三湘名校教育聯(lián)盟2020屆高三第二次大聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)三湘名校教育聯(lián)盟2020屆高三第二次大聯(lián)考理科數(shù)學(xué)一、選擇題:本題共12小題，每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A，若AB,則a的最小值為A.1B.2C.3D.42.設(shè)i是虛數(shù)單位，則a=A. -2B. -1C.1D.23.已知函數(shù)則4.已知向量1),則向量與的夾角為A.45B.60C.90D.1205.,表示兩個(gè)不同的平面,m為平面內(nèi)的一條直線,則”是“”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分

2、也不必要條件6.我國古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)有如下問題：“今有器中米，不知其數(shù)，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升。問，米幾何？”如圖是解決該問題的程序框圖，執(zhí)行該程序框圖，若輸出的S=15，則輸入的k的值為。A.45 B.60 C.75 D.1007.要得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像A.向左平移個(gè)單位B.向左平移個(gè)單位C.向右平移單位D.向右平移個(gè)單位8.閱讀名著,品味人生,是中華民族的優(yōu)良傳統(tǒng).2020年寒假期間,學(xué)生李華計(jì)劃每周一至周五的每天閱讀一個(gè)小時(shí)中國四大名著:紅樓夢、三國演義、水滸傳及西游記,其中每天閱讀一種,每周每種至少閱讀一次,則每周不同的閱讀計(jì)劃共有A.120

3、種B.240種C.480種D.600種9.已知a,b,c分別為ABC內(nèi)角A,B,C的對邊,a= 1,4csinA-3cosC,ABC的面積為,則c=B.4C.510.定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(-3-x)+ f(x-3)=0.若f(1)=1,f(2)=-2,則f(1)+f(2)+ f(3) + f(2020)=A. -1B.0C.1D.211.已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),過的直線l交C于A，B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若,則C的離心率為A.212.已知A,B是函數(shù)圖像上不同的兩點(diǎn),若曲線y= f(x)在點(diǎn)A、B處的切線重合,則實(shí)數(shù)a的最小值是A. -1D.1二、填空題:本題共4小題，每小題分

4、,共20分。13.已知x,y滿足約束條件,則z=3x+2y的最小值為_.14.若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),則C的長軸長為_15.已知函數(shù),若方程的解為則_，_.(本題第一空2分,第二空3分)16.在四棱錐P-ABCD中,PAB是邊長為的正三角形,ABCD為矩形,AD=2,PC= PD=若四棱錐P-ABCD的頂點(diǎn)均在球O的球面上,則球O的表面積為_三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答。(一)必考題:共60分。17. (12分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為且是與的等差中項(xiàng).(

5、1)證明:為等差數(shù)列,并求；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求滿足的最小正整數(shù)n的值.18. (12分)如圖,三棱柱中,ABC與均為等腰直角三角形,側(cè)面是菱形.(1)證明:平面ABC 平面；(2)求二面角的余弦值.19. （12分）某學(xué)校為了解全校學(xué)生的體重情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100 人的體重?cái)?shù)據(jù)，得到如下頻率分布直方圖，以樣本的頻率作為總體的概率。(1)估計(jì)這100人體重?cái)?shù)據(jù)的平均值和樣本方差(結(jié)果取整數(shù),同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)(2)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生,記X為體重在的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，該校學(xué)生的體重Y近似服從正態(tài)分布

6、若P(-2Y0.9544,則認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的.試判斷該校學(xué)生的體重是否正常?并說明理由.20. (12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,M為直線y=x-2上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)M作拋物線的兩條切線MA,MB,切點(diǎn)分別為A,B,N為AB的中點(diǎn).(1)證明:MNx軸;(2)直線AB是否恒過一定點(diǎn)?若是,求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,請說明理由.21. (12分)已知函數(shù)(1)討論f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);(2)證明:當(dāng)時(shí),(二)選考題:共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計(jì)分。22.選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為 (為參數(shù)

7、),將曲線C.上各點(diǎn)縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變),得到曲線以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為(1)寫出的極坐標(biāo)方程與直線l的直角坐標(biāo)方程;(2)曲線上是否存在不同的兩點(diǎn))(以上兩點(diǎn)坐標(biāo)均為極坐標(biāo),使點(diǎn)M、N到l的距離都為3?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.23.選修4-5:不等式選講(10分)已知a,b均為正數(shù),且ab=1.證明:(1)(理科數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分）題號123456789101112答案BCACABABDCDB1B解析：由題意可得 Ba，a，aN*，a 的最小值為 2.2C

