高中數學知識要點及解題方法精粹

1、高中數學知識要點及解題方法精粹陳永清高三綜合復習的利器高中同步學習的助手 = ()通法先行，隨機應變；大膽猜想，小心求證！立足基礎是關鍵，通則通法要熟練，思想方法再掌握，不怕題目再三變。不怕難題不得分，就怕每題扣點分！會而不對，對而不全堅 決 消 滅 丟 分 現 象 ！思維有術，表達無方字跡工整，卷面整潔，規(guī)范答題，詳略得當1目錄 HYPERLINK l _bookmark0 目錄1 HYPERLINK l _bookmark1 作者自序4 HYPERLINK l _bookmark46 專題 41 HYPERLINK l _bookmark47 專題 42 HYPERLINK l _book

2、mark48 專題 43 HYPERLINK l _bookmark49 專題 44 HYPERLINK l _bookmark50 專題 45 HYPERLINK l _bookmark51 專題 46 HYPERLINK l _bookmark52 專題 47 HYPERLINK l _bookmark53 專題 48 HYPERLINK l _bookmark54 專題 49 HYPERLINK l _bookmark55 專題 50 HYPERLINK l _bookmark56 專題 51 HYPERLINK l _bookmark57 專題 52 HYPERLINK l _book

3、mark58 專題 53 HYPERLINK l _bookmark59 專題 54 HYPERLINK l _bookmark60 專題 55 HYPERLINK l _bookmark61 專題 56 HYPERLINK l _bookmark62 專題 57 HYPERLINK l _bookmark63 專題 58 HYPERLINK l _bookmark64 專題 59 HYPERLINK l _bookmark65 專題 60 HYPERLINK l _bookmark66 專題 61 HYPERLINK l _bookmark67 專題 62 HYPERLINK l _book

4、mark68 專題 63 HYPERLINK l _bookmark69 專題 64 HYPERLINK l _bookmark70 練習 01 HYPERLINK l _bookmark71 練習 02 HYPERLINK l _bookmark72 練習 03 HYPERLINK l _bookmark73 練習 04 HYPERLINK l _bookmark74 練習 05 HYPERLINK l _bookmark75 練習 06 HYPERLINK l _bookmark76 練習 07 HYPERLINK l _bookmark77 練習 08 HYPERLINK l _book

5、mark78 練習 09 HYPERLINK l _bookmark79 練習 10 HYPERLINK l _bookmark80 練習 11 HYPERLINK l _bookmark81 練習 12 HYPERLINK l _bookmark82 練習 13 HYPERLINK l _bookmark83 練習 14 HYPERLINK l _bookmark84 練習 15 HYPERLINK l _bookmark85 練習 16 HYPERLINK l _bookmark86 練習 17 HYPERLINK l _bookmark87 練習 18 HYPERLINK l _book

6、mark88 練習 19 HYPERLINK l _bookmark89 練習 20 HYPERLINK l _bookmark90 練習 21 HYPERLINK l _bookmark91 練習 22 HYPERLINK l _bookmark46 線性規(guī)劃問題(B5)83 HYPERLINK l _bookmark47 基本（均值）不等式(B5)85 HYPERLINK l _bookmark48 常用邏輯用語X2187 HYPERLINK l _bookmark49 曲線與方程及求軌跡方程X2189 HYPERLINK l _bookmark50 橢圓X2190 HYPERLINK l

7、 _bookmark51 雙曲線X2192 HYPERLINK l _bookmark52 拋物線X2194 HYPERLINK l _bookmark53 直線交圓錐曲線的解題模式X2197 HYPERLINK l _bookmark54 直線與圓錐曲線的綜合知識X21100 HYPERLINK l _bookmark55 曲線中的最值，定值(點)，取值范圍X21101 HYPERLINK l _bookmark56 空間向量與立體幾何(X21)102 HYPERLINK l _bookmark57 導數X22106 HYPERLINK l _bookmark58 定積分(X22)110 H

8、YPERLINK l _bookmark59 推理與證明X22111 HYPERLINK l _bookmark60 復數X22113 HYPERLINK l _bookmark61 排列與組合(X23)115 HYPERLINK l _bookmark62 二項式定理(X23)116 HYPERLINK l _bookmark63 隨機變量及其分布(X23)117 HYPERLINK l _bookmark64 回歸分析、獨立性檢驗X23119 HYPERLINK l _bookmark65 幾何證明選講(X41)120 HYPERLINK l _bookmark66 坐標系與參數方程X44

9、121 HYPERLINK l _bookmark67 不等式選講(X45)123 HYPERLINK l _bookmark68 常見題型的解題思路125 HYPERLINK l _bookmark69 精選練習140 HYPERLINK l _bookmark70 集合140 HYPERLINK l _bookmark71 解不等式143 HYPERLINK l _bookmark72 函數定義域143 HYPERLINK l _bookmark73 求函數解析式144 HYPERLINK l _bookmark74 函數值域147 HYPERLINK l _bookmark75 函數圖象

