重慶大學(xué)(期末復(fù)習(xí))彈塑性力學(xué)精簡(jiǎn)版本

1、例題求在面上的法向正應(yīng)力和切向剪應(yīng)力 解PPt 精減版本 第二章 應(yīng)力 ppt習(xí)題例1如圖所示，試寫(xiě)出其邊界條件。xyahhq(1)(2)(3)(4)例2 如圖所示的楔形體受水壓力作用，水的容重為，試寫(xiě)出邊界條 件。 解：在x=0上，l= 1，m =0， (x )x=0 (1) +(yx)x=00 = y (xy)x=0 (1) +(y)x=00 = 0 (x)x=0= y (xy)x=0 在斜邊上 l= cos，m = sin x cos yx sin = 0 xycos y sin = 0第三章 應(yīng)變 ppt重要公式幾何方程張量表示 位移梯度 應(yīng)變張量是位移梯度的對(duì)稱化相對(duì)位移矢量對(duì)稱部分

2、應(yīng)變分量的坐標(biāo)變換1. 最大剪應(yīng)力條件Tresca 屈服條件 Tresca認(rèn)為當(dāng)最大剪應(yīng)力達(dá)到某個(gè)極限值時(shí)材料將進(jìn)入屈服 f (ij) =max- k1=（1）單軸拉伸：屈服時(shí)1 =s，2 =3 =0，代入屈服條件 k1= s/2（2）簡(jiǎn)單剪切：屈服時(shí) =s 1= s，2=0，3= s, 代入屈服條件 k1= sk1=s/2=s第四章 本構(gòu)關(guān)系 4.5 常用的屈服條件Mises屈服條件 Mises在1913年提出了屈服條件：當(dāng)偏應(yīng)力的第二不變量達(dá)到某個(gè)極限時(shí) f (ij) = r= k2 =const， Mises屈服條件在平面上是一個(gè)圓，在應(yīng)力空間是一圓柱體， Mises條件又稱為 最大八面

3、體剪應(yīng)力屈服條件其中 材料常數(shù)k2由簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)確定（1）單軸拉伸：屈服時(shí) 1 =s，2 =3 =0，代入屈服條件 （2）剪切：屈服時(shí) =s 1= s，2=0，3= s,，屈服條件J2= =k22 k2 = s因此，如果材料服從Mises屈服條件，則 s= s根據(jù)畸變能條件, 純剪切屈服應(yīng)力是簡(jiǎn)單拉伸屈服應(yīng)力的 倍.Taylor和Quinneyz實(shí)驗(yàn)于1931年在薄壁圓筒受拉力T和扭轉(zhuǎn)M聯(lián)合作用下進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)。在這種情況下，應(yīng)力狀態(tài)是 Tresca屈服條件為 Mises屈服條件為 例：有一圓形截面的均勻直桿,處于彎扭符合應(yīng)力狀態(tài),起簡(jiǎn)單拉伸時(shí)的屈服應(yīng)力為300MPa, 設(shè)彎矩為M=10KN.m, 扭

4、矩Mi=30KN.m, 要求安全系數(shù)為1.2, 則直徑d為多少才不屈服? (書(shū)66頁(yè))MMiMMi解: 處于彎扭作用下,桿內(nèi)主應(yīng)力為其中(1) 由最大剪應(yīng)力條件(特雷斯卡)給出(2) 由最大畸變能條件(米澤斯)給出并考慮安全系數(shù)例. 一薄壁圓管，平均半徑為R，壁厚為t，受內(nèi)壓p作用，討論下列三種情況： （1）管的兩端是自由的； （2） 管的兩端是封閉的； 分別使用Mises和Tresca屈服條件，討論p多大時(shí)管子開(kāi)始屈服（規(guī)定純剪時(shí)兩種屈服條件重合）解： 將Mises和Tresca中的材料常數(shù)k1和k2都使用純剪時(shí)的屈服極限表示， 并使得兩種屈服條件重合，則有 Mises屈服條件: J2 =

5、s2 Tresca屈服條件: 13=2s （1） 管的兩端是自由的； 應(yīng)力狀態(tài)為，z = 0， = pR/t，r=0，zr=r=z=0 J2 = (zr)2+(r)2+(z)2+6( ) = 2(pR/t)2= (pR/t)2 13 = = pR/t對(duì)于Mises屈服條件: 對(duì)于Tresca屈服條件: 13 =k1=2s p = 2st/R222= s2 =kJ （2）管段的兩端是封閉的； 應(yīng)力狀態(tài)為，z= pR/2t， = pR/t，r=0，zr=r=z=0 J2 = (zr)2+(r)2+(z)2+6( )= (pR/t)2 13 = = pR/t對(duì)于Mises屈服條件： p = 2st/

