《n階行列式》PPT課件

1、第三章 行列式第一節(jié)n階行列式的定義 1精選PPT二階和三階行列式是由解二元和三元線性方程組引入的.二階行列式對角線法（1）二階行列式共有2!項，即2項（2）每項都是位于不同行不同列的兩個元素的乘積（3）每項的正負號都取決于位于不同行不同列的兩個元素的下標排列2精選PPT(1)三階行列式的計算.列標行標3精選PPT 二階和三階行列式是由解二元和三元線性方程組引入的.對角線法則二階與三階行列式的計算4精選PPT 2.全排列及其奇偶性引例 把3個不同的數(shù)字1、2、3排成一列，共有多少種排法？顯然，左邊位置上可以從1、2、3三個數(shù)字中任選一個，所以有三種放法；中間位置上只能從剩下的兩個數(shù)字中選一個，

2、所以有2種放法；右邊位置上只能放最后剩下的一個數(shù)字，所以只有1種放法因此共有321=6種放法.這6種不同的排法是123，231，312，132，213，321.5精選PPT 對于n個不同的元素，也可以提出類似的問題，把n個不同的元素排列成一列，共有幾種不同的排法？ 把n個不同的元素排成一列，叫做這n個元素的全排列（簡稱排列）.一般,n個自然數(shù)1,2,n的一個排列可以記作 其中 是某種次序下的自然數(shù)1,2, ,n.n個不同元素的所有排列的種數(shù)，通常用 Pn表示.由引例結果可知 仿照引例的推導方式我們容易得到 6精選PPT 在任意n階排列 中，當某兩個數(shù)大數(shù)排在小數(shù)的前面，就稱這兩個數(shù)構成一個逆序

3、。一個n階排列 所有逆序的總數(shù)稱為這個排列的逆序數(shù)，記作7精選PPT計算排列逆序數(shù)的方法逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列;逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列.排列的奇偶性分別計算出排在 1,2, ,n-1 前面比它們大的數(shù)的個數(shù)分別為m1,m2,mn-1,則m1+m2+mn-1即為這個排列的逆序數(shù). 即t(i1i2in)=m1+m2+mn-18精選PPT例1 (1) 求排列32514的逆序數(shù).解在排列32514中,1的前面比1大的數(shù)有3個；2的前面比2大的數(shù)有1個;3的前面比3大的數(shù)有0個;4的前面比4大的數(shù)有1個;故t(32514)=3+1+0+1=5,該排列是奇排列。9精選PPT解當 時為偶排列；當

4、 時為奇排列.10精選PPT解當 為偶數(shù)時，排列為偶排列，當 為奇數(shù)時，排列為奇排列.11精選PPT定義在排列中，將任意兩個元素對調，其余元素不動，這種作出新排列的手續(xù)叫做對換將相鄰兩個元素對調，叫做相鄰對換例如對換的定義12精選PPT定理1一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性證明設排列為對換 與除 外，其它元素的逆序數(shù)不改變.對換與排列的奇偶性的關系13精選PPT當 時，的逆序數(shù)不變;經對換后 的逆序數(shù)增加1 ,經對換后 的逆序數(shù)不變 ， 的逆序數(shù)減少1.因此對換相鄰兩個元素，排列改變奇偶性.設排列為當 時，現(xiàn)來對換 與14精選PPTa依次與b1,b2, ，bm .b交換共m+1次，

5、然后b 與bm, , b2,b1交換，共交換m次，兩次共交換2m+1次，故奇偶性改變。15精選PPT推論奇排列調成標準排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調成標準排列的對換次數(shù)為偶數(shù).證明 由定理1知對換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù),而標準排列是偶排列(逆序數(shù)為0),因此知推論成立.例 ： 同為偶數(shù)。對換次數(shù)為2次，16精選PPT三階行列式說明（1）三階行列式共有 項，即 項（2）每項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積三、n階行列式的定義17精選PPT（3）每項的正負號都取決于位于不同行不同列 的三個元素的下標排列例如列標排列的逆序數(shù)為列標排列的逆序數(shù)為偶排列奇排列18精選PPT定義19精選PPT

6、20精選PPT說明1、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的;2、 階行列式是 項的代數(shù)和;3、 階行列式的每項都是位于不同行、不同列 個元素的乘積;4、 一階行列式 不要與絕對值記號相混淆;5前面的符號為（1）t21精選PPT例1計算對角行列式分析展開式中項的一般形式是從而這個項為零，所以 只能等于 , 同理可得解22精選PPT即行列式中不為零的項為例2 計算上三角行列式23精選PPT分析展開式中項的一般形式是所以不為零的項只有解24精選PPT同理可得下三角行列式同理可得下三角行列式25精選PPT特別地，對角行列式26精選PPT定理2 階行列式

7、也可定義為其中t 為行標排列 的逆序數(shù).證明按行列式定義有27精選PPT記對于D中任意一項總有且僅有 中的某一項與之對應并相等;反之,對于 中任意一項也總有且僅有D中的某一項與之對應并相等,于是D與中的項可以一一對應并相等,從而28精選PPT定理3 階行列式也可定義為例1 試判斷 和是否都是六階行列式中的項.解下標的逆序數(shù)為所以 是六階行列式中的項.其中 是兩個 階排列， t為行標排列逆序數(shù)與列標排列逆序數(shù)的和29精選PPT下標的逆序數(shù)為所以 不是六階行列式中的項.30精選PPT例2 在六階行列式中，下列兩項各應帶什么符號.解431265的逆序數(shù)為所以 前邊應帶正號.31精選PPT行標排列34

8、1562的逆序數(shù)為列標排列234165的逆序數(shù)為所以 前邊應帶正號.32精選PPT矩陣與行列式的有何區(qū)別?思考題解答 矩陣與行列式有本質的區(qū)別，行列式是一個算式，一個數(shù)字行列式經過計算可求得其值，而矩陣僅僅是一個數(shù)表，它的行數(shù)和列數(shù)可以不同.思考題33精選PPT例如四、行列式按行（列）展開34精選PPT在 階行列式中，把元素 所在的第 行和第 列劃去后，留下來的 階行列式叫做元素 的余子式，記作叫做元素 的代數(shù)余子式例如35精選PPT36精選PPT引理 一個 階行列式，如果其中第 行所有元素除 外都為零，那末這行列式等于 與它的代數(shù)余子式的乘積，即 例如37精選PPT證當 位于第一行第一列時,即有又從而在證一般情形,此時38精選PPT得39精選PPT得40精選PPT41精選PPT中的余子式42精選PPT故得于是有43精選PPT定理2 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，即證44精選PPT45精選PPT例646精選PPT47精選PPT推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（