《n階行列式》PPT課件

1、第三章 行列式第一節(jié)n階行列式的定義 1精選PPT二階和三階行列式是由解二元和三元線性方程組引入的.二階行列式對(duì)角線法（1）二階行列式共有2!項(xiàng)，即2項(xiàng)（2）每項(xiàng)都是位于不同行不同列的兩個(gè)元素的乘積（3）每項(xiàng)的正負(fù)號(hào)都取決于位于不同行不同列的兩個(gè)元素的下標(biāo)排列2精選PPT(1)三階行列式的計(jì)算.列標(biāo)行標(biāo)3精選PPT 二階和三階行列式是由解二元和三元線性方程組引入的.對(duì)角線法則二階與三階行列式的計(jì)算4精選PPT 2.全排列及其奇偶性引例 把3個(gè)不同的數(shù)字1、2、3排成一列，共有多少種排法？顯然，左邊位置上可以從1、2、3三個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)，所以有三種放法；中間位置上只能從剩下的兩個(gè)數(shù)字中選一個(gè)，

2、所以有2種放法；右邊位置上只能放最后剩下的一個(gè)數(shù)字，所以只有1種放法因此共有321=6種放法.這6種不同的排法是123，231，312，132，213，321.5精選PPT 對(duì)于n個(gè)不同的元素，也可以提出類(lèi)似的問(wèn)題，把n個(gè)不同的元素排列成一列，共有幾種不同的排法？ 把n個(gè)不同的元素排成一列，叫做這n個(gè)元素的全排列（簡(jiǎn)稱(chēng)排列）.一般,n個(gè)自然數(shù)1,2,n的一個(gè)排列可以記作 其中 是某種次序下的自然數(shù)1,2, ,n.n個(gè)不同元素的所有排列的種數(shù)，通常用 Pn表示.由引例結(jié)果可知 仿照引例的推導(dǎo)方式我們?nèi)菀椎玫?6精選PPT 在任意n階排列 中，當(dāng)某兩個(gè)數(shù)大數(shù)排在小數(shù)的前面，就稱(chēng)這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序

3、。一個(gè)n階排列 所有逆序的總數(shù)稱(chēng)為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記作7精選PPT計(jì)算排列逆序數(shù)的方法逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱(chēng)為奇排列;逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱(chēng)為偶排列.排列的奇偶性分別計(jì)算出排在 1,2, ,n-1 前面比它們大的數(shù)的個(gè)數(shù)分別為m1,m2,mn-1,則m1+m2+mn-1即為這個(gè)排列的逆序數(shù). 即t(i1i2in)=m1+m2+mn-18精選PPT例1 (1) 求排列32514的逆序數(shù).解在排列32514中,1的前面比1大的數(shù)有3個(gè)；2的前面比2大的數(shù)有1個(gè);3的前面比3大的數(shù)有0個(gè);4的前面比4大的數(shù)有1個(gè);故t(32514)=3+1+0+1=5,該排列是奇排列。9精選PPT解當(dāng) 時(shí)為偶排列；當(dāng)

4、 時(shí)為奇排列.10精選PPT解當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)，排列為偶排列，當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，排列為奇排列.11精選PPT定義在排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余元素不動(dòng)，這種作出新排列的手續(xù)叫做對(duì)換將相鄰兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，叫做相鄰對(duì)換例如對(duì)換的定義12精選PPT定理1一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性證明設(shè)排列為對(duì)換 與除 外，其它元素的逆序數(shù)不改變.對(duì)換與排列的奇偶性的關(guān)系13精選PPT當(dāng) 時(shí)，的逆序數(shù)不變;經(jīng)對(duì)換后 的逆序數(shù)增加1 ,經(jīng)對(duì)換后 的逆序數(shù)不變 ， 的逆序數(shù)減少1.因此對(duì)換相鄰兩個(gè)元素，排列改變奇偶性.設(shè)排列為當(dāng) 時(shí)，現(xiàn)來(lái)對(duì)換 與14精選PPTa依次與b1,b2, ，bm .b交換共m+1次，

