2010年全國高中數學聯賽B卷(含詳細解答)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)2010年全國高中數學聯合競賽一試試題參考答案及評分標準（B卷）說明：1. 評閱試卷時，請依據本評分標準. 填空題只設8分和0分兩檔；其他各題的評閱，請嚴格按照本評分標準的評分檔次給分，不要增加其他中間檔次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評卷時可參考本評分標準適當劃分檔次評分，解答題中第9小題4分為一個檔次，第10、11小題5分為一個檔次，不要增加其他中間檔次。一、填空題（本題滿分64分，每小題8分）函數的值域是 .解：易知的定義域是，

2、且在上是增函數，從而可知的值域為.已知函數的最小值為，則實數的取值范圍是 .解：令，則原函數化為，即.由 ， ， 及 知 即 （1）當時（1）總成立；對；對.從而可知 .雙曲線的右半支與直線圍成的區(qū)域內部（不含邊界）整點（縱橫坐標均為整數的點）的個數是 9800 .解：由對稱性知，只要先考慮軸上方的情況，設與雙曲線右半支于,交直線于，則線段內部的整點的個數為，從而在軸上方區(qū)域內部整點的個數為 .又軸上有98個整點，所以所求整點的個數為 .已知是公差不為的等差數列，是等比數列，其中，且存在常數使得對每一個正整數都有，則 .解：設的公差為的公比為，則 （1） ， （2）（1）代入（2）得，求得.從

3、而有 對一切正整數都成立，即 對一切正整數都成立.從而 ， 求得 ， .函數 在區(qū)間上的最大值為8，則它在這個區(qū)間上的最小值是 .解：令則原函數化為,在上是遞增的.當時，,，所以 ；當時，所以 .綜上在上的最小值為.兩人輪流投擲骰子，每人每次投擲兩顆，第一個使兩顆骰子點數和大于6者為勝，否則輪由另一人投擲.先投擲人的獲勝概率是 .解：同時投擲兩顆骰子點數和大于6的概率為，從而先投擲人的獲勝概率為.正三棱柱的9條棱長都相等，是的中點，二面角,則 .解一：如圖，以所在直線為軸，線段中點為原點，所在直線為軸，建立空間直角坐標系.設正三棱柱的棱長為2，則，從而，.設分別與平面、平面垂直的向量是、，則由

4、此可設 ，所以，即.所以 .解二：如圖， .設與交于點 則 .從而平面 .過在平面上作,垂足為.連結,則為二面角的平面角.設,則易求得.在直角中，,即 .又 .方程滿足的正整數解（x,y,z）的個數是 . 解：首先易知的正整數解的個數為 .把滿足的正整數解分為三類：（1）均相等的正整數解的個數顯然為1；（2）中有且僅有2個相等的正整數解的個數，易知為1003； (3)設兩兩均不相等的正整數解為.易知 ， ， .從而滿足的正整數解的個數為 .二、解答題（本題滿分56分）9.（本小題滿分16分）已知函數，當時，試求的最大值.解一： 由 得 （4分） . （8分） 所以 ， . （12分）又易知當（

5、為常數）滿足題設條件，所以最大值為.（16分）解二：. 設，則當時，. 設 ，則. （4分）容易知道當時，. （8分）從而當時， ， 即 ，從而 ,，由 知. （12分）又易知當（為常數）滿足題設條件，所以最大值為. （16分）10.（本小題滿分20分）已知拋物線上的兩個動點，其中且.線段的垂直平分線與軸交于點，求面積的最大值. 解一：設線段的中點為，則 ， .線段的垂直平分線的方程是 . （1）易知是（1）的一個解，所以線段的垂直平分線與軸的交點為定點，且點坐標為. （5分）由（1）知直線的方程為 ，即 . （2）（2）代入得 ，即 .（3）依題意，是方程（3）的兩個實根，且，所以 , .

6、. 定點到線段的距離 . （10分） . （15分）當且僅當，即,或時等號成立. 所以面積的最大值為. （20分）解二：同解一，線段的垂直平分線與軸的交點為定點，且點坐標為. （5分） 設，則 的絕對值, （10分） , , （15分） 當且僅當且，即 ,或時等號成立. 所以面積的最大值是. （20分）11.（本小題滿分20分）數列滿足.求證: . （1）證明：由 知 ， . （2）所以 即 . （5分）從而 .所以（1）等價于 ，即 . （3） （10分）由 及 知 .當時 ， ，即時，（3）成立.設時，（3）成立，即 .當時，由（2）知 ； （15分）又由（2）及 知 均為整數，從而由 有

7、 即 ，所以 ，即（3）對也成立.所以（3）對的正整數都成立，即（1）對的正整數都成立. （20分）2010年全國高中數學聯合競賽加試試題參考答案及評分標準（B卷）說明：1. 評閱試卷時，請嚴格按照本評分標準的評分檔次給分.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評卷時可參考本評分標準適當劃分檔次評分，10分為一個檔次，不要增加其他中間檔次。一、（本題滿分40分） 如圖，銳角三角形ABC的外心為O，K是邊BC上一點（不是邊BC的中點），D是線段AK延長線上一點，直線BD與AC交于點N，直線CD與AB交于點M求證：若OKMN，則A，B，D，C四點共圓證明：用反證法若A，B

8、，D，C不四點共圓，設三角形ABC的外接圓與AD交于點E，連接BE并延長交直線AN于點Q，連接CE并延長交直線AM于點P，連接PQ因為P的冪（關于O）K的冪（關于O） ，同理 ，所以 ，故 （10分）由題設，OKMN，所以PQMN，于是 由梅內勞斯（Menelaus）定理，得， 由，可得， （30分）所以，故DMN DCB，于是，所以BCMN，故OKBC，即K為BC的中點，矛盾！從而四點共圓. （40分）注1：“P的冪（關于O）K的冪（關于O）”的證明：延長PK至點F，使得， 則P，E，F，A四點共圓，故，從而E，C，F，K四點共圓，于是， -，得 P的冪（關于O）K的冪（關于O） 注2：若點

9、E在線段AD的延長線上，完全類似二、（本題滿分40分）設和是大于1的整數，求證： 證明： （20分） （40分）三、（本題滿分50分）設為非負實數, 求證：. 證明：首先證明左邊不等式.因為 ,同理,有 , ; （10分）于是 ; （20分）由算術-幾何平均不等式, 得 ,所以 .左邊不等式獲證, 其中等號當且僅當時成立. （30分）下面證明右邊不等式.根據欲證不等式關于對稱, 不妨設, 于是 ,所以 . （40分）運用算術-幾何平均不等式, 得 .右邊不等式獲證, 其中等號當且僅當中有一個為0,且另外兩個相等時成立. （50分）四、（本題滿分50分）設k是給定的正整數，記，證明：存在正整數m，使得為一個整數這里，表示不小于實數x的最小整數，例如：，證明：記表示正整數n所含的2的冪次則