《高中數(shù)學課程標準導讀》復習思考題答案

1、（0773）高中數(shù)學課程標準導讀復習思考題答案1簡述數(shù)學在現(xiàn)代社會發(fā)展中的地位和作用?？v觀近代科學技術(shù)的發(fā)展，可以看到數(shù)學科學是使科學技術(shù)取得重大進展的一個重要因素，同時它提出了大量的富有創(chuàng)造性并卓有成效的思想。本世紀的數(shù)學成就，可以歸入數(shù)學史上最深刻的成就之列，它們已經(jīng)成為我們這個工業(yè)技術(shù)時代發(fā)展的基礎(chǔ)。數(shù)學科學的這些發(fā)展，已經(jīng)超出了它們許多實際應(yīng)用的范圍，而可載入人類偉大的智力成就的史冊。數(shù)學科學是集嚴密性、邏輯性、精確性和創(chuàng)造力與想象力于一身的一門科學。這個領(lǐng)域已被稱作模式的科學。其目的是要揭示人們從自然界和數(shù)學本身的抽象世界中所觀察到的結(jié)構(gòu)和對稱性。無論是探討心臟中的血液流動這種實際的

2、問題還是由于探討數(shù)論中各種形態(tài)的抽象問題的推動，數(shù)學科學家都力圖尋找各種模型來描述它們，把它們聯(lián)系起來，并從它們作出各種推斷。部分地說，數(shù)學探討的目的是追求簡單性，力求從各種模型提煉出它們的本質(zhì)。2試述教育部對于新課程建設(shè)的要求以及新課程建設(shè)的主要目標。根據(jù)教育部副部長王湛建立具有中國特色的基礎(chǔ)教育體系的報告，新課改立足與解決以下主要問題：1）明確區(qū)分義務(wù)教育與非義務(wù)教育，建立合理的課程結(jié)構(gòu)，更新課程內(nèi)容。義務(wù)教育面向每一個學生，課程標準應(yīng)是絕大多數(shù)學生都能夠達到的教學目標。課程內(nèi)容應(yīng)是基礎(chǔ)性的，不應(yīng)被任意擴大、拔高。2）突出學生的發(fā)展，科學制定課程標準。傳統(tǒng)的教學大綱以學科的內(nèi)容體系來表述課

3、程的知識點和教學要求。課程標準不但對于知識內(nèi)容、技能和能力有具體要求，而且對于學生學習課程的情感態(tài)度、價值觀、教學的過程方法等方面也都有明確要求。3）加強學生思想品德教育的針對性和實效性。課程中滲透德育，培養(yǎng)學生的愛國主義精神、對科學熱愛和不斷追求的精神。4）以創(chuàng)新精神和實踐能力的培養(yǎng)為重點，建立新的教學方式，促進新的學習方式的變革。新課程強調(diào)教學過程中師生互動，正確處理知識傳授與能力培養(yǎng)的關(guān)系。注重培養(yǎng)學生自主性和獨立性，引導學生質(zhì)疑、調(diào)查、探究，采用自主生動的學習方式。5）建立促進學生發(fā)展、教師提高的課程評價體系。評價功能從注重甄別與選拔轉(zhuǎn)向激勵、反饋與調(diào)整；評價內(nèi)容從過分注重學業(yè)成績轉(zhuǎn)向

4、注重多方面發(fā)展的潛能；評價主體從單一轉(zhuǎn)向多元；評價角度從終結(jié)性轉(zhuǎn)向過程性、發(fā)展性，更加關(guān)注學生的個別差異；探求新的評價方式，使得這些方式更具有可操作性、方法簡明易行，第一線教師容易便于使用。6）建立國家、地方、學校三級課程管理模式，提高課程的適應(yīng)性，滿足不同的地方、學校和學生的需要。繼續(xù)完善基礎(chǔ)教育由地方負責、分級管理的體制。3試述基礎(chǔ)教育課程改革的具體目標是什么。根據(jù)教育部國家基礎(chǔ)教育課程改革指導綱要基礎(chǔ)教育課程改革的具體目標：改變課程過于注重知識傳授的傾向，強調(diào)形成積極主動的學習態(tài)度，使獲得基礎(chǔ)知識與基本技能的過程同時成為學會學習和形成正確價值觀的過程。改變課程結(jié)構(gòu)過于強調(diào)學科本位、科目過

