代數(shù)學(xué)家在周脾算經(jīng)中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個(gè)全等的直角三角形及一個(gè)小正方形（陰影），設(shè)直角三角形有一個(gè)內(nèi)角為，若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲200顆米粒（大小忽略不計(jì)，取），則落在小正方形（陰影）內(nèi)的米粒數(shù)大約為（ ）A20B27C54D64【答案】B【解析】設(shè)大正方體的邊長(zhǎng)為，從而求得小正方體的邊長(zhǎng)為，設(shè)落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為，利用概率模擬

8、列方程即可求解?！驹斀狻吭O(shè)大正方體的邊長(zhǎng)為，則小正方體的邊長(zhǎng)為，設(shè)落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為，則，解得：故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了概率模擬的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。11已知數(shù)列與的前項(xiàng)和分別為，且,若恒成立，則的最小值是( )ABC49D【答案】B【解析】已知， ，兩式子做差得到 ，故數(shù)列是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到 ，故 ，故裂項(xiàng)求和得到 ，由條件恒成立，得到K的最小值為故答案選B點(diǎn)睛：本題考查到了通項(xiàng)公式的求法， 從而得到數(shù)列是等差數(shù)列，再求出 ，根據(jù)裂項(xiàng)求和的方法可以求出前n項(xiàng)和。12若函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD【答案】D【解析】將函數(shù)恰有

9、兩個(gè)極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化成：函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).即：方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，再轉(zhuǎn)化成：有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，討論的單調(diào)性并畫(huà)出簡(jiǎn)圖，結(jié)合圖象即可列不等式求解。【詳解】由題可得：，因?yàn)楹瘮?shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).令，等價(jià)轉(zhuǎn)化成有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，記：，所以，當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)在此區(qū)間上遞增，當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)在此區(qū)間上遞增，當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)在此區(qū)間上遞減，作出的簡(jiǎn)圖如下：要使得有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則，即：，整理得：.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，還考查了轉(zhuǎn)化思想及計(jì)算能力，考查了函數(shù)圖象與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，屬于難題。二、解答題13如圖，四邊形中，.（1）求；（2）若，四邊形的周長(zhǎng)為1

10、0，求四邊形的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)，由余弦定理可得： ，解方程即可求得，從而發(fā)現(xiàn)，問(wèn)題得解。（2）由四邊形的周長(zhǎng)為10可求得，再利用余弦定理可得，整理即可求得，利用三角形面積公式即可求得，問(wèn)題得解?！驹斀狻拷猓海?）設(shè)，由余弦定理得：.即，.或（舍去）.（2）四邊形的周長(zhǎng)為10，.又，即，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理解三角形，還考查了轉(zhuǎn)化能力及三角形面積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題。14已知平面多邊形中，為的中點(diǎn)，現(xiàn)將三角形沿折起，使.（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）取的中點(diǎn)，連，即可證明，結(jié)合即可證明四邊形為平行四邊形，

11、問(wèn)題得證。（2）取中點(diǎn)，連接，先說(shuō)明平面，即可求得三角形為等邊三角形，取的中點(diǎn)，先說(shuō)明平面，利用體積變換及中點(diǎn)關(guān)系，將轉(zhuǎn)化成，問(wèn)題得解。【詳解】解：（1）取的中點(diǎn)，連. 為中點(diǎn)，為的中位線(xiàn)，.又，四邊形為平行四邊形，.平面，平面，平面.（2）由題意知為等腰直角三角形，為直角梯形.取中點(diǎn)，連接，平面，平面，平面，.在直角三角形中，三角形為等邊三角形.取的中點(diǎn)，則，平面，為的中點(diǎn)，到平面的距離等于到平面的距離的一半，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線(xiàn)面平行的證明，還考查了轉(zhuǎn)化思想及幾何體體積變換，考查計(jì)算能力及空間思維能力，屬于中檔題。15某學(xué)校高三年級(jí)共有4個(gè)班，其中實(shí)驗(yàn)班和普通班各2個(gè)，且各班學(xué)生人數(shù)

12、大致相當(dāng).在高三第一次數(shù)學(xué)統(tǒng)一測(cè)試（滿(mǎn)分100分）成績(jī)揭曉后，教師對(duì)這4個(gè)班的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，其中涉及試題“難度”和“區(qū)分度”等指標(biāo).根據(jù)該校的實(shí)際情況，規(guī)定其具體含義如下：難度，區(qū)分度.（1）現(xiàn)從這4個(gè)班中各隨機(jī)抽取5名學(xué)生，根據(jù)這20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，繪制莖葉圖如下：請(qǐng)根據(jù)以上樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)該次考試試題的難度和區(qū)分度；（2）為了研究試題的區(qū)分度與難度的關(guān)系，調(diào)取了該校上一屆高三6次考試的成績(jī)分析數(shù)據(jù)，得到下表：考試序號(hào)123456難 度0.650.710.730.760.770.82區(qū)分度0.120.160.160.190.200.13用公式計(jì)算區(qū)分度與難度之間的相關(guān)系數(shù)（精確到0