10、148 HYPERLINK l _bookmark76 函數單調性149 HYPERLINK l _bookmark77 函數奇偶性151 HYPERLINK l _bookmark78 周期性153 HYPERLINK l _bookmark79 指數函數155 HYPERLINK l _bookmark80 對數函數157 HYPERLINK l _bookmark81 定點和定值問題、抽象函數問題161 HYPERLINK l _bookmark82 恒成立、有解、無解問題164 HYPERLINK l _bookmark83 函數與方程166 HYPERLINK l _bookmark

11、84 函數的應用168 HYPERLINK l _bookmark85 必修 1 教材經典習題精選170 HYPERLINK l _bookmark86 空間幾何體171 HYPERLINK l _bookmark87 立體幾何173 HYPERLINK l _bookmark88 直線與方程181 HYPERLINK l _bookmark89 圓與方程184 HYPERLINK l _bookmark90 必修 2 教材經典習題精選189 HYPERLINK l _bookmark91 綜合訓練（1）190 HYPERLINK l _bookmark2 專題 A HYPERLINK l _

12、bookmark3 專題 B HYPERLINK l _bookmark4 專題 C HYPERLINK l _bookmark5 專題 D HYPERLINK l _bookmark6 專題 1 HYPERLINK l _bookmark7 專題 2 HYPERLINK l _bookmark8 專題 3 HYPERLINK l _bookmark9 專題 4 HYPERLINK l _bookmark10 專題 5 HYPERLINK l _bookmark11 專題 6 HYPERLINK l _bookmark12 專題 7 HYPERLINK l _bookmark13 專題 8 H

13、YPERLINK l _bookmark14 專題 9 HYPERLINK l _bookmark15 專題 10 HYPERLINK l _bookmark16 專題 11 HYPERLINK l _bookmark17 專題 12 HYPERLINK l _bookmark18 專題 13 HYPERLINK l _bookmark19 專題 14 HYPERLINK l _bookmark20 專題 15 HYPERLINK l _bookmark21 專題 16 HYPERLINK l _bookmark22 專題 17 HYPERLINK l _bookmark23 專題 18 HY

14、PERLINK l _bookmark24 專題 19 HYPERLINK l _bookmark25 專題 20 HYPERLINK l _bookmark26 專題 21 HYPERLINK l _bookmark27 專題 22 HYPERLINK l _bookmark28 專題 23 HYPERLINK l _bookmark29 專題 24 HYPERLINK l _bookmark30 專題 25 HYPERLINK l _bookmark31 專題 26 HYPERLINK l _bookmark32 專題 27 HYPERLINK l _bookmark33 專題 28 HY

15、PERLINK l _bookmark34 專題 29 HYPERLINK l _bookmark35 專題 30 HYPERLINK l _bookmark36 專題 31 HYPERLINK l _bookmark37 專題 32 HYPERLINK l _bookmark38 專題 33 HYPERLINK l _bookmark39 專題 34 HYPERLINK l _bookmark40 專題 35 HYPERLINK l _bookmark41 專題 36 HYPERLINK l _bookmark42 專題 37 HYPERLINK l _bookmark43 專題 38 HY

16、PERLINK l _bookmark44 專題 39 HYPERLINK l _bookmark45 專題 40 HYPERLINK l _bookmark2 常用的數學思想和方法5 HYPERLINK l _bookmark3 常用化簡技巧與常用公式6 HYPERLINK l _bookmark4 數學解題經驗談9 HYPERLINK l _bookmark5 數學解題表10 HYPERLINK l _bookmark6 集合(B1)11 HYPERLINK l _bookmark7 函數及其定義域(B1)13 HYPERLINK l _bookmark8 函數解析式的求法(B1)15 H

17、YPERLINK l _bookmark9 值域，最值(B1)17 HYPERLINK l _bookmark10 函數圖象及其變換(B1)19 HYPERLINK l _bookmark11 單調性(B1)21 HYPERLINK l _bookmark12 奇偶性、對稱性(B1)23 HYPERLINK l _bookmark13 周期性(B4)25 HYPERLINK l _bookmark14 指數與指數函數(B1)27 HYPERLINK l _bookmark15 對數與對數函數(B1)28 HYPERLINK l _bookmark16 冪函數的圖像與性質(B1)29 HYPER

18、LINK l _bookmark17 定點問題及抽象函數(B1)30 HYPERLINK l _bookmark18 成立與恒成立(B1)31 HYPERLINK l _bookmark19 函數與方程、二分法(B1)33 HYPERLINK l _bookmark20 二次方程根的分布(B1)34 HYPERLINK l _bookmark21 函數的應用(B1)35 HYPERLINK l _bookmark22 空間幾何體(B2)36 HYPERLINK l _bookmark23 點、直線、平面之間的關系(B2)38 HYPERLINK l _bookmark24 直線方程(B2)41

19、 HYPERLINK l _bookmark25 曲線的對稱性(B2)43 HYPERLINK l _bookmark26 圓的方程(B2)44 HYPERLINK l _bookmark27 直線、圓的位置關系(B2)46 HYPERLINK l _bookmark28 空間直角坐標系B247 HYPERLINK l _bookmark29 算法、程序框圖、程序(B3)48 HYPERLINK l _bookmark30 統(tǒng)計(B3)51 HYPERLINK l _bookmark31 概率(B3)54 HYPERLINK l _bookmark32 三角函數(B4)56 HYPERLINK