5、多和缺乏整合的現(xiàn)狀，整體設(shè)置九年一貫的課程門類和課時比例，并設(shè)置綜合課程，以適應(yīng)不同地區(qū)和學生發(fā)展的需求，體現(xiàn)課程結(jié)構(gòu)的均衡性、綜合性和選擇性。 改變課程內(nèi)容“繁、難、偏、舊”和過于注重書本知識的現(xiàn)狀，加強課程內(nèi)容與學生生活以及現(xiàn)代社會和科技發(fā)展的聯(lián)系，關(guān)注學生的學習興趣和經(jīng)驗，精選終身學習必備的基礎(chǔ)知識和技能。改變課程實施過于強調(diào)接受學習、死記硬背、機械訓練的現(xiàn)狀，倡導學生主動參與、樂于探究、勤于動手，培養(yǎng)學生搜集和處理信息的能力、獲取新知識的能力、分析和解決問題的能力以及交流與合作的能力。改變課程評價過分強調(diào)甄別與選拔的功能，發(fā)揮評價促進學生發(fā)展、教師提高和改進教學實踐的功能。改變課程管理

6、過于集中的狀況，實行國家、地方、學校三級課程管理，增強課程對地方、學校及學生的適應(yīng)性。4試述高中數(shù)學新課程的框架和內(nèi)容結(jié)構(gòu)的特點。與以往的高中數(shù)學課程相比，新課標之下的數(shù)學課程突出課程內(nèi)容的基礎(chǔ)性與選擇性。高中數(shù)學課程標準要求，高中教育屬于基礎(chǔ)教育。高中數(shù)學課程應(yīng)具有基礎(chǔ)性，它包括兩個方面的含義：第一，在義務(wù)教育階段之后，為學生適應(yīng)現(xiàn)代生活和未來發(fā)展提供更高水平的數(shù)學基礎(chǔ)，使他們獲得更高的數(shù)學素養(yǎng)；第二，為學生進一步學習提供必要的數(shù)學準備。高中數(shù)學課程由必修系列課程和選修系列課程組成，必修系列課程是為了滿足所有學生的共同數(shù)學需求；選修系列課程是為了滿足學生的不同數(shù)學需求，它仍然是學生發(fā)展所需要

7、的基礎(chǔ)性數(shù)學課程。高中數(shù)學課程應(yīng)具有多樣性與選擇性，使不同的學生在數(shù)學上得到不同的發(fā)展。高中數(shù)學課程應(yīng)為學生提供選擇和發(fā)展的空間，為學生提供多層次、多種類的選擇，以促使學生的個性發(fā)展和對未來人生規(guī)劃的思考。學生可以在教師的指導下進行自主選擇，必要時還可以進行適當?shù)霓D(zhuǎn)換、調(diào)整。同時，高中數(shù)學課程也應(yīng)給學校和教師留有一定的選擇空間，他們可以根據(jù)學生的基本需求和自身條件，制訂課程發(fā)展計劃，不斷地豐富和完善供學生選擇的課程。高中數(shù)學課程分必修課與選修課。必修課程由5個模塊組成。選修課程分4個系列：系列1、2是必選課。其中系列1是為那些希望在人文、社會科學等方面發(fā)展的學生設(shè)立的；系列2是為那些希望在理工

