2022年黑龍江省哈爾濱市南崗區(qū)高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請(qǐng)注意：1答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1設(shè)集合，則（ ）ABCD2已知集合，則ABCD3已知各項(xiàng)都為正的等差數(shù)列中，若，成等比數(shù)列，則（ ）ABCD4下列圖形中，不是三棱柱展開(kāi)圖的是（ ）ABCD5公差不為零的等差數(shù)列an中

2、，a1+a2+a5=13，且a1、a2、a5成等比數(shù)列，則數(shù)列an的公差等于( )A1B2C3D46已知，若對(duì)任意，關(guān)于x的不等式（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）至少有2個(gè)正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）ABCD7已知直線(xiàn)過(guò)雙曲線(xiàn)C：的左焦點(diǎn)F，且與雙曲線(xiàn)C在第二象限交于點(diǎn)A，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線(xiàn)C的離心率為ABCD8設(shè)集合，則集合ABCD9函數(shù)且的圖象是（ ）ABCD10復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限11某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為（ ）AB1CD12甲在微信群中發(fā)了一個(gè)6元“拼手氣”紅包,被乙丙丁三人搶完,若三人均領(lǐng)

3、到整數(shù)元,且每人至少領(lǐng)到1元,則乙獲得“最佳手氣”(即乙領(lǐng)到的錢(qián)數(shù)多于其他任何人)的概率是（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13如圖，兩個(gè)同心圓的半徑分別為和，為大圓的一條 直徑，過(guò)點(diǎn)作小圓的切線(xiàn)交大圓于另一點(diǎn)，切點(diǎn)為，點(diǎn)為劣弧上的任一點(diǎn)（不包括 兩點(diǎn)），則的最大值是_14已知集合，則_.15若展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為240，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi).16在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是直線(xiàn)：上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)已知以為直徑的圓被直線(xiàn)所截得的弦長(zhǎng)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）已知曲線(xiàn)的參數(shù)方程為 為參數(shù)),以直角坐

4、標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸并取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程,并說(shuō)明其表示什么軌跡；（2）若直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為,求曲線(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)的最大距離.18（12分）已知函數(shù) ， （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)，（）有幾個(gè)零點(diǎn)，并證明你的結(jié)論；（3）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍19（12分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20（12分）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，焦距為4，且橢圓過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)交橢圓與兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，直線(xiàn)交軸于點(diǎn).（1）求的周長(zhǎng)；（2）求面積的最大值.21

5、（12分）設(shè)函數(shù).（1）時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)的最小值為，若恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.22（10分）一個(gè)工廠在某年里連續(xù)10個(gè)月每月產(chǎn)品的總成本（萬(wàn)元）與該月產(chǎn)量（萬(wàn)件）之間有如下一組數(shù)據(jù)：1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.872.252.372.402.552.642.752.923.033.143.26（1）通過(guò)畫(huà)散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)可用線(xiàn)性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；（2）建立月總成本與月產(chǎn)量之間的回歸方程；通過(guò)建立的關(guān)于的回歸方程，估計(jì)某月產(chǎn)量為1.98萬(wàn)件時(shí)，產(chǎn)品的總成本為多少萬(wàn)元？（均精確到0.001）附注：參考數(shù)據(jù)：，

6、.參考公式：相關(guān)系數(shù)，.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1D【解析】根據(jù)題意，求出集合A，進(jìn)而求出集合和，分析選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，則故選：D【點(diǎn)睛】此題考查集合的交并集運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題目,2C【解析】分析：根據(jù)集合可直接求解.詳解：,故選C點(diǎn)睛：集合題也是每年高考的必考內(nèi)容，一般以客觀題形式出現(xiàn)，一般解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)要先將參與運(yùn)算的集合化為最簡(jiǎn)形式，如果是“離散型”集合可采用Venn圖法解決，若是“連續(xù)型”集合則可借助不等式進(jìn)行運(yùn)算.3A【解析】試題分析：設(shè)公差為或（舍），故選A.考點(diǎn)：等差數(shù)列及其性質(zhì)

