北京市西城區(qū)2019屆高三4月統(tǒng)一測試(一模)數(shù)學(文)試題

1、北京市西城區(qū)高三統(tǒng)一測試數(shù)學（文科）2019.4第卷（選擇題共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項1設全集UR，集合Ax|0 x2，B3,1,1,3，則集合(（A）3,1（B）3,1,3（C）1,3（D）1,1UA)B2若復數(shù)z1i2i，則在復平面內z對應的點位于（A）第一象限（C）第三象限（B）第二象限（D）第四象限3下列函數(shù)中，值域為R且在區(qū)間(0,)上單調遞增的是（A）yx22x（B）y2x1（C）yx31（D）y(x1)|x|4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的k值為（A）4（B）5（C）7（D）9開始k1,S2S1S

2、1Skk2S2是否輸出k結束5.在ABC中，已知a2，sin(AB)，sinA，則c1134（A）4（B）384（C）（D）336.設a,b,m均為正數(shù)，則“ba”是“（A）充分而不必要條件（C）充要條件ama”的bmb（B）必要而不充分條件（D）既不充分也不必要條件7如圖，陰影表示的平面區(qū)域W是由曲線xy0，x2y22所圍成的.若點P(x,y)在W內（含邊界），則z4x3y的最大值和最小值分別為（A）52，7（B）52，52yO（C）7，52Wx（D）7，78.如果把一個平面區(qū)域內兩點間的距離的最大值稱為此區(qū)域的直徑，那么曲線|y|2x2圍成的平面區(qū)域的直徑為（A）2（C）22（B）4（D）

3、26第卷（非選擇題共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分9設向量a，b滿足|a|2，|b|3，a,b60，則a(ab)_10設F，F(xiàn)為雙曲線C：ab1222x2y21(a0,b0)的兩個焦點，若雙曲線C的兩個頂點恰好將線段FF三等12分，則雙曲線C的離心率為_eqoac(,11)能說明“在ABC中，若sin2Asin2B，則AB”為假命題的一組A，B的值是_12某四棱錐的三視圖如圖所示，那么該四棱錐的體積為_2正(主)視圖2側(左)視圖13設函數(shù)f(x)當f(a)1時，a_；如果對于任意的xR都有f(x)b，那么實1俯視圖ln(x2),x1,2x4,x1.數(shù)b的取值范圍是

4、_14團體購買公園門票，票價如下表：購票人數(shù)門票價格15013元/人5110011元/人100以上9元/人現(xiàn)某單位要組織其市場部和生產(chǎn)部的員工游覽該公園，這兩個部門人數(shù)分別為a和b(ab)，若按部門作為團體，選擇兩個不同的時間分別購票游覽公園，則共需支付門票費為1290元；若兩個部門合在一起作為一個團體，同一時間購票游覽公園，則需支付門票費為990元，那么這兩個部門的人數(shù)a_；b_.三、解答題：本大題共6小題，共80分解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟15（本小題滿分13分）已知函數(shù)f(x)sinx(cosx3sinx).（）求函數(shù)f(x)的最小正周期；5（）求函數(shù)f(x)在區(qū)間,3

5、1216（本小題滿分13分）上的最小值和最大值.nn(n1)2，其中nN*.已知數(shù)列an的前n項和S（）求數(shù)列an的通項公式；（）若a,a2k2,a3k2（kN）為等比數(shù)列b的前三項，求數(shù)列b的通項公式.nn（）將甲、乙兩組中閱讀量超過15本的學生稱為“閱讀達人”.設a3，現(xiàn)從所有的“閱讀達人”里任n(xx)2，其中x為數(shù)據(jù)x1,x2,x的平均數(shù)）17（本小題滿分13分）為培養(yǎng)學生的閱讀習慣，某校開展了為期一年的“弘揚傳統(tǒng)文化，閱讀經(jīng)典名著”活動.活動后，為了解閱讀情況，學校統(tǒng)計了甲、乙兩組各10名學生的閱讀量（單位：本），統(tǒng)計結果用莖葉圖記錄如下，乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認，在圖中以

6、a表示.甲乙8621012447221012366a120（）若甲組閱讀量的平均值大于乙組閱讀量的平均值，求圖中a的所有可能取值；取2人，求至少有1人來自甲組的概率；（）記甲組閱讀量的方差為s2.若在甲組中增加一個閱讀量為10的學生，并記新得到的甲組閱讀量的方0差為s2，試比較s2，s2的大小.（結論不要求證明）1011（注：s2(x1x)2(x2x)2nn18（本小題滿分14分）如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD為矩形，側面ADEF為梯形，AF/DE，DEAD，DCDE.（）求證：ADCE；（）求證：BF/平面CDE；（）判斷線段BE上是否存在點Q，使得平面ADQ平面BCE？并說明理

7、由EFDCA19（本小題滿分13分）設函數(shù)f(x)mexx23，其中mR（）當f(x)為偶函數(shù)時，求函數(shù)h(x)xf(x)的極值；（）若函數(shù)f(x)在區(qū)間2,4上有兩個零點，求m的取值范圍B已知橢圓W:1的長軸長為4，左、右頂點分別為A,B，經(jīng)過點P(1,0)的動直線與橢圓W相交20（本小題滿分14分）x2y24mm于不同的兩點C,D（不與點A,B重合）.（）求橢圓W的方程及離心率；（）求四邊形ACBD面積的最大值；（）若直線CB與直線AD相交于點M，判斷點M是否位于一條定直線上？若是，寫出該直線的方程.（結論不要求證明）北京市西城區(qū)高三統(tǒng)一測試數(shù)學（文科）參考答案及評分標準一、選擇題：本大題