8、、經(jīng)濟等方面發(fā)展的學生設(shè)立的。系列3、4是任選課，是為對于數(shù)學興趣高并希望進一步學習更多數(shù)學知識的學生而設(shè)立的，內(nèi)容反映的某一方面重要的數(shù)學思想，有助于學生進一步打好數(shù)學基礎(chǔ)、提高數(shù)學素養(yǎng)、提高應(yīng)用意識，有利于擴展數(shù)學視野，更多地了解數(shù)學的價值。設(shè)置了數(shù)學探究、數(shù)學建摸、數(shù)學文化的內(nèi)容。此類內(nèi)容不設(shè)專門章節(jié)，而是滲透到各章節(jié)、各模塊內(nèi)容中。但是建議在高中階段至少要安排學生進行一次比較完整的數(shù)學探究活動、一次數(shù)學建摸活動。“數(shù)學文化”是一個抽象的概念，它通過具體的數(shù)學內(nèi)容教學、通過解決數(shù)學問題的方法、途徑，使學生在更加深入地理解數(shù)學本質(zhì)的基礎(chǔ)上逐漸地產(chǎn)生某些普遍性的數(shù)學觀念、形成一種可以指導更廣

9、泛范圍內(nèi)的思想模式與行為規(guī)范。這部分內(nèi)容的教學，對于教師有更高的要求。5對下面兩個有關(guān)函數(shù)概念教學的案例進行對比分析，通過分析說明自己對于高中數(shù)學課程標準有關(guān)教學理念的理解。案例1 1.已知f(x)=(m-1)x2+1-lg(m)x+1是偶函數(shù)，求f(10)、f(-3.1)、f(2)的大小順序。2已知f(x)=ax2+bx+c(a0)對任意x都有f(2-x)= f(2+x),求解不等式flg (x2+x+1/2)bc，則（1）b+ca（三角形兩邊之和大于第三邊）；（2）存在實數(shù)s1使；（3）ABC是銳、直、鈍角三角形當且僅當s2、s=2、s2（分別）。證明 （2）因為b/a，c/a時1使。（3

10、）若s2，則=故，于是cosA0, A是銳角。但A是ABC的最大角，因此ABC是銳角三角形。同樣地若s1使使得ABC是銳、直、鈍角三角形當且僅當s2、s=2、s2（分別）。這個定理將“三角形兩邊之和大于第三邊”、“勾股定理”及“銳、直、鈍角判定定理”統(tǒng)一起來。由此可見表面上看起來難以聯(lián)系在一起的兩個數(shù)學問題之間居然存在如此密切的聯(lián)系，現(xiàn)代數(shù)學中還有更加豐富的結(jié)果說明不同數(shù)學問題之間令人難以置信的關(guān)聯(lián)，也是現(xiàn)代數(shù)學令人神往的地方。10從若干方面論述教師知識結(jié)構(gòu)對于高中數(shù)學課程標準的適應(yīng)性問題。新課標對教師的知識結(jié)構(gòu)提出了新的要求，系列3、4的選修課程涉及大量的以往高中數(shù)學課程中沒有的知識。對稱與

11、群，歐拉公式與必曲面分類，三等分角與數(shù)域擴充，初等數(shù)論與密碼，球面幾何，矩陣與變換，統(tǒng)籌法與圖論，等等。這些知識雖然都是大學數(shù)學專業(yè)能夠覆蓋的，但是如何在中學階段、在中學生的知識背景和理解能力的條件之下實施課程教學，這是非常值得研究和探討的問題。越是復雜高深的知識在知識背景比較淺近的人群之內(nèi)傳播，對于教師本人在知識理解和講授方法方面的要求越高。從這個意義上說，對中學生講授高等數(shù)學比在大學對數(shù)學專業(yè)的學生講授高等數(shù)學，教師所面臨的困難更大。 另外，新課程的教學法提倡啟發(fā)式、探究式教學，這樣的教學方式也對教師的知識和能力提出了更高的要求。我們認為教學中的探究與真正的數(shù)學研究沒有本質(zhì)的區(qū)別，我們難以