20、 l _bookmark33 三角函數的圖象與性質(B4)59 HYPERLINK l _bookmark34 平面向量(B4)61 HYPERLINK l _bookmark35 兩角和與差的公式(B4)65 HYPERLINK l _bookmark36 解三角形(B5)66 HYPERLINK l _bookmark37 數列(B5)67 HYPERLINK l _bookmark38 等差數列(B5)69 HYPERLINK l _bookmark39 等比數列(B5)71 HYPERLINK l _bookmark40 數列求和(B5)74 HYPERLINK l _bookmark

21、41 遞推數列的通項公式(B5)75 HYPERLINK l _bookmark42 數列型不等式的證明(B5)77 HYPERLINK l _bookmark43 不等式的性質(B5)80 HYPERLINK l _bookmark44 解不等式(B5)81 HYPERLINK l _bookmark45 含參數不等式的解法(B5)822 HYPERLINK l _bookmark92 練習 23 HYPERLINK l _bookmark93 練習 24 HYPERLINK l _bookmark94 練習 25 HYPERLINK l _bookmark95 練習 26 HYPERLIN

22、K l _bookmark96 練習 27 HYPERLINK l _bookmark97 練習 28 HYPERLINK l _bookmark98 練習 29 HYPERLINK l _bookmark99 練習 30 HYPERLINK l _bookmark100 練習 31 HYPERLINK l _bookmark101 練習 32 HYPERLINK l _bookmark92 算法、統(tǒng)計、概率194 HYPERLINK l _bookmark93 平面向量196 HYPERLINK l _bookmark94 三角函數200 HYPERLINK l _bookmark95 數列

23、204 HYPERLINK l _bookmark96 不等式、線性規(guī)劃208 HYPERLINK l _bookmark97 簡易邏輯與充要條件210 HYPERLINK l _bookmark98 圓錐曲線（1）211 HYPERLINK l _bookmark99 圓錐曲線（2）214 HYPERLINK l _bookmark100 立體幾何217 HYPERLINK l _bookmark101 函數綜合題218 HYPERLINK l _bookmark102 練習 33 HYPERLINK l _bookmark103 練習 34 HYPERLINK l _bookmark104

24、 練習 35 HYPERLINK l _bookmark105 練習 36 HYPERLINK l _bookmark106 練習 37 HYPERLINK l _bookmark107 練習 38 HYPERLINK l _bookmark108 練習 39 HYPERLINK l _bookmark109 練習 40 HYPERLINK l _bookmark102 函數性質220 HYPERLINK l _bookmark103 恒成立問題221 HYPERLINK l _bookmark104 排列與組合225 HYPERLINK l _bookmark105 概率與統(tǒng)計（1）226

25、HYPERLINK l _bookmark106 概率與統(tǒng)計（2）228 HYPERLINK l _bookmark107 不等式選講230 HYPERLINK l _bookmark108 教材經典習題精選231 HYPERLINK l _bookmark109 綜合訓練（2）237 HYPERLINK l _bookmark110 后記241【說明】括號中的 B1 表示必修 1，括號中 X21 表示選修 2-1，以此類推?。ㄗ⒁猓篨11、X12 的內容在加中括號的 X21、X22、X23 中）總結細致入微，促你于無聲處常頓悟！歸納全面突破，助你求知路上拔頭籌！數學其實也是一門游戲，先掌握好

26、規(guī)則，（規(guī)則：數學定義、定理、運算法則等）再學習如何用好規(guī)則，就能取得好成績！任何一種簡潔的解題方法都離不開準確快速的運算做支撐！可以說，得運算者得數學，得數學者得天下！高考數學能力要求空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力、以及應用意識、創(chuàng)新意識其中，運算求解能力是最基礎的又是應用最廣的一種能力：運算的合理性，運算的準確性，運算的熟練性，運算的簡潔性它體現了思維的靈活性、敏捷性、深刻性不僅包括對數的運算，也包括對式的運算，兼顧對算理和邏輯推理的考查態(tài)度決定人生的高度！記性、悟性、自覺性決定了你學習上的收獲！高分數、好成績是靠自己悟出來的！正所謂：師傅領進門，修行在個人！紙上得

27、來終覺淺，絕知此事要躬行！3高中數學知識要點及解題方法精粹打開成功大門的金鈅匙作者自序這是一本極具個性和特色的高中數學知識要點和解題方法的輔導工具書！它是來自于長期在教學一線并從事高三數學教學多年的教師的心血之作！它站在實用的立場，瞄準高考，幾乎一網打盡高考數學解題方法和策略！一、大開本頁面排版，使得每個專題的知識點、題型方法在一面上就能集中連貫流暢的顯示，閱讀起來非常方便；它避免了同學們在筆記本上因東抄西寫而不成系統(tǒng)的缺陷，因此使用起來效率更高二、編排上不同于一些數學知識手冊，它不是簡單地將課本上的概念、定義、公式、定理簡單羅列，而是將有規(guī)律性的數學結論（如周期性、等比型遞推數列、線性規(guī)劃中