8、共8小題，每小題5分，共40分.1B2D3C4D5C6C7A8B二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.2019.49710311答案不唯一，如A60，B3013；(,21243321470；40注：第13題第一問2分，第二問3分.三、解答題：本大題共6小題，共80分.其他正確解答過程，請參照評分標準給分.15（本小題滿分13分）解：（）f(x)sinxcosx3sin2x13sin2x22(1cos2x)4分sin(2x)，6分332所以函數(shù)f(x)的最小正周期T.8分57（）因為x，所以2x9分312336，即x時，f(x)取得最大值1所以當2x332122.，即x時，f(x)取

9、得最小值313分當2x33316（本小題滿分13分）解：（）當n1時，Sa4，2分11當n2時，由題意，得Sn(n1)2eqoac(,，)1Snn12(n1)n，eqoac(,2)eqoac(,由)1-2eqoac(,，得)a2n，其中n2.5分n所以數(shù)列a的通項公式annn2.4,n1,2n,7分（）由題意，得a2aak223k2.9分即2(k2)242(3k2).解得k0（舍）或k2.10分所以公比qak22.a211分所以bbqn1aqn12n1.13分n1217（本小題滿分13分）解：（）甲組10名學生閱讀量的平均值為12681011121217211010，乙組10名學生閱讀量的平均

10、值為124412131616(10a)2098a1010.2分由題意，得1098a，即a2.3分10故圖中a的取值為0或1.4分（）記事件“從所有的“閱讀達人”里任取2人，至少有1人來自甲組”為M.5分由圖可知，甲組“閱讀達人”有2人，在此分別記為A1，A2；乙組“閱讀達人”有3人，在此分別記為B1，B2，B3.(則從所有的“閱讀達人”里任取2人，所有可能結果有10種，即(A1,A2)，A1,B1)，A1,B2)，A1,B3)，(A,B)，(A,B)，(A,B)，(B,B)，(B,B)，(B,B).7分212223121323而事件M的結果有7種，它們是(A1,A2)，(A1,B1)，(A1,

11、B2)，(A1,B3)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A,B)，8分23所以P(M)7.10即從所有的閱讀達人里任取2人，至少有1人來自甲組的概率為710.10分（）s2s2.0118（本小題滿分14分）解：（）由底面ABCD為矩形，知ADCD.13分1分又因為DEAD，DE所以AD平面CDE.CDD，2分3分又因為CE平面CDE，所以ADCE.4分（）由底面ABCD為矩形，知AB/CD，又因為AB平面CDE，CD平面CDE，所以AB/平面CDE.6分E同理AF/平面CDE，P又因為ABAFA，F(xiàn)Q所以平面ABF/平面CDE.8分DC又因為BF平面ABF，AB所以BF/平面CDE.9分（）

12、結論：線段BE上存在點Q（即BE的中點），使得平面ADQ平面BCE.10分證明如下：取CE的中點P，BE的中點Q，連接AQ,DP,PQ，則PQ/BC.由AD/BC，得PQ/AD.所以A,D,P,Q四點共面.11分由（），知AD平面CDE，所以ADDP，故BCDP.在CDE中，由DCDE，可得DPCE.又因為BCCEC，所以DP平面BCE.13分又因為DP平面ADPQ所以平面ADPQ平面BCE（即平面ADQ平面BCE）.即線段BE上存在點Q（即BE中點），使得平面ADQ平面BCE.14分19（本小題滿分13分）解：（）由函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，得f(x)f(x)，即mex(x)23mexx23對于

13、任意實數(shù)x都成立，所以m0.2分此時h(x)xf(x)x33x，則h(x)3x23.由h(x)0，解得x1.3分當x變化時，h(x)與h(x)的變化情況如下表所示：x(,1)1(1,1)1(1,)h(x)h(x)0極小值0極大值所以h(x)在(,1)，(1,)上單調遞減，在(1,1)上單調遞增.5分所以h(x)有極小值h(1)2，h(x)有極大值h(1)2.6分（）由f(x)mexx230，得mx23ex.所以“f(x)在區(qū)間2,4上有兩個零點”等價于“直線ym與曲線g(x)x23ex，x2,4有且對函數(shù)g(x)求導，得g(x).9分只有兩個公共點”.8分x22x3ex由g(x)0，解得x1，

14、x3.10分12當x變化時，g(x)與g(x)的變化情況如下表所示：x(2,1)1(1,3)3(3,4)g(x)g(x)0極小值0極大值又因為g(2)e2，g(1)2e，g(3)6g(2)，g(4)g(1)，所以g(x)在(2,1)，(3,4)上單調遞減，在(1,3)上單調遞增.11分13e3e4時，直線ym與曲線g(x)136x23ee所以當2em或m3x，x2,4有且只有兩個公共點.即當2em136或me4e3時，函數(shù)f(x)在區(qū)間2,4上有兩個零點.13分所以橢圓W方程為y21.2分所以橢圓W的離心率ec20（本小題滿分14分）解：（）由題意，得a24m4,解得m1.1分x24故a2，b1，ca2b23.3.4分a2（）當直線CD的斜率k不存在時，由題意，得CD的方程為x1，代入橢圓W的方程，得C(1,3)，D(1,)，聯(lián)立方程x2消去y，得(4k21)x28k2x4k240.7分4y21,322又因為|AB|2a4，ABCD，1所以四邊形ACBD的面積S|AB|CD|23.6分2當直線CD的斜率k存在時，設CD的方程為yk(x1)(k0)，C(x,y)，D(x,y)，1122yk(x1),