12、想象完全缺乏研究能力的教師能夠啟發(fā)學生進行探究性學習。11用教學實例說明直觀幾何在中學幾何課程中的地位和作用。幾何的直觀性是一個有目共睹的事實，由于幾何的直觀性，使得幾何在數(shù)學中（即使在數(shù)學家正在研究的高深的數(shù)學中）具有非常重要的地位。下面我們引用當代偉大的數(shù)學家Michael Atiyah（1929，英國皇家學會會員，法國科學院、美國科學院、瑞典科學院外籍院士，菲爾茲獎獲得者）的話：現(xiàn)代數(shù)學與傳統(tǒng)數(shù)學的差別更多地是在方式上而不是在實質(zhì)上。本世紀的數(shù)學在很大程度上是在與實質(zhì)上具有的幾何困難作斗爭，這些困難是由于研究高維問題而產(chǎn)生的。集合直觀仍然是領(lǐng)悟數(shù)學的最有效的渠道，應(yīng)當在各級學校盡可能廣泛

13、地利用幾何思想?，F(xiàn)在各國中學幾何課程中都加入了直觀幾何的內(nèi)容。學生能夠在直觀幾何課中遇到引人入勝的難題，例如，種種迷人的折紙與拼圖游戲，觀察和實驗是直觀幾何的主要內(nèi)容。學生能夠通過生動的、富有想象力的活動，發(fā)展自己的空間想象力；通過實實在在的動手操作，了解什么是幾何變換；通過折疊、拼合建立關(guān)于對稱的直觀概念。觀察、實驗、操作、想象等認知活動在直觀幾何中以形形色色、豐富多彩的方式表現(xiàn)出來。幾何圖形是幫助我們進行數(shù)學想象的最有效的工具。本來，數(shù)學中的概念都是非常抽象的概念，而真正抽象的對象是難以思考的，直觀的幾何圖形是我們最容易利用的數(shù)學形象。因此，直觀幾何不但能夠幫助初學者掌握基礎(chǔ)知識，也能夠幫

14、助人們進行真正的數(shù)學研究與數(shù)學創(chuàng)造。直觀幾何并不僅僅停留在直觀操作的層面，經(jīng)過教師的細心引導，直觀幾何中也可以包含豐富多彩的、嚴格的邏輯推理。12你能否理解代數(shù)中的模式直觀，以實例說明。模式直觀是一種比圖形直觀更為廣泛的直觀思維途徑。模式直觀并不是如許多人所想象的那樣，“直觀”離不開幾何圖形。模式直觀是一種在大多數(shù)場合不能利用幾何圖形并借助于視覺形象所產(chǎn)生的對于事物之間邏輯關(guān)系的一種直接的、形象的推斷和理解。有時模式直觀表現(xiàn)為人們對復雜過程所發(fā)生的程序或秩序的理所當然的了解和理解。在上面的證法2中我們把“從n個元素的集合中取m個元素的過程分解為兩種絕然不同的取法程序，其中一種在所取的m個元素中

15、不含固定元素a，另中一種在所取的m個元素中含固定元素a，這樣合在一起就是從n個元素的集合中取m個元素的所有可能的情形”。證法2 的合理性建立在這種“程序分劃”的模式直觀之上。一個非常典型的模式直觀的實例是關(guān)于組合公式（m，n 2）的證明。證法1：證法2：在n個元素中固定一個元a，那么從n個元中取m個元可分為兩種情形。一定不取a，共有種取法；一定取a，共有種取法，加起來共個取法。容易看出證法1依賴于組合符號的定義及煩瑣的數(shù)字計算，是一種對發(fā)現(xiàn)公式本身絲毫無助的純驗證法。而證法2直觀形象，通過這種途徑我們不但能夠證明公式，而且這是一種發(fā)現(xiàn)公式的真正途徑?？墒牵钊瞬豢伤甲h的是，傳統(tǒng)的教學觀點甚至認