28、目標函數的類型等）集中在一起，有些結論給出了詳盡的推導過程，還有一些給出了方法提示，閱讀的時候若能比較、鑒別、思考，就能悟出許多解題方法三、將平常練習與考試中經常遇到的問題歸結為一個題型，或進一步提供解題思路、或進一步歸納解決這一類問題的理論依據，以達到訓練思維的作用如：“1 ，2 ，使得方程g(2) = (1)成立”，這句話的含義就是“| = ()， | = g()， ”，如果悟出了這個含義，涉及它的問題不就很容易解決了嗎！如果平時沒有學會這些命題或語句的轉化，臨到考試時豈不是束手無策？本書（如專題“成立與恒成立”）收集了眾多這種能訓練思維、清晰解題思路的命題或語句，如果平時能多悟一悟，解題

29、能力必將上一新臺階！四、強調知識、方法應用的可操作性作者在歸納中，強調通則通法的掌握運用，并不歸納怪、偏、難的方法，如專題“常見函數題型的解題思路”，可使學生在模仿解題中感悟，在感悟中收獲還有些知識點，通過作者的反復揣摩，歸納出可操作性的步驟和結論，掌握之后，再全面理解整個知識點的發(fā)生過程就容易多了五、將教師在教學中常常需要強調的東西形成文字，便于學生反復閱讀，從而加深印象它也將許多散見于各種資料中和師生面授相傳中的好方法匯集在其中六、本書歸納的方法、結論、解題規(guī)律確實很多，除少部分常用結論和方法要銘記于心之外，大部分只要通過反復體會和運用就能掌握，無需死記呆背為了幫助同學們掌握方法和記憶重要

30、結論，或直觀理解一些結論，作者編配了一些順口溜，繪制了一些對應的圖象七、本書全面配合高考數學考點的復習安排，因此在一輪復習時若能及時同步消化吸收，必將奠定奪取高分的堅固基石；本書也是二三輪復習，乃至考前必讀材料；高中數學有十多本教材，考前不可能再一一翻閱，正是由于本書全面配合高考數學考點的復習安排，因此考前對于自己感覺薄弱的地方，及時查閱強化不無裨益便捷八、同時本書又適于高一、高二學生作為工具書使用，同步積累知識和方法，為高考打下堅實的基礎九、本書配備了一些題組訓練，它們主要來自于近幾年高三學生在平時的練習或考試（試題主要來源于湖南四大名校的試卷）中容易出錯、或不會解答的題，但并非怪題、難題，

31、它們甚至可以說是具有代表性的經典題、綜合題，如果我們能在平時一一攻克，必將使我們的數學思維能力得到極大的鍛煉和提高，解題能力產生質的飛躍；或期望讀者通過對解題過程的理解，（客觀題有關鍵性提示和答案，解答題則有詳盡的解答過程），進一步掌握解題方法和思路，能夠舉一反三，避免在考試中失誤正所謂，它山之石，可以攻玉作者：陳永清說明這份資料是我是已出版的輕松快捷巧記高中數學知識與解題方法的前身，是出版前最全的一份了。輕松快捷巧記高中數學知識與解題方法由湖南師范大學出版社出版，2019 年 6 月出版第二版，有興趣的讀者，可以到淘寶網（簡愛圖書專營店）購買（又稱 2020 版）。4不怕難題不得分，就怕每題

32、扣點分！專題 A常用的數學思想和方法一數學思想：1數形結合的思想；2分類與整合的思想；3函數與方程的思想；4轉化與化歸的思想；5特殊與一般的思想；6有限與無限的思想；7或然與必然的思想；8正難則反的思想二數學基本方法：配方法、換元法、反證法、割補法、待定系數法；分析法、比較法、綜合法、歸納法、觀察法、定義法、等積法、向量法、解析法、構造法、類比法、放縮法、導數法、參數法、消元法、不等式法、判別式法、數形結合法、分類討論法、數學歸納法、分離參數法、整體代換、正難則反、設而不求、設而求之【解題時：方法多，思路廣，運算準，化簡快】三數學邏輯方法：分析與綜合、歸納與演繹、比較與類比、具體與抽象等【也稱

33、數學思維方法】四選擇題的方法：四個選項有極大的參考價值！千萬不要小題大做！求解對照法(直接法)；逆推代入法(淘汰法)；數形結合法(不要得意忘形)；特值檢驗法(定值問題)；特征分析法(針對選項)；合理存在性法(針對選項)；邏輯分析法(充要條件)；近似估算法(可能性)五填空題的方法：直接法；特例法(定值問題)；數形結合法；等價轉化法六熟練掌握數學語言的三種形式：自然語言、符號語言、圖形語言的相互轉化七計算與化簡：這是一個值得十分注意的問題！平時的訓練中，要多思考如何快速準確的計算和熟練的化簡！八學會自學！課堂上不可能把所有的題型都講到！所以要多看例題，多思考！看之前一定要想自己會怎么做！怎么看：一