6、R對(duì)于Tresca屈服條件： p = 2st/R例. 一種材料在二維主應(yīng)力空間中進(jìn)行試驗(yàn)，所得屈服時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)為(1，2)=(3t，t)，假定此材料為各向同性，與靜水壓力無(wú)關(guān)且拉壓屈服應(yīng)力相等。 （1）由上述條件推斷在12空間中的各屈服點(diǎn)應(yīng)力。 （2）證明Mises屈服條件在12空間中的曲線通過(guò)（a）中所有點(diǎn)。解：由于靜水壓力無(wú)關(guān)的條件得出屈服在以下各點(diǎn)會(huì)發(fā)生：(1，2，3) = (3t，t，0)+ (3t，3t，3t)= (0，2t，3t)(1，2，3) = (3t，t，0)+ (t，t，t)= (2t，0，t)再由于各向同性的條件，很容易看出12空間中的以下五個(gè)應(yīng)力點(diǎn)也是屈服點(diǎn)A2： (1

7、，2，3) = (t，3t，0)B1： (1，2，3) = (3t，2t，0)B2： (1，2，3) = (2t，3t，0)C1： (1，2，3) = (2t，t，0)C2： (1，2，3) = (t，2t，0)還有，由于拉壓屈服應(yīng)力相等，因而可得到12空間中的另外六個(gè)應(yīng)力屈服點(diǎn)A3：(1，2，3) = (3t，t，0)A4：(1，2，3) = (t，3t，0)B3：(1，2，3) = (3t，2t，0)B4：(1，2，3) = (2t，3t，0)C3：(1，2，3) = (2t，t，0)C4：(1，2，3) = (t，2t，0)因此，根據(jù)這些點(diǎn)的數(shù)據(jù)，可以作出在12空間中的屈服面。容易證明M

8、ises屈服條件 通過(guò)以上所有屈服點(diǎn)。補(bǔ)充: 加載、卸載準(zhǔn)則Drucker穩(wěn)定性條件：由于 與外法線n同向，上式改寫(xiě)成：只有當(dāng)應(yīng)力增量指向加載面外部時(shí)，材料才能產(chǎn)生塑性變形。（4-12）（4-13）判斷能否產(chǎn)生新的塑性變形，需判斷：（1） 是否在 上。（2） 是否指向 的外部。加卸載準(zhǔn)則加載：指材料產(chǎn)生新的塑性變形的應(yīng)力改變。卸載：指材料產(chǎn)生從塑性狀態(tài)回到彈性狀態(tài)的應(yīng)力改變。、理想材料的加卸載準(zhǔn)則 理想材料的加載面與初始屈服面是一樣的。由于屈服面不能擴(kuò)大，所以當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)達(dá)到屈服面上，應(yīng)力增量 不能指向屈服面外，而只能沿屈服面切線。n加載卸載nlnm加載加載卸載對(duì)于Tresca屈服面：加載卸載二、

9、強(qiáng)化材料的加載、卸載準(zhǔn)則強(qiáng)化材料的加載面在應(yīng)力空間不斷擴(kuò)張或移動(dòng)。n中性變載卸載加載這里，中性變載相當(dāng)于應(yīng)力點(diǎn)沿加載面切向變化，應(yīng)力維持在塑性狀態(tài)但加載面并不擴(kuò)張的情況。進(jìn)入塑性階段后，應(yīng)變?cè)隽靠梢苑纸鉃閺椥圆糠趾退苄圆糠?。由Hooke定律，由Drucker公設(shè)，（4.6.1）（4.6.2）給出了塑性應(yīng)變?cè)隽?與加載函數(shù) 之間的關(guān)系。流動(dòng)法則（4.6.3）將（4.6.2）、（4.6.3）代入（4.6.1）得：增量形式的塑性本構(gòu)關(guān)系：（4.6.4）三、理想塑性材料與Tresca條件相關(guān)連的流動(dòng)法則與Mises條件相關(guān)連的流動(dòng)法則相比，與Tresca條件相關(guān)連的流動(dòng)法則有兩個(gè)顯著的特點(diǎn)：2、在Tr

10、esca六角柱的棱線上（在平面內(nèi)，就是在正六邊形的角點(diǎn)上），不存在唯一的外法線。ABC1、在Tresca六角柱的屈服平面上（在平面內(nèi)，就是在正六邊形的直邊上），給出沿外法向的 并不能就此確定S，因?yàn)橥粋€(gè)屈服平面上的任一點(diǎn)都具有相同的外法向。實(shí)際上，角點(diǎn)可以看成是一段光滑曲線無(wú)限縮小的極端情況，因此角點(diǎn)的法線不