高三數(shù)學(xué)(理科)二輪復(fù)習(xí)教案專題六第二講空間中的平行與垂直

1、第二講空間中的平行與垂直研熱點（聚焦突破）類型一 空間線線、線面位置關(guān)系1線面平行的判定定理：a，b，aba.2線面平行的性質(zhì)定理：a，a，bab.3線面垂直的判定定理：m，n，mnP，lm，lnl.4線面垂直的性質(zhì)定理：a，b ab.例1(2012年高考山東卷)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB60，F(xiàn)C平面ABCD，AEBD，CBCDCF.(1)求證：BD平面AED；(2)求二面角FBDC的余弦值解析(1)證明：因為四邊形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB60，所以ADCBCD120.又CBCD，所以CDB30，因此ADB90，即ADBD.又AEBD，且AE

2、ADA，AE，AD平面AED，所以BD平面AED.(2)解法一由(1)知ADBD，所以ACBC.又FC平面ABCD，因此CA，CB，CF兩兩垂直以C為坐標(biāo)原點，分別以CA，CB，CF所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖(1)所示的空間直角坐標(biāo)系不妨設(shè)CB1，則C(0，0，0)，B(0，1，0)，D(eq f(r(3),2)，eq f(1,2)，0)，F(xiàn)(0，0，1)(1)因此eq o(BD,sup12()(eq f(r(3),2)，eq f(3,2)，0)，eq o(BF,sup12()(0，1，1)設(shè)平面BDF的一個法向量為m(x，y，z)，則meq o(BD,sup12()0，meq o

3、(BF,sup12()0，所以xeq r(3)yeq r(3)z，取z1，則m(eq r(3)，1，1)由于eq o(CF,sup12()(0，0，1)是平面BDC的一個法向量，則cosm，eq o(CF,sup12()eq f(mo(CF,sup12(),|m|o(CF,sup12()|)eq f(1,r(5)eq f(r(5),5)，所以二面角FBDC的余弦值為eq f(r(5),5).解法二如圖(2)，取BD的中點G，連接CG，F(xiàn)G，由于CBCD，因此CGBD.又FC平面ABCD，BD平面ABCD，所以FCBD.由于FCCGC，F(xiàn)C，CG平面FCG，所以BD平面FCG，故BDFG，所以F

4、GC為二面角FBDC的平面角(2)在等腰三角形BCD中，由于BCD120，因此CGeq f(1,2)CB.又CBCF，所以CFeq r(CG2CF2)eq r(5)CG，故cosFGCeq f(r(5),5)，因此二面角FBDC的余弦值為eq f(r(5),5).跟蹤訓(xùn)練(2012年濟南摸底)如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC為正三角形，M、N、G分別是棱CC1、AB、BC的中點且CC1eq r(2)AC.(1)求證：CN平面AMB1；(2)求證：B1M平面AMG.證明：(1)設(shè)線段AB1的中點為P，連接NP、MP，CMeq f(1,2)AA1，NPeq f(1,2)AA1，CM

5、NP，四邊形CNPM是平行四邊形，CNMP，CN平面AMB1，MP平面AMB1，CN平面AMB1.(2)CC1平面ABC，平面CC1B1B平面ABC，AGBC，AG平面CC1B1B，B1MAG.CC1平面ABC，平面A1B1C1平面ABC，CC1AC，CC1B1C1，設(shè)AC2a，則CC12eq r(2)a，在RtMCA中，AM eq r(CM2AC2)eq r(6)a，在RtB1C1M中，B1M eq r(B1Ceq oal(2,1)C1M2)eq r(6)a.BB1CC1，BB1平面ABC，BB1AB，AB1eq r(B1B2AB2)eq r(C1C2AB2)2eq r(3)a，注意到AM2

6、B1M2ABeq oal(2,1)，B1MAM，類型二 空間面面位置關(guān)系1面面垂直的判定定理：a，a.2面面垂直的性質(zhì)定理：，l，a，al .3面面平行的判定定理：a，b，abA，a，b.4面面平行的性質(zhì)定理：，a，beq avs4al()b.5面面平行的證明還有其它方法(2)例2(2012年高考江蘇卷)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(點D不同于點C)，且ADDE，F(xiàn)為B1C1的中點求證：(1)平面ADE平面BCC1B1；(2)直線A1F平面ADE.證明(1)因為ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.又AD平面ABC，所

7、以CC1AD.又因為ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.(2)因為A1B1A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點，所以A1FB1C1.因為CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1A1F.又因為CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1，所以A1F平面BCC1B1.由(1)知AD平面BCC1B1，所以A1FAD.又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平面ADE.跟蹤訓(xùn)練(2012年大同模擬)如圖，菱形ABCD的邊長為6，BAD60，ACBDO.將菱形ABCD沿對角線AC折起，