8、解析：5ai(32i)(ai)3a2(32a)i，53a2 且 a32a，解得 a1.f(33A解析： 3)log 31，f(1)21 2，故選 A.3322224C解析：BCACAB(2，3)，ABBC660，AB與BC的夾角為 90.5A解析：當(dāng)時(shí)，有 m；當(dāng) m時(shí)，不一定有，故選 A.6B解析：n1，Sk；n2，Sk n3，S ；n4，S 退；出循環(huán)，由題意可得 15，解得 k607A解析：把 ysin2x 3cos2x2sin(2x)2cos(2x5)的圖像向左平移個(gè)單位，得到 y362)2cos(2(x)5 2cos(2x) 3cos2xsin2x，故選 A. 266548B解析：由

9、題意 5 天中，有 2 天閱讀同一名著，故每周不同的閱讀計(jì)劃共有 C2A4240 種9.D解 析 ： a 1 ， 4csinA=3cosC ， 4csinA=3acosC ， 4sinCsinA=3sinAcosC ， tanC= 3 , sinC 3 , cos C 4 , 345523absinC 10ab ， 解得 b 5 ， 由余弦定理可得 c 1 25 2 1 5 452 310C 解析：由已知得 f(x)f(x)，f(3x)f(x3)0，f(x3)f(x3)，f(x)f(x6)， 即 f(x)的周期為 6.f(1)1，f(2)2，f(0)0，f(3)f(3)f(3)0，f(4)f(

10、2)f(2)2， f(5)f(1)f(1)1，f(6)0，f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)0，且 202063364，f(1)f(2)f(3)f(2020)f(1)f(2)f(3)f(4)1.711D解析：取 AB 中點(diǎn) E，連接 EF2 ，則由已知可得 BF1 EF2 , F1 A AE EB ，設(shè) F1 A x ， 則由雙曲線的定義可得 AF2 2a x, BF1 BF2 3x 2a x 2a, x 2a, EF2 2 3a ，由勾股定理可得4a 2 2 3a 2 2c 2 ,c 2 7a 2, e c .a12B解析：當(dāng) x0 時(shí)，f(x)2x1，當(dāng) x0 時(shí)，f(x)l

11、nx1，設(shè) A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)，x 0 x .當(dāng) x 0 時(shí)，曲線 yf(x)在點(diǎn) A(x ，f(x )處的切線方程為 y(x2x a)(2x 1)(xx )，121111111當(dāng) x20 時(shí)，曲線 yf(x)在點(diǎn) B(x2，f(x2)處的切線方程為 yx2lnx2a(lnx21)(xx2)兩直線重合的充要條件是 lnx 12x 1，x aax2，由得 a1(x2e2x1)，x 0.令 g(x)1(x221211122e2x)(x0)，則 g(x)xe2x，g(x)12e2x，由 g(x)0 得 x1ln1x11時(shí)，g(x)有最大，則當(dāng)ln2 222值為 g(1ln1)

12、1l 110，g(x)在(，0上單調(diào)遞減，g(x)g(0)1，即實(shí)數(shù) a 的最小值是n2 22 222.12二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分）313. 214. 215. 243516.28132解析：作出可行域知 z 3x 2 y 在點(diǎn)（0,2）處取得最大值 2.3314 2解析：由已知可得 m2m11，解得 m2 或 m1(舍去)，長軸長為 2.1524解析：0 x，2x(，11)，方程 f(x)3的解為 x1，x2(0 x1x2352x12x26665222)， 66 2，解得 x1x223，x23x1，sin(x1x2)sin(2x1)3cos(2x1)x1

13、x2，x22x1，0 x1，2x1(，)，由 f(x1)sin(2x1)6333446626 得 cos(2x156) ，sin(x1x2) .551628 解析：如圖，取 AB，CD 的中點(diǎn) E，F(xiàn)，連接 PE，EF，PF，取 EF 的中點(diǎn) H，PE 的三等分點(diǎn) G，使 PG2GE，則 H，G 分別為四邊形 ABCD 與PAB 的中心，過 H 作平面 ABCD 的垂線與過 G 作平面 PAB 的垂線交于 O，則 O 為球心，由已知 PF 19，EGEH1，cosPEFPE2EF2PF21 ，2PEEF2PEF120，GHOHOG 3，AH2，ROA 7，S4R228.a三、解答題（本大題共