34、看解題思路【看完后要歸納步驟、總結方法】，二看規(guī)范表達【盡量學會使用數學語言、符號】學會總結歸類：從數學思想上歸類；從知識應用上歸類；從解題方法上歸類；從題型類型上歸類【特別提醒】1一道題有沒有簡便解法，關鍵就在于你能不能發(fā)現其中的一些條件的特殊性，并能加以靈活運用?。`機一動）【轉化、聯(lián)想、換元等，另外，解題時有時對一些細節(jié)的處理也很關鍵，會起到峰回路轉、柳暗花明的作用】2解函數、解析幾何、立體幾何的客觀題，應特別注意數形結合思想的運用！但在解答題中，不能純粹只憑借圖象來解答問題；圖象只起到幫助找到解題思路的作用【圖象盡量畫準，甚至在有時給出圖象時也需要自己重新準確畫一遍】；解題過程還是要進

35、行嚴謹的理論推導【用數學語言表達】，不能純粹以圖象代替推理、證明3轉化數量關系時，若是寫不等式，則要注意是否可以取“=”特別是求取值范圍時，端點一定要準確處理4平常做解答題應該做完整：解題過程的表達是否流暢、簡潔否則到考試時，還需為如何組織語言表達去思考而耽誤時間這是平時訓練值得注意的【條理分明、言簡意賅、字跡工整】！表達也是思維的一部分！5在解答題中，某些局部問題解答過程的書寫的詳略，取決于整個解題書寫過程的長短：長則略寫，可用易證、易知等字眼；短則詳寫如果要應用教材中沒有的重要結論，那么在解題過程中要給出簡單的證明6在設置有幾問的解答題中，后面問題的解決有時候依賴于如何靈活運用前面已解決的

36、問題的結論有些解答題某一問貌似與前面無關，實則暗【明】示你必須把它與前面聯(lián)系起來，才能解決問題7平常要多積累解題經驗和解題技巧熟記一些數學規(guī)律和數學小結論對解題也是很有幫助的8數學總分上不上得去，很大程度上取決于選擇題、填空題得分高不高而選擇題、填空題更注重對基礎知識，基本數學思想、方法和技能的全面考察因此，要熟練掌握解選擇題、填空題的特有方法：在解選擇題或填空題時，優(yōu)秀的解題方法更顯得重要建議每天做一份選擇、填空題，花大力氣提高解選擇、填空題的準確率和速度【注意：選擇題的四個選項中有且只有一個是正確的，是一個需要特別重視的已知條件】9可以在專門的筆記本上，收集作業(yè)、考試中的錯題，學習中遇到的

37、經典題，便于日后考前復習鞏固 作業(yè)本上的錯題、試卷上的錯題一定要及時更正！做錯了不可怕，可怕的是做錯了不去糾正！新時代的三好學生：習慣好，基礎好，方法好5我的成功歸功于精細的思考，只有不斷地思考，才能到達發(fā)現的彼岸。牛頓專題 B常用化簡技巧與常用公式一、代數部分：掌握運算技巧，可提高解題速度得運算者得數學，得數學者得天下基本公式1因式分解、乘法公式：2 2 = ( )( + )；2 2 + 2 = ( )2；3 3 = ( )(2 + + 2)；( )3 = 3 32 + 32 3；( + + )2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2；2 + 2 + 2 = ( + )2；3 +

38、3 = ( + )(2 + 2)；( + )3 = 3 + 32 + 32 + 32設2 + + = 0的兩根為1，2，令= 2 4【注意：或缺省時，意味著 = 0 或 = 0】，2 4( 0)另有| | = ( )2 = ( + )2 4 = 求根公式：=1212121 21，2|2 + = ，12【注意：解此類方程組時可構造方程2 + + = 0再解】根與系數的關系（韋達定理）： = 1 2因式分解：2 + + = ( 1)( 2)【十字交叉法分解因式要熟練！】23配方： = 2 + + = ( + )2 + 4 ( 0)；242 + 2 + 2 = 1 ( )2 + ( )2 + ( )

39、2；22 + 2 = ( )2 + 3 2；2 + 1 = ( + 1)2 22 + 2 = ( + )2 2；224常見化簡1 2 1(1 2 1)+ + +1繁分式化簡分式： = +2+(同乘)3 1+ 4( 3 1+ 4 )3+4 22分式中的負指數冪化成正指數冪： + = ( + ) = +1(同乘)()213齊次式變形： = +3； = 22+432 ；2 5 + 42 0(同除)2+23+4除法分配律（分數裂項）：+ = + ； = 1 1 (分式變形時常用) = 1 = ( +1)2 = 1 25分子常數化： = 21 = (22)+1 =+ 2； =( 0)；122；4+1+1

40、+1111+41+22 = 2 4+3 = 2(1) +1 = 2( 1) + 1（或用換元法令分母為后，達到分子常數化要求）11142 = 9 +10 +1 = 1 +424（借鑒分子常數化，使分子降次少項）= 1 +194+62+194+62+129 + 2+6說明：分子常數化手段，對于我們了解分式函數單調性，圖象，求數列最大項、最小項，整數解問題等都有極大的幫助1= 1()= ；1(2+1+)16分母有理化：= 2 + 1 + ；=+(+)()2+1(2+1)(2+1+)2222 + 1 = +1 = ( +1)( +1+) =分子有理化： = ()(+) = 1；1(2+1+)2+1+