7、.4C【解析】根據(jù)三棱柱的展開(kāi)圖的可能情況選出選項(xiàng).【詳解】由圖可知，ABD選項(xiàng)可以圍成三棱柱，C選項(xiàng)不是三棱柱展開(kāi)圖.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查三棱柱展開(kāi)圖的判斷，屬于基礎(chǔ)題.5B【解析】設(shè)數(shù)列的公差為.由，成等比數(shù)列，列關(guān)于的方程組，即求公差.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，.成等比數(shù)列，解可得.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.6B【解析】構(gòu)造函數(shù)（），求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞增,則 ,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為,即至少有2個(gè)正整數(shù)解,構(gòu)造函數(shù),通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,由可知，要使得至少有2個(gè)正整數(shù)解,只需即可,代入可求得結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù)（），則（），所以在上單調(diào)遞增，所以，故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

8、至少存在兩個(gè)正整數(shù)x，使得成立，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.，整理得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,考查不等式成立問(wèn)題中求解參數(shù)問(wèn)題,考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力和邏輯推理能力,難度較難.7B【解析】直線(xiàn)的傾斜角為，易得設(shè)雙曲線(xiàn)C的右焦點(diǎn)為E，可得中，則，所以雙曲線(xiàn)C的離心率為.故選B8B【解析】先求出集合和它的補(bǔ)集，然后求得集合的解集，最后取它們的交集得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于集合A，解得或，故.對(duì)于集合B，解得.故.故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查對(duì)數(shù)不等式的解法，考查集合的補(bǔ)集和交集的運(yùn)算.對(duì)于有兩個(gè)根的一元二次不等式的解法是：先將二次

9、項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，且不等號(hào)的另一邊化為，然后通過(guò)因式分解，求得對(duì)應(yīng)的一元二次方程的兩個(gè)根，再利用“大于在兩邊，小于在中間”來(lái)求得一元二次不等式的解集.9B【解析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再取特殊值，利用零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)零點(diǎn)分布情況，即可得解.【詳解】由題可知定義域?yàn)?，是偶函?shù)，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，排除C，D.又，在必有零點(diǎn)，排除A.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象的判斷，考查了函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.10B【解析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及幾何意義即可求解.【詳解】解：，則復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為：，位于第二象限.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于

10、基礎(chǔ)題.11C【解析】該幾何體為三棱錐，其直觀圖如圖所示，體積故選.12B【解析】將所有可能的情況全部枚舉出來(lái),再根據(jù)古典概型的方法求解即可.【詳解】設(shè)乙,丙,丁分別領(lǐng)到x元,y元,z元,記為,則基本事件有,共10個(gè),其中符合乙獲得“最佳手氣”的有3個(gè),故所求概率為,故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了枚舉法求古典概型的方法,屬于基礎(chǔ)題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)為軸，的垂直平分線(xiàn)為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，從而可得、，然后利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得，再根據(jù)輔助角公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)為軸，的垂直

11、平分線(xiàn)為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則、，由，且，所以，所以，即 又平分，所以，則,設(shè)，則，所以，所以，所以的最大值是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、利用向量解決幾何問(wèn)題，同時(shí)考查了輔助角公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.14【解析】利用交集定義直接求解【詳解】解：集合奇數(shù)，偶數(shù)，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查交集的求法，考查交集定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題153【解析】依題意可得二項(xiàng)式展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為即可得到方程，解得即可；【詳解】解：二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.16【解析】依題意畫(huà)圖,設(shè),

12、根據(jù)圓的直徑所對(duì)的圓周角為直角,可得,通過(guò)勾股定理得,再利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求出,進(jìn)而得出點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】解:依題意畫(huà)圖,設(shè)以為直徑的圓被直線(xiàn)所截得的弦長(zhǎng)為,且,又因?yàn)闉閳A的直徑,則所對(duì)的圓周角,則, 則為點(diǎn)到直線(xiàn)：的距離.所以,則.又因?yàn)辄c(diǎn)在直線(xiàn)：上,設(shè),則.解得,則.故答案為: 【點(diǎn)睛】本題考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系,考查了兩點(diǎn)間的距離公式,點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式,是基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（1），表示圓心為，半徑為的圓；（2）【解析】（1）根據(jù)參數(shù)得到直角坐標(biāo)系方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程得到答案.（2）直線(xiàn)方程為，計(jì)算圓心到直線(xiàn)的距離加上半徑