16、為證法2不能算作邏輯證明，不少舊教材僅僅把證法1作為該公式的證明，而把證法2作為對公式的一種“直觀理解”?，F(xiàn)在我們暫時不對這些有分歧的觀點做出過多的判斷和評論，關(guān)于證法2是否是真正的數(shù)學證明這個問題，讀完下文之后讀者一定能夠自行判斷。13試述數(shù)學文化的含義。數(shù)學文化是指一個人通過某種特定的學習途徑獲得一定的數(shù)學知識之后，所表現(xiàn)出來的特有的行為準則、思想觀念及對待事物的態(tài)度.數(shù)學文化是由數(shù)學的思想、知識、方法、技術(shù)、理論等所輻射出來的能與相關(guān)文化領(lǐng)域結(jié)合為一體的一個具有強大精神與物質(zhì)功能的動態(tài)系統(tǒng).數(shù)學文化包括以下幾個方面.(1)知識成分:包括數(shù)學理論知識、數(shù)學問題、數(shù)學語言等.(2)能力因素:

17、包括數(shù)學應(yīng)用能力、將問題通過適當途徑而數(shù)學化的能力、邏輯論證能力、計算能力、問題解決能力、數(shù)學表達能力等.(3)數(shù)學觀念:包括數(shù)學思維方式、思想觀點、情感態(tài)度、價值觀念.雖然數(shù)學文化的內(nèi)容涵蓋了一個人數(shù)學修養(yǎng)的各個方面，但是它更強調(diào)當一個人的數(shù)學知識與其它各個領(lǐng)域的知識能力相融合之后所表現(xiàn)出來的綜合素質(zhì).14下面列舉5個長期困擾中小學學生和教師的數(shù)學問題，請選擇其中1-2個加以分析研究，討論如何在數(shù)學課程中更加恰當?shù)亟鉀Q此類問題，以教師教學中的探究引導學生進行數(shù)學問題的探究與思考。1）為什么1.2+1.3=2.5而?2）為什么“負負得正”？3）為什么0.9991）。我們現(xiàn)在所學習的數(shù)學中很多公

18、式、符號都是歐拉倡導和引入的。例如：，利用這個公式，我們能夠求出諸如，?，F(xiàn)在全世界通用的函數(shù)符號，自然對數(shù)的底e也正是歐拉的名字Euler第一個字母。現(xiàn)代數(shù)學教科書中幾乎處處都離不開歐拉的名字：歐拉定理、歐拉公式、歐拉函數(shù)、歐拉方程，等等。高斯所開創(chuàng)的許多數(shù)學分支已經(jīng)與我們今天所學習和研究的數(shù)學有直接的關(guān)系。無論是微分幾何還是代數(shù)數(shù)論，直到現(xiàn)在正在研究的許多數(shù)學問題都與高斯最初所研究的問題息息相關(guān)。高斯19歲所發(fā)現(xiàn)的“二次互反律”，現(xiàn)在的數(shù)論研究者還在進一步研究它多種形式的推廣，高斯24歲所出版的數(shù)論著作算術(shù)研究中所包含的問題至今還是數(shù)論研究者樂意解決的問題。高斯的素數(shù)分布猜想，直到1949年由兩位當代最杰出的數(shù)論家給出初等證明。甚至僅僅在高斯20歲前后幾年中，我們就能列出這位偉大的數(shù)學家一連串輝煌的成就和貢獻：發(fā)現(xiàn)“二次互反律”（1796，19歲）證明正17邊形不能夠尺規(guī)作圖（1796，19歲）最小二乘法原理（1795，19歲）發(fā)現(xiàn)非歐幾何，但沒有發(fā)表（1792，15歲）證明代數(shù)基本定理，這是第一個正確的證明（1798，21歲）出版算術(shù)研究（1