13、.001）；判斷與之間相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)與弱，并說(shuō)明是否適宜用線(xiàn)性回歸模型擬合與之間的關(guān)系.參考數(shù)據(jù)：，.【答案】（1）難度，區(qū)分度；（2）兩者之間相關(guān)性非常一般，不適宜用線(xiàn)性回歸模型擬合與之間的關(guān)系.【解析】（1）根據(jù)莖葉圖得到驗(yàn)班這10人的數(shù)學(xué)總成績(jī)?yōu)?60，普通班這10人的數(shù)學(xué)總成績(jī)?yōu)?00，直接根據(jù)計(jì)算公式計(jì)算即可求解。（2）將轉(zhuǎn)化成，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可計(jì)算得，結(jié)合已知條件可得：，問(wèn)題得解。【詳解】解：（1）由莖葉圖知，實(shí)驗(yàn)班這10人的數(shù)學(xué)總成績(jī)?yōu)?60，普通班這10人的數(shù)學(xué)總成績(jī)?yōu)?00，故這20人的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?，由此估?jì)這4個(gè)班的總平均分為73，所以難度.由估計(jì)實(shí)驗(yàn)班的平均分為86，由估

14、計(jì)普通班的平均分為70，所以區(qū)分度.（2）由于，.且，. .由于，故兩者之間相關(guān)性非常一般，不適宜用線(xiàn)性回歸模型擬合與之間的關(guān)系，即使用線(xiàn)性回歸模型來(lái)擬合，效果也不理想.【點(diǎn)睛】本題主要考查了莖葉圖知識(shí)，平均數(shù)計(jì)算，還考查了線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)的計(jì)算及相關(guān)性判斷，考查計(jì)算能力及化簡(jiǎn)能力，屬于中檔題。16已知橢圓：，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)，離心率為，直線(xiàn)與橢圓相交于，兩點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若是弦的中點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，求的面積最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)可求得，結(jié)合離心率為即可求得，問(wèn)題得解。（2）設(shè)，.設(shè)直線(xiàn)的方程為：，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程可得：，結(jié)合可求得，利用弦長(zhǎng)公

15、式求得，再利用直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系即可求出點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值，問(wèn)題得解。【詳解】解：，為橢圓的左焦點(diǎn)，設(shè)橢圓的焦距為，所以，離心率為，又，所以，橢圓的方程為：.（2）設(shè)，.是弦的中點(diǎn)，直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)斜率為，則直線(xiàn)的方程為：，即.由聯(lián)立，整理得：，因?yàn)橹本€(xiàn)與橢圓相交，所以成立.，直線(xiàn)的方程為：， .要使的面積最大值，而是定值，需點(diǎn)到的距離最大即可.設(shè)與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)方程為：，由方程組聯(lián)立，得，令，得.是橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)到的最大距離，即直線(xiàn)到直線(xiàn)的距離.而，此時(shí) .因此，的面積最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，還考查了韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式、弦長(zhǎng)公式，考查了方程思想、兩平行線(xiàn)間

16、方程的關(guān)系及計(jì)算能力，考查了直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系及轉(zhuǎn)化思想，屬于難題。17已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）求出，對(duì)的正負(fù)分類(lèi)討論即可。（2）利用（1）中的結(jié)論即可判斷在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，對(duì)與區(qū)間的關(guān)系分類(lèi)討論即可判斷在的單調(diào)性，從而根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)列不等式組即可求解。【詳解】解：（1）的定義域?yàn)椋?時(shí)，所以在上單調(diào)遞增；時(shí)，由得，得.即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若，即時(shí)，在上單調(diào)遞增

17、，在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn).若，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，.在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，.若，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).綜上，在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，還考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化能力及分類(lèi)討論思想、計(jì)算能力，屬于難題。18選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（是參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線(xiàn)的普通方程和曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)伸縮變換得到曲線(xiàn)，是曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)到曲線(xiàn)的距離的最大值.【答案】（1）的普通方程為：，的直

18、角坐標(biāo)方程為：；（2）.【解析】（1）直接消參可得曲線(xiàn)的普通方程，整理可得，將代入即可求得曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程，問(wèn)題得解。（2）利用伸縮變換求得曲線(xiàn)：，利用橢圓的參數(shù)方程可設(shè)，結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式及輔助角公式即可解決問(wèn)題?！驹斀狻拷猓海?），消參可得曲線(xiàn)的普通方程為：，又,代入可得：.故曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為：.（2）曲線(xiàn)：，經(jīng)過(guò)伸縮變換得到曲線(xiàn)的方程為：，曲線(xiàn)的方程為：.設(shè)，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得 （其中），點(diǎn)到曲線(xiàn)的距離的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了化參數(shù)方程為普通方程及化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程知識(shí)，還考查了伸縮變換及橢圓的參數(shù)方程應(yīng)用，考查點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式、輔助角公式及計(jì)算能力，屬

19、于中檔題。19已知函數(shù)， .(1)當(dāng)時(shí)，解不等式；(2)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）由，得，兩邊平方，可解不等式。（2）由參變分離法可得，只需， .，分段討論或絕對(duì)值不等式法，可得最大值為1.試題解析：（）由，得， 兩邊平方，并整理得， 所以不等式的解集為. （）法一：由，得，即. 令，依題意可得. ， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上述不等式的等號(hào)同時(shí)成立，所以.所以的取值范圍是. 法二：由，得，即. 令，依題意可得. ， 易得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)， 取得最大值. 故的取值范圍是.三、填空題20已知函數(shù)，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為_(kāi)【答案】【解析】分別求出及，即可求得，利用點(diǎn)斜式即可得到所求切線(xiàn)方程，問(wèn)題得解?！驹斀狻坑深}可得：，點(diǎn)化為：又，所以，所以所求切線(xiàn)斜率為，所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為：，整理得：，所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。21等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則_【答案】50【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：，由此求得，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算知識(shí)整理，問(wèn)題得解。【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：，所以，所以，又【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，還考查了