8、得到三棱錐，點M是棱BC的中點，DM3eq r(2).(1)求證：平面ABC平面MDO；(2)求三棱錐M-ABD的體積解析：(1)證明：由題意得OMOD3，因為DM3eq r(2)，所以DOM90，ODOM.又因為四邊形ABCD為菱形，所以O(shè)DAC.因為OMACO，所以O(shè)D平面ABC，因為OD平面MDO，所以平面ABC平面MDO.(2)三棱錐MABD的體積等于三棱錐DABM的體積由(1)知，OD平面ABC，所以O(shè)D為三棱錐DABM的高又ABM的面積為eq f(1,2)BABMsin 120eq f(1,2)63eq f(r(3),2)eq f(9r(3),2)，所以M-ABD的體積等于eq f

9、(1,3)SABMODeq f(9r(3),2).類型三 折疊中的位置關(guān)系將平面圖形沿其中一條或幾條線段折起，使其成為空間圖形，這類問題稱之為平面圖形翻折問題平面圖形經(jīng)過翻折成為空間圖形后，原有的性質(zhì)有的發(fā)生了變化、有的沒有發(fā)生變化，弄清它們是解決問題的關(guān)鍵一般地，翻折后還在同一個平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個平面上的性質(zhì)發(fā)生變化例3(2012年高考浙江卷)已知矩形ABCD，AB1，BCeq r(2)，將ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進行翻折，在翻折過程中()A存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直B存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直C存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直D

10、對任意位置，三對直線“AC與BD”，“AB與CD”，“AD與BC”均不垂直解析找出圖形在翻折過程中變化的量與不變的量對于選項A，過點A作AEBD，垂足為E，過點C作CFBD，垂足為F，在圖(1)中，由邊AB，BC不相等可知點E，F(xiàn)不重合在圖(2)中，連接CE，若直線AC與直線BD垂直，又ACAEA，BD面ACE，BDCE，與點E，F(xiàn)不重合相矛盾，故A錯誤對于選項B，若ABCD，又ABAD，ADCDD，AB面ADC，ABAC，由ABAB，不存在這樣的直角三角形C錯誤由上可知D錯誤，故選B.答案B跟蹤訓(xùn)練如圖1，直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90，E，F(xiàn)分別為邊AD和BC上的點，且EFAB，

11、AD2AE2AB4FC4.將四邊形EFCD沿EF折起成如圖2的形狀，使ADAE.(1)求證：BC平面DAE；(2)求四棱錐DAEFB的體積解析：(1)證明：BFAE，CFDE，BFCFF，AEDEE.平面CBF平面DAE，又BC平面CBF，BC平面DAE.(2)取AE的中點H，連接DH.EFDE，EFEA，EF平面DAE.又DH平面DAE，EFDH.AEDEAD2，DHAE，DHeq r(3).DH平面AEFB.四棱錐DAEFB的體積Veq f(1,3)eq r(3)22eq f(4r(3),3).析典題（預(yù)測高考）高考真題【真題】(2012年高考陜西卷)(1)如圖所示，證明命題“a是平面內(nèi)的

12、一條直線，b是外的一條直線(b不垂直于)，c是直線b在上的投影，若ab，則ac”為真；(2)寫出上述命題的逆命題，并判斷其真假(不需證明)【解析】(1)證明：證法一如圖(1)，過直線b上任一點作平面的垂線n，設(shè)直線a，b，c，n的方向向量分別是a，b，c，n，則b，c，n共面根據(jù)平面向量基本定理，存在實數(shù)，使得cbn，則aca(bn)(ab)(an)因為ab，所以ab0.又因為a，n，所以an0.故ac0，從而ac.證法二如圖(2)，記cbA，P為直線b上異于點A的任意一點，過P作PO，垂足為O，則Oc.因為PO，a，所以直線POa.又ab，b平面PAO，PObP，所以a平面PAO.又c平面P

13、AO，所以ac.(2)逆命題為：a是平面內(nèi)的一條直線，b是外的一條直線(b不垂直于)，c是直線b在上的投影，若ac，則ab.逆命題為真命題【名師點睛】本題實際上考查了三垂線定理逆定理的證明，命題創(chuàng)意新穎，改變了多數(shù)高考命題以空間幾何體為載體考查線面位置關(guān)系的證明著重考查推理論證能力考情展望名師押題【押題】一個空間幾何體的三視圖及部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示，其正視圖、俯視圖均為矩形，側(cè)視圖為直角三角形(1)請畫出該幾何體的直觀圖，并求出它的體積；(2)證明：A1C平面AB1C1；(3)若D是棱CC1的中點，E是棱AB的中點，判斷DE是否平行于平面AB1C1，并證明你的結(jié)論【解析】(1)幾何體的直觀圖如圖所示，四邊形BB1C1C是矩形，BB1CC1eq r(3)，BCB1C11，四邊形AA1C1C是邊長為eq r(3)的正方形，且平面AA1C1C垂直于底面BB1C1C，故該幾何體是直三棱柱，其體積VSABCBB1eq f(1,2)1eq r(3)eq r(3)eq f(3,2).(2)證明：由(1)知平面AA1C1C平面BB1C1C且B1C1CC1，所以B1C1平面ACC1A1，所以B1C1A1C.因為四