高考數(shù)學(xué)高考大題增分課(六)概率與統(tǒng)計(jì)中的高考熱點(diǎn)問題教學(xué)案文北師大版

1、六概率與統(tǒng)計(jì)中的高考熱點(diǎn)問題命題解讀1.統(tǒng)計(jì)與概率是高考中相對(duì)獨(dú)立的一塊內(nèi)容，處理問題的方式、方法體現(xiàn)了較高的思維含量，該類問題以應(yīng)用題為載體，注重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模及閱讀理解能力、分類討論與化歸轉(zhuǎn)化能力.2概率問題的核心是概率計(jì)算，其中事件的互斥、對(duì)立是概率計(jì)算的核心統(tǒng)計(jì)問題的核心是樣本數(shù)據(jù)的獲得及分析方法，重點(diǎn)是頻率分布直方圖、莖葉圖和樣本的數(shù)字特征，統(tǒng)計(jì)與概率內(nèi)容相互滲透，背景新穎統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例以統(tǒng)計(jì)圖表或文字?jǐn)⑹龅膶?shí)際問題為載體，通過對(duì)相關(guān)數(shù)據(jù)的分析、抽象概括，作出估計(jì)、判斷.常與抽樣方法、莖葉圖、頻率分布直方圖、概率等知識(shí)交匯考查，考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力與運(yùn)算能力及應(yīng)用意識(shí)【例1】已

2、知某班n名同學(xué)的數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)(單位：分，滿分100分)的頻率分布直方圖如圖所示，其中a，b，c成等差數(shù)列，且成績(jī)?cè)?0,100內(nèi)的有6人(1)求n的值；(2)規(guī)定60分以下為不及格，若不及格的人中女生有4人，而及格的人中，男生比女生少4人，借助獨(dú)立性檢驗(yàn)分析能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為“本次測(cè)試的及格情況與性別有關(guān)”？附：P(2x0)x00.102.7060.053.8410.0106.6350.0057.8792abnadbc2cdacbd.解(1)依題意得2bac，100.025c2ba1，所以n60.解得b0.01.因?yàn)槌煽?jī)?cè)?0,100內(nèi)的有6人，60.0110(2)由

3、于2bac，而b0.01，可得ac0.02，則不及格的人數(shù)為0.02106012，及格的人數(shù)為601248，設(shè)及格的人中，女生有x人，則男生有x4人，于是xx448，解得x26，故及格的人中，女生有26人，男生有22人于是本次測(cè)試的及格情況與性別的22列聯(lián)表如下：男女總計(jì)及格222648不及格8412總計(jì)303060所以23030481221.6672.706，故不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為“本次測(cè)試的及格情況與性別有關(guān)”規(guī)律方法獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法(1)構(gòu)造22列聯(lián)表；(2)計(jì)算2；(3)查表確定有多大的把握判定兩個(gè)變量有關(guān)聯(lián)易錯(cuò)提示：查表時(shí)不是查最大允許值，而是先根據(jù)題目要求的

4、百分比找到第一行對(duì)應(yīng)的數(shù)值，再將該數(shù)值對(duì)應(yīng)的臨界值與求得的2相比較另外，表中第一行數(shù)據(jù)表示兩個(gè)變量沒有關(guān)聯(lián)的可能性p，所以其有關(guān)聯(lián)的可能性為1p.近幾年出現(xiàn)各種食品問題，食品添加劑會(huì)引起血脂增高、血壓增高、血糖增高等疾病為了解三高疾病是否與性別有關(guān)，醫(yī)院隨機(jī)對(duì)入院的60人進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到了如下的列聯(lián)表：(1)請(qǐng)將如圖的列聯(lián)表補(bǔ)充完整若用分層抽樣的方法在患三高疾病的人群中抽9人，其中女生抽多少人？(2)為了研究患三高疾病是否與性別有關(guān)，請(qǐng)計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量2，并說明是否可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為患三高疾病與性別有關(guān)男患三高疾病不患三高疾病6總計(jì)30女總計(jì)36下面的臨界值表供參考

5、：P(2x0)x00.152.0720.102.7060.053.8410.0255.0240.0106.6350.0057.8790.00110.828(參考公式2abnadbc2cdacbd，其中nabcd)解(1)完善補(bǔ)充列聯(lián)表如下：患三高疾病不患三高疾病總計(jì)男女總計(jì)24123661824303060在患三高疾病人群中抽9人，則抽取比例為，4913641所以女性應(yīng)該抽取123(人)(2)根據(jù)22列聯(lián)表，則2303036242107.879.所以可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為患三高疾病與性別有關(guān)常見概率模型的概率概率應(yīng)用題側(cè)重于古典概型，主要考查隨機(jī)事件、等可能事件、互斥事

6、件、對(duì)立事件的概率.解決簡(jiǎn)單的古典概型試題可用直接法(定義法)，對(duì)于較為復(fù)雜的事件的概率，可以利用所求事件的性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為互斥事件或?qū)α⑹录母怕是蠼狻纠?】(2017全國(guó)卷)某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：)有關(guān)如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫天數(shù)10,15)