41、1(+)+17平方法化簡根式： = 5 21 + 5 + 21 2 = 10 + 24 = 14 = 14常見問題1你會解這兩個（含參數的）方程嗎？ + = 0；2 + + = 0.2 + = 0； + = 0對于 或， 恒成立 = 0， = 02 + + = 0；2 + + 2 = 0 對于 或， 恒成立 = 0， = 0， = 03若關于成反比，則 = ；若關于成正比，則 = 【其中為待定系數】若關于成正比，且關于成反比，則 = 4| = ， 0，| | = | |（數軸上，兩點間的距離）；| = |，( )2 = ( )2， 0 = (0， + )； = | 0的補集是 0，而不是| 1

42、 0 摩 根 定 理 ：( )( ) = ()；( )( ) = ()【右圖中、四部分你能用集合符號表示嗎？】 = = 【要重點理解掌握！】() = () = 4含參數的集合滿足 或 = 等情形時，在求解的時候要注意是否需要分 = 與 兩種情形討論 若含參數的集合是一個方程或不等式的解集，也可以從通過討論系數的符號來解方程或不等式的角度考察提高篇1求集合（有限集）中的參數的值要注意檢驗：是否違反集合中元素的互異性，是否與已知條件矛盾2求集合交、并、補或求滿足 或 = 等情形時參數取值范圍的方法：觀察法（有限集）， 數形結合法【無限集，利用韋恩（Venn）圖，或數軸，或坐標平面】3注意區(qū)分集合中

43、元素的含義：【數集一般都要進一步化簡！】數集： = |() = 0方程的解集； = | = ()函數 = ()的定義域； = |() 0或|() 0區(qū)域；(，)|(，) )，則滿足 的集合有2個；滿足 的集合有2 2個7滿足 = 1，2， ，的集合，有 (1) = 3對【每個元素放置的位置都是三選一，如圖】38在集合 = 1，2， ，的所有子集中：集合中的每個元素出現21次（譬如1這個元素,注意集合 2， ，有21個子集）含個元素的子集有個，在這個子集中，集合中的每個元素出現1次（譬如 這個元素）11綜合篇1從集合觀點理解方程或不等式恒成立、有解、無解問題的解決之道：【參見專題“成立與恒成立”

44、】對于集合 = |()，集合 = |()，其中()，()代表不等式或方程，則 ()對 恒成立！【大范圍對小范圍恒成立；有時需利用 轉化一下】 () ()對 恒成立且()對 恒成立！ ()在有解（或()在有解）； = ()在無解（或()在無解）若 ，都有 【若 ，但 ，且 ，則 】2() = () + () ()【()：集合中的元素個數】練習1設全集 = ， = |3 0，()， 0，4奇函數： = = | (|)；偶函數： = = (|).()， 0()， 0， ， 5 = = max，； = = min， ， ()，為奇數； ()+g()()g()6若 = 則 =+ (1)1 .g()，為偶

45、數22學好數學的秘訣是：解題，解題，再解題。專題 2函數及其定義域(B1)研究函數必須樹立定義域優(yōu)先考慮的原則！(很重要，但又很容易忽視)1函數的定義：設，是兩個非空的數集，如果按照某種確定的對應關系，使對于集合中的任意一個數，在集合中都有唯一確定的數()和它對應，那么就稱： 為從集合到集合的一個函數，記作 = ()， 其中集合就叫做函數()的定義域，函數值的集合| = ()， 就叫做函數()的值域函數()的圖象與動直線 = 至多只有一個公共點！這是判斷一個圖象是不是函數圖象的方法點(，)在函數 = ()的圖象上 () = 函數表示法解析法、列表法、圖象法【若一個函數在它的定義域中，對于自變量

46、的不同取值范圍，對應法則不同， 則需用分段函數來表示，這樣的函數通常稱為分段函數】兩個函數為同一函數的充要條件是定義域與對應關系相同【即在定義域相同的條件下解析式可化為相同】設函數 = ()的定義域為集合，若()在集合上有意義，則 區(qū)間表示法：設 ，則| = ，| 0，且 1）， ； = tan， ， + ， ； = log （ 0，且 1）， 0；2通過加、減、乘、除四則運算及有限次復合構造出新函數，則新函數的定義域是每個函數定義域的交集應用問題的定義域，除了要考慮解析式本身的定義域，還要考慮使應用問題有意義求定義域時最好不要對解析式先變形，否則容易出錯5不給出()的解析式，函數()，(g(

47、)，()三者之間定義域的關系：【定義域都是指的取值范圍】已知()的定義域是(，)，求(g()的定義域：解不等式 g() ，其解集就是(g()的定義域已知(g()的定義域是(，)，求()的定義域：利用 求g()的值域，該值域就是()的定義域已知(g()的定義域是(，)，求()的定義域：利用 (，)先求出g()的值域(，)，然后解不等式 () 0時，為上的增函數； 0，() 0在，恒成立，則 若() 0() 0() = + () = + () = + 若()在(，)上有零點（即 + = 0在(，)上有解），則() () 0時，值域為| 4 ；當 0時，在(， 上單調遞減，在 ， + )上單調遞增；