5、然后b 與bm, , b2,b1交換，共交換m次，兩次共交換2m+1次，故奇偶性改變。15精選PPT推論奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù).證明 由定理1知對(duì)換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù),而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列(逆序數(shù)為0),因此知推論成立.例 ： 同為偶數(shù)。對(duì)換次數(shù)為2次，16精選PPT三階行列式說(shuō)明（1）三階行列式共有 項(xiàng)，即 項(xiàng)（2）每項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的乘積三、n階行列式的定義17精選PPT（3）每項(xiàng)的正負(fù)號(hào)都取決于位于不同行不同列 的三個(gè)元素的下標(biāo)排列例如列標(biāo)排列的逆序數(shù)為列標(biāo)排列的逆序數(shù)為偶排列奇排列18精選PPT定義19精選PPT

6、20精選PPT說(shuō)明1、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的;2、 階行列式是 項(xiàng)的代數(shù)和;3、 階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行、不同列 個(gè)元素的乘積;4、 一階行列式 不要與絕對(duì)值記號(hào)相混淆;5前面的符號(hào)為（1）t21精選PPT例1計(jì)算對(duì)角行列式分析展開(kāi)式中項(xiàng)的一般形式是從而這個(gè)項(xiàng)為零，所以 只能等于 , 同理可得解22精選PPT即行列式中不為零的項(xiàng)為例2 計(jì)算上三角行列式23精選PPT分析展開(kāi)式中項(xiàng)的一般形式是所以不為零的項(xiàng)只有解24精選PPT同理可得下三角行列式同理可得下三角行列式25精選PPT特別地，對(duì)角行列式26精選PPT定理2 階行列式

7、也可定義為其中t 為行標(biāo)排列 的逆序數(shù).證明按行列式定義有27精選PPT記對(duì)于D中任意一項(xiàng)總有且僅有 中的某一項(xiàng)與之對(duì)應(yīng)并相等;反之,對(duì)于 中任意一項(xiàng)也總有且僅有D中的某一項(xiàng)與之對(duì)應(yīng)并相等,于是D與中的項(xiàng)可以一一對(duì)應(yīng)并相等,從而28精選PPT定理3 階行列式也可定義為例1 試判斷 和是否都是六階行列式中的項(xiàng).解下標(biāo)的逆序數(shù)為所以 是六階行列式中的項(xiàng).其中 是兩個(gè) 階排列， t為行標(biāo)排列逆序數(shù)與列標(biāo)排列逆序數(shù)的和29精選PPT下標(biāo)的逆序數(shù)為所以 不是六階行列式中的項(xiàng).30精選PPT例2 在六階行列式中，下列兩項(xiàng)各應(yīng)帶什么符號(hào).解431265的逆序數(shù)為所以 前邊應(yīng)帶正號(hào).31精選PPT行標(biāo)排列34

8、1562的逆序數(shù)為列標(biāo)排列234165的逆序數(shù)為所以 前邊應(yīng)帶正號(hào).32精選PPT矩陣與行列式的有何區(qū)別?思考題解答 矩陣與行列式有本質(zhì)的區(qū)別，行列式是一個(gè)算式，一個(gè)數(shù)字行列式經(jīng)過(guò)計(jì)算可求得其值，而矩陣僅僅是一個(gè)數(shù)表，它的行數(shù)和列數(shù)可以不同.思考題33精選PPT例如四、行列式按行（列）展開(kāi)34精選PPT在 階行列式中，把元素 所在的第 行和第 列劃去后，留下來(lái)的 階行列式叫做元素 的余子式，記作叫做元素 的代數(shù)余子式例如35精選PPT36精選PPT引理 一個(gè) 階行列式，如果其中第 行所有元素除 外都為零，那末這行列式等于 與它的代數(shù)余子式的乘積，即 例如37精選PPT證當(dāng) 位于第一行第一列時(shí),即有又從而在證一般情形,此時(shí)38精選PPT得39精選PPT得40精選PPT41精選PPT中的余子式42精選PPT故得于是有43精選PPT定理2 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即證44精選PPT45精選PPT例646精選PPT47精選PPT推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（