7、15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率(1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率900.8，因此Y大于零的概率的估計(jì)值為0.8.事件x5的取法有2種，即1,4，2,3，故P(x5)；事件x6的取法有1種，即2,4，故P(x6).所以P(A)P(x5)P(x6).(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位：元)當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫出Y的所有可能值，并估計(jì)Y大于零的概率解(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25，由表格數(shù)21636據(jù)知，最

8、高氣溫低于25的頻率為0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計(jì)值為0.6.(2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，若最高氣溫不低于25，則Y64504450900；若最高氣溫位于區(qū)間20,25)，則Y63002(450300)4450300；若最高氣溫低于20，則Y62002(450200)4450100，所以，Y的所有可能值為900,300，100.Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為36257490規(guī)律方法統(tǒng)計(jì)以考查抽樣方法、樣本的頻率分布、樣本特征數(shù)的計(jì)算為主，概率以考查概率計(jì)算為主，往往和實(shí)際問題相結(jié)合，要注意理解實(shí)際問題的意

9、義，使之和相應(yīng)的概率計(jì)算對(duì)應(yīng)起來，只有這樣才能有效地解決問題某商場(chǎng)在元旦舉行購(gòu)物抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，規(guī)定顧客從裝有編號(hào)為0,1,2,3,4的五個(gè)相同小球的抽獎(jiǎng)箱中一次任意摸出兩個(gè)小球，若取出的兩個(gè)小球的編號(hào)之和等于7，則中一等獎(jiǎng)，等于6或5，則中二等獎(jiǎng)，等于4，則中三等獎(jiǎng)，其余結(jié)果為不中獎(jiǎng)(1)求中二等獎(jiǎng)的概率；(2)求不中獎(jiǎng)的概率解(1)記“中二等獎(jiǎng)”為事件A從五個(gè)小球中一次任意摸出兩個(gè)小球，不同的結(jié)果有0,1，0,2，0,3，0,4，1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共10個(gè)基本事件記兩個(gè)小球的編號(hào)之和為x，由題意可知，事件A包括兩個(gè)互斥事件：x5，x6.2110511011351

10、010(2)記“不中獎(jiǎng)”為事件B，則“中獎(jiǎng)”為事件B，由題意可知，事件B包括三個(gè)互斥事件：中一等獎(jiǎng)(x7)，中二等獎(jiǎng)(事件A)，中三等獎(jiǎng)(x4)事件x7的取法有1種，即3,4，故P(x7)；事件x4的取法有0,4，1,3，共2種，故P(x4).由(1)可知，P(A).所以P(B)P(x7)P(x4)P(A).所以不中獎(jiǎng)的概率為P(B)1P(B)1.1102110531011331051053255統(tǒng)計(jì)與概率的綜合應(yīng)用統(tǒng)計(jì)和概率知識(shí)相結(jié)合命題統(tǒng)計(jì)概率解答題已經(jīng)是一個(gè)新的命題趨向，概率和統(tǒng)計(jì)知識(shí)初步綜合解答題的主要依托點(diǎn)是統(tǒng)計(jì)圖表，正確認(rèn)識(shí)和使用這些圖表是解決問題的關(guān)鍵，在此基礎(chǔ)上掌握好樣本數(shù)字特

11、征及各類概率的計(jì)算【例3】(本小題滿分12分)(2018全國(guó)卷)某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)(單位：m3)和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量頻數(shù)0，0.1)10.1，0.2)30.2，0.3)20.3，0.4)40.4，0.5)90.5，0.6)260.6，0.7)5使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量頻數(shù)0，0.1)0.1，0.2)0.2，0.3)0.3，0.4)0.4，0.5)0.5，0.6)151310165(1)在下圖中作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；(2)估計(jì)

12、該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35m3的概率；(3)估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？(一年按365天計(jì)算，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表)信息提取看到作頻率分布直方圖，想到作頻率分布直方圖的作圖規(guī)則；看到求概率，想到利用頻率分布直方圖求概率的方法；看到估計(jì)節(jié)水量，想到求使用節(jié)水龍頭前后的用水量規(guī)范解答(1)如圖所示4分(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，該家庭使用節(jié)水龍頭后50天日用水量小于0.35m3的頻率為0.20.110.12.60.120.050.48，6分因此該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35m3的概率的估計(jì)值為0.48.7分(3)該家庭未使用節(jié)水龍頭50

13、天日用水量的平均數(shù)為x11500.0510.1530.2520.3540.4590.55260.655)10.48.9分該家庭使用了節(jié)水龍頭后50天日用水量的平均數(shù)為x250(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.35.11分估計(jì)使用節(jié)水龍頭后，一年可節(jié)省水(0.480.35)36547.45(m3).12分fixi易錯(cuò)與防范作頻率分布直方圖時(shí)注意縱軸單位是“”，計(jì)算平均數(shù)時(shí)運(yùn)算要準(zhǔn)確，避免“會(huì)而不對(duì)”的失誤通性通法概率與統(tǒng)計(jì)作為考查考生應(yīng)用意識(shí)的重要載體，已成為近幾年高考的一大亮點(diǎn)和熱點(diǎn)它與其他知識(shí)融合、滲透，情境新穎，充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計(jì)的工具性和交匯性長(zhǎng)