13、得到答案.【詳解】（1），即，化簡(jiǎn)得到：.即，表示圓心為，半徑為的圓.（2），即，圓心到直線(xiàn)的距離為.故曲線(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)的最大距離為.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程，直線(xiàn)和圓的距離的最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.18（1）單調(diào)增區(qū)間,單調(diào)減區(qū)間為,;（2）有2個(gè)零點(diǎn)，證明見(jiàn)解析;（3）【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理即可證明;記函數(shù),求導(dǎo)后利用單調(diào)性求得,由零點(diǎn)存在性定理及單調(diào)性知存在唯一的,使，求得為分段函數(shù),求導(dǎo)后分情況討論：當(dāng)時(shí)，利用函數(shù)的單調(diào)性將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的問(wèn)題;當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí),在上恒成立，從而求得的取值范

14、圍.【詳解】（1）由題意知,，列表如下：02 0 極小值 極大值 所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為,. （2）函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).證明如下： 因?yàn)闀r(shí)，所以，因?yàn)?所以在恒成立,在上單調(diào)遞增，由，且在上單調(diào)遞增且連續(xù)知,函數(shù)在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，由（1）可得時(shí),，即，故時(shí)，所以，由得，平方得，所以，因?yàn)?，所以在上恒成?所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,因?yàn)?所以,由，且在上單調(diào)遞減且連續(xù)得在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，綜上可知：函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn). （3）記函數(shù)，下面考察的符號(hào)求導(dǎo)得當(dāng)時(shí)恒成立當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，又因?yàn)樵谏线B續(xù)，所以由函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理得存在唯一的，使， ,因?yàn)?所以 因?yàn)楹瘮?shù)在上單

15、調(diào)遞增,所以在，上恒成立當(dāng)時(shí)，在上恒成立，即在上恒成立記，則，當(dāng)變化時(shí)，變化情況如下表： 極小值 ，故，即當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上恒成立綜合（1）（2）知， 實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值和利用零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)、利用分離參數(shù)法求參數(shù)的取值范圍;考查轉(zhuǎn)化與化歸能力、邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力;通過(guò)構(gòu)造函數(shù),利用零點(diǎn)存在性定理判斷其零點(diǎn),從而求出函數(shù)的表達(dá)式是求解本題的關(guān)鍵;屬于綜合型強(qiáng)、難度大型試題.19（1）；（2）.【解析】（1）將函數(shù)的解析式表示為分段函數(shù)，然后分、三段求解不等式，綜合可得出不等式的解集；（2）求出函數(shù)的最大值，由題意得出，解此不

16、等式即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】.（1）當(dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí).綜上所述，不等式的解集；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，則，即；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，則.綜上所述，函數(shù)的最大值為，由題知，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查含絕對(duì)值不等式的求解，同時(shí)也考查了絕對(duì)值不等式中的參數(shù)問(wèn)題，考查分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.20（1）12（2）【解析】（1）根據(jù)焦距得焦點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)定義；（2）求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，設(shè)，聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓，結(jié)合韋達(dá)定理表示出面積，即可求解最大值.【詳解】（1）設(shè)橢

17、園的焦距為，則，故.則橢圓過(guò)點(diǎn)，由橢圓定義知:，故，因此，的周長(zhǎng)；（2）由（1）知:，橢圓方程為:設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)在短軸頂點(diǎn)處取等，故面積的最大值為.【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)和橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)關(guān)系求三角形面積的最值，涉及韋達(dá)定理的使用，綜合性強(qiáng)，計(jì)算量大.21（1）的增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）.【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由于參數(shù)的范圍對(duì)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有影響，對(duì)參數(shù)分類(lèi)，再研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）的結(jié)論，求出的表達(dá)式，由于恒成立，故求出的最大值，即得實(shí)數(shù)的取值范圍的左端點(diǎn)【詳解】解：（1）解：， 當(dāng)時(shí)，解得的增區(qū)間為，解得的減區(qū)間為. （2）解：若，由得，由得，所以函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；， 因?yàn)?，所以，令，則恒成立，由于，當(dāng)時(shí)，故函數(shù)在上是減函數(shù)，所以成立； 當(dāng)時(shí)，若則，故函數(shù)在上是增函數(shù)，即對(duì)時(shí)，與題意不符；綜上，為所求【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值與最小值問(wèn)題中的應(yīng)用，求解本題關(guān)鍵是根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，由最值的定義得出函數(shù)的