48、22當 0時，在(， 上單調遞增，在 ， + )上單調遞減；2奇偶性： = 時為偶函數（ = = 0時為奇函數）22 = 2 + + = ( + )2 + 4 的值域，【不能簡單類比 = + 而得出錯誤的結論】24當 0時，值域為0， + )或( )， + )（二者必居其一）22設() = 2 + + ，則: = = 0， 0， 若() 0在上恒成立，則或 0 0 = = 0， 0，若() 0在上恒成立，則或 0 0時，過雙曲線上一點(，)向坐標軸作垂線，與坐標軸圍成的矩形面積；顯然 0時一、三象限的雙曲線； 0時，在(，0)，(0， + )上為減函數；當 方法一：就g()，()與的大小關系分

49、四種情形，將兩邊代出后求解；方法二：令g() = ，() = ，解出的值，得到（能分段代出兩邊的）標準后，分段求解3若() = + 11 + + 22 + 1 + 0，且() = 0，則()必含有因式( )； 必要時可以用豎式除法或待定系數法將()因式分解；若 = 0為()的極值點，則 = 0必為方程() = (0)的重根24 = 2 + + = ( + )2 + 4 在確定的情況下，拋物線的形狀（即開口大?。┮簿碗S之確定！24不等式的解集設1 0，則1|( )( ) 0 | 0 | 2大于取兩邊【“小魚吃中間，大魚吃兩邊”，即“小于取中間，大于取兩邊”；數軸穿根法：奇穿偶切】 3| 0 |

50、0 | 1大于取兩邊122125| 2 2 0 ( + )( ) 0 2 2 0 ( + )( ) 0 或 0)的形式，再利用+ 或+ 3（一正二定三相等）等公式23來求值域或最值，一定要看等號能否成立，否則用數形結合法（雙勾函數）、單調性法完成，【還可注意柯西不等式的應用】28判別式法：用于 = () = 1 +1+1（2 + 2 0，分子、分母無公因式，且無人為限制）1222+2+2先化成(2 1)2 + (2 1) + (2 1) = 0，再運用 0求值域（但要注意討論二次項系數為0的情況）2附：若含參數的函數() = 1 +1+1的值域為，求所含參數的值22+2+22方法：利用判別式法

51、；方法：利用 1 +1+1 恒成立且等號也可成立22+2+29導數法：通過求導研究函數的單調性，確定極值與端點值，從而得出值域或最值三、對于含參數的函數求值域或最值，最常用的方法是數形結合、分類討論【分類討論法】(萬能方法!)通常先作出函數的一般圖象（形狀），再由函數圖象左右移動悟出討論標準！二次函數() = 2 + + ， ，的最值問題（對稱軸含參數問題、區(qū)間含參數問題）是最典型的注意是否需要討論開口方向，討論對稱軸 = 與軸上區(qū)間，的兩端點，的三種位置關系；2討論對稱軸 = 與軸上區(qū)間，的中點+的兩種位置關系；22對于函數() = | | + ， ，的最值問題（對稱軸含參數問題），可參照上

52、述思路解決例、已知() = | | + 1， 0，1，其中常數 0，1，求()的最大值【先作圖，再由圖悟出討論標準！當0 1時，()= (1)；當1 1時，()= (0)】maxmax22四、恒成立問題求參數取值范圍常需用到求值域、最值的方法17數缺形時少直觀，形缺數時難入微；數形結合千般好，隔裂分家萬事休華羅庚提高篇1求函數值域問題，從方程角度講，就是關于的方程在定義域內有解，從而求參數的取值范圍問題！ 求函數值域問題，從圖象角度講，就是函數圖象上每一點的縱坐標組成的集合！2求函數值域與求最值方法是相同（通）的，既可求出值域而確定最值，也可求出最值而確定值域3可學會使用的符號：()max =

53、 ()，()min = ()；()max = max()，() = ，()min = min()，() = 【含參數時可根據() ()的符號分類確定。】4下面幾種分式函數求值域要熟練：+ （令 = 1 = +(令 = + )， =倒數換元法），(+)2+2 = + 或 = +(令 = + ) 【若把分式看作斜率，則可用數形結合法】2+先化簡(換元、化繁分式、分子常數化)，再用均值不等式或單調性法或導數法（注意雙勾函數的性質的運用）5求 = + 最值的方法：導數法； 0時單調性法；向量法、柯西不等式、三角換元法； = 時，平方法326求高次分式函數() = 1 +1 +1+1的最值，也可考慮先分

54、子降次、分子常數化23+22+2+27若 | = ()， ，則() = 在集合中無解！例：2 | = 2 + 1，求的取值范圍 【 0)；左加右減上下平移個單位 = () = () ( 0)；上加下減翻折變換翻 折 變 換 ： = () = |()|；下往上翻翻折變換 = () = (|)( 偶 函 數 )；作右翻左伸縮變換伸縮變換( ) = ( 1 )；伸縮變換： = = ( ) = ( )沿橫軸伸縮倍沿縱軸伸縮 倍4(對稱變換)兩個函數圖象間的對稱性及函數關系：【會根據對稱性寫解析式】 = ()， = ()，關于直線 = 0(即軸)對稱；關于直線 = 對稱； = () = (2 ) = (