14、時(shí)間用手機(jī)上網(wǎng)嚴(yán)重影響著學(xué)生的身體健康，某校為了解A，B兩班學(xué)生手機(jī)上網(wǎng)的時(shí)長(zhǎng)，分別從這兩個(gè)班中隨機(jī)抽取5名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，將他們平均每周手機(jī)上網(wǎng)的時(shí)長(zhǎng)作為樣本繪制成莖葉圖如圖所示(圖中的莖表示十位數(shù)字，葉表示個(gè)位數(shù)字)解(1)A班樣本數(shù)據(jù)的平均值為(911142031)17，B班樣本數(shù)據(jù)的平均值為(1112212526)19，故ab的概率P.(1)你能否估計(jì)哪個(gè)班級(jí)平均每周上網(wǎng)時(shí)間較長(zhǎng)？(2)從A班的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個(gè)不超過19的數(shù)據(jù)記為a，從B班的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個(gè)不超過21的數(shù)據(jù)記為b，求ab的概率15由此估計(jì)A班學(xué)生每周平均上網(wǎng)時(shí)間為17小時(shí)；15由此估計(jì)B班學(xué)生每周平均上網(wǎng)時(shí)間

15、為19小時(shí)所以B班學(xué)生上網(wǎng)時(shí)間較長(zhǎng)(2)A班的樣本數(shù)據(jù)中不超過19的數(shù)據(jù)a有3個(gè)，分別為9,11,14，B班的樣本數(shù)據(jù)中不超過21的數(shù)據(jù)b也有3個(gè)，分別為11,12,21.從A班和B班的樣本數(shù)據(jù)中各隨機(jī)抽取一個(gè)共有9種不同的情況，分別為(9,11)，(9,12)，(9,21)，(11,11)，(11,12)，(11,21)，(14,11)，(14,12)，(14,21)，其中ab的情況有(14,11)，(14,12)，2種，29大題增分專訓(xùn)1某校高三期中考試后，數(shù)學(xué)教師對(duì)本次全部數(shù)學(xué)成績(jī)按120進(jìn)行分層抽樣，隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的成績(jī)?yōu)闃颖?，成?jī)用莖葉圖記錄如圖所示，但部分?jǐn)?shù)據(jù)不小心丟失，同時(shí)

16、得到如下表所示的頻率分布表：分?jǐn)?shù)段(分)頻數(shù)頻率50,70)70,90)90,110)110,130)130,150總計(jì)ba0.25(1)求表中a，b的值及成績(jī)?cè)?0,110)范圍內(nèi)的樣本數(shù)，并估計(jì)這次考試全校高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的及格率(成績(jī)?cè)?0,150內(nèi)為及格)；(2)若從莖葉圖中成績(jī)?cè)?00,130)范圍內(nèi)的樣本中一次性抽取兩個(gè)，求取出兩個(gè)樣本數(shù)字之差的絕對(duì)值小于或等于10的概率個(gè)，P(A).解(1)由莖葉圖知成績(jī)?cè)?0,70)范圍內(nèi)的有2人，在110,130)范圍內(nèi)的有3人，a0.1，b3.成績(jī)?cè)?0,110)范圍內(nèi)的頻率為10.10.250.250.4，成績(jī)?cè)?0,110)范圍內(nèi)的樣本

17、數(shù)為200.48.估計(jì)這次考試全校高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的及格率為P10.10.250.65.(2)所有可能的結(jié)果為(100,102)，(100,106)，(100,106)，(100,116)，(100,118)，(100,128)，(102,106)，(102,106)，(102,116)，(102,118)，(102,128)，(106,106)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(116,118)，(116,128)，(118,128)，共21個(gè)，取出的兩個(gè)樣本中數(shù)字之差小于或等于10的結(jié)果為(100,10

18、2)，(100,106)，(100,106)，(102,106)，(102,106)，(106,106)，(106,116)，(106,116)，(116,118)，(118,128)，共1010212某農(nóng)科所對(duì)冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究，他們分別記錄了12月1日至12月5日的晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：日期溫差x()12月1日1012月2日1112月3日1312月4日1212月5日8發(fā)芽數(shù)y(顆)2325302616該農(nóng)科所確定的研究方案是：先從這5組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的3組數(shù)據(jù)求回歸方程，再對(duì)被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)(1)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰的2天數(shù)據(jù)的概率；(2)若選取的是12月1日與12月5日的兩組數(shù)據(jù)，請(qǐng)根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的線性回歸方程ybxa；(3)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差不超過2顆，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，試問(2)中所得的線性回歸方程是否可靠？(附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其回歸直線ybxa的斜率和截nxiyinxy距的最小二乘估計(jì)分別為bi1n，aybx.)2xinx2情況，每種情況是等可能出現(xiàn)的，其