14、6 小題，共 70 分）解析：（1）由題意可得 2S a 1 ，當(dāng) n 1 時(shí)， 2S a 1， a 2 1， a 1，nnn11111a當(dāng) n 2 時(shí)， a S S，則 2S S S1，整理可得 S 2 S2 1 ,nnn 1nnn 1Sn Sn 1nn 1nS 2 是首項(xiàng)為 1，公差為 1 的等差數(shù)列，n S 2 S 2 (n 1) n ， S 6 分n1nn 1 nn 1 n1（2）由（1）可得bn ，2Tn 1 3 2 n n 1 n 1 n 1 1 5 ，解得 n 35 ，n最小正整數(shù) n 的值為 3512 分解析：(1)取 BC 中點(diǎn) O，連接 AO，A1O，由已知可得 AOBC，

15、A1OBC，AOA1O1BCOB，2側(cè)面 BAA1B1 是菱形，ABAA1，AOA1AOB，AOBAOA190A1OAO，AOBCO，A1O平面 ABC，平面 ABC平面 A1BC.(5 分)(2)設(shè) BC2，則 AOA1OBOOC1，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系 Oxyz則 A(1，0，0)，A1(0，0，1)，B(0，1，0)，C(0，1，0)，AA1CC1(1，0，1)，C1(1，1，1)， (1，2，1)， (1，1，0)，BC1BA設(shè)平面 ABC1 的法向量為 m(x，y，z)，x2yz0則xy0，令 x1 得 m(1，1，3)同理可求得平面 BCC1 的法向量 n(1，0，1)，co

16、s 42 22.(12 分)11 21119解析：(1)(47.572.5)0.0045(52.567.5)0.0265(57.562.5)0.07560；2 (60 47.5)2 (72.5 60)20.02 (60 52.5)2 (67.5 60)2 0.13 (60 57.5)2 (62.5 60)20.3525.(4 分)由已知可得從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取 1 人，體重在55，65)的概率為 0.7，隨機(jī)抽取 3 人，相當(dāng)于 3 次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，隨機(jī)變量 X 服從二項(xiàng)分布 B(3，0.7)，則 P(X0)C00.700.330.027，P(X1)C10.70.320.189，33P(X2)

17、C20.720.30.441，P(X3)C30.730.300.343，33所以 X 的分布列為：X0123P0.0270.1890.4410.343數(shù)學(xué)期望 EX30.72.1.(9 分)由題意知 Y 服從正態(tài)分布 N(60，25)，則 P(2Y2)P(50Y70)0.960.9544， 所以可以認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的(12 分)1220解析：(1)設(shè)切點(diǎn) A(x1，x2)，B(x2，x2)，y2x，1切線 MA 的斜率為 2x1，切線 MA：yx22x1(xx1)，設(shè) M(t，t2)，則有 t2x22x (tx )，化簡得 x22tx t20，11111同理可得 x22tx t20.2

18、2x1，x2 是方程 x22txt20 的兩根，x1x22t，x1x2t2，xNx1x2txM，MNx 軸(6 分) 2(2)yN1(x2x2)1(x1x2)2x1x22t2t2，N(t，2t2t2)1222k x2x2x x 2t，直線 AB：y(2t2t2)2t(xt)，即 y22t(x1)，12AB12x1x22直線 AB 過定點(diǎn)(1，2)(12 分)221解析：(1)f(x)ax1，x(0，)，x2a111當(dāng) a0 時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，f(當(dāng) a0 時(shí)，f(x)無零點(diǎn)；)ae0，f(ee)1ea0，此時(shí) f(x)有 1 個(gè)零點(diǎn)；(當(dāng) a0 時(shí)，由 f(x)0 得 x(0，1)，由 f(x)0 得 x(1，)，f(x)在(0，1)單調(diào)遞減，在 1，a)單調(diào)遞增，f(x)在 x1處取得最小值aaaaf(1)alnaa， a若alnaa0，則 ae，此時(shí) f(x)沒有零點(diǎn)；若alnaa0，則