55、)， = ( + )， 對稱2關于直線 = 0(即軸)對稱；關于直線 = = () = ( ) = ()， = ()，關于原點對稱；關于點(，)對稱； = () = 2 (2 )5熟記一些基本函數圖象，便于以此為基礎進行圖形變換，作出相關的函數圖象，從而進一步解決有關問題 = |（偶函數）； = |(偶函數)； = |(偶函數)； = (奇函數)6含絕對值符號的函數的圖象，如果不能由圖形變換得到，則采用零根分段去絕對值法變分段函數作圖！7若將函數 = ()的圖象右移、上移個單位，得到函數 = ( ) + 的圖象；若將曲線(，) = 0的圖象右移、上移個單位，得到曲線( ， ) = 0的圖象8求

56、與已知曲線相關聯(lián)的曲線方程問題，實質上是利用代入法轉化為求點的軌跡問題；9證明一個函數圖像的自身對稱性，即證明圖像上任一點關于對稱中心（或對稱軸）的對稱點仍在圖像上證明 = ( ) + 關于點(，)成中心對稱的一種簡便方法：先證明 = ()是奇函數，即關于原點對稱，再利用平移變換就可說明 = ( ) + 關于點(，)成中心對稱證明 = ( )關于直線 = 成軸對稱的一種簡便方法：先證明 = ()是偶函數，即關于軸對稱，再利用平移變換就可說明 = ( )關于直線 = 成軸對稱 證明圖像1與2的對稱性，需證兩方面：證明1上任意點關于對稱中心（或對稱軸）的對稱點仍在2上；證明2上任意點關于對稱中心（

57、或對稱軸）的對稱點仍在1上（表述上用“同理可證”即可）19鍥而舍之，朽木不折；鍥而不舍，金石可鏤?？焖僮鞒龀Ｓ煤瘮档膱D象（利用好函數性質，并抓住關鍵點、關鍵線）【會讀圖】讀出定義域，值域，最值，極值，零點，解集，單調性，奇偶性（對稱性），周期性，有界性，漸近線【會作圖】熟練掌握一些基本函數圖象作圖時，抓住關鍵點（端點、最值點、極值點、零點、與軸的交點、對稱中心等），關鍵線（對稱軸、漸近線），利用好函數性質（奇偶性、單調性、周期性等）分子常數化1反比例型函數： = + ( 0， ) =+ 的圖像是雙曲線，其對稱中心為點( ， )，000+0其圖象可由 = 變換得到【可根據對稱中心( ， )，先畫

58、出兩條漸近線，再根據的符號畫出雙曲線！】00事實上， = ， = ；該函數定義域為| ，值域為| 00 = 200002 = + ( 0) = = ( 0) =+ 0( 0) 0 02雙勾函數： = + ( 0)，見上第四圖；【更一般形式的雙勾函數： = + ( 0， 0)】可根據奇偶性和基本不等式 + 2(， 0)，或導數法確定極值點 = 【注意區(qū)別于 = ( 0)的圖象，見上第三圖】3含絕對值的函數：() = 1| 1| + 2| 2| + + | | + （會用零根分段去絕對值法變分段函數，顯然每段均為一次函數或常數也要會直接快速作出函數圖象）() = | | + 的圖象：頂點坐標為(，

59、)，當 0時，正字形；當 0時，倒(即)字形；(, )1 221(, )12() = | 1| + | 2| + ；() = | 1| | 2| + ；() = 1| 1| + 2| 2| + + | | + 的圖象用零根分段去絕對值法變分段函數，顯然每段均為一次函數或常數因此，圖象特征為：由兩條射線和一條或幾條線段組成，線段都在中間且依次相連，兩條射線在兩端，線段的各個端點橫坐標就是各絕對值的零點畫圖時可以先在軸上標出1，2， ，再確定線段的各個端點(1，(1)，(2，(2)， ，(，()，兩端射線的起伏可以通過取點而確定【解不等式() 時可考慮去絕對值符號】23114如何作出() = ma

60、x1()，2()， ，()或() = min1()，2()， ，()的圖象？（ 2） 在同一坐標系中先分別作出函數1()，2()， ，()圖象，再利用它們的交點分段確定()的圖象5某些函數的圖象可以通過對解析式變形，變形為曲線方程來判斷如：() = 1 + 4 ( 3)2 = 1 + 4 ( 3)2 ( 3)2 + ( 1)2 = 4( 1)，其圖象為半圓6研究函數綜合問題：如果能確定函數單調性，奇偶性，周期性，漸近線，再結合零點，極值、最值、端點值，那么畫出的函數圖象是比較準確的了，這樣就更便于我們尋找解題思路，從而解決問題切記，切記！7 =的圖象：若 ，使得( ) = 0，則 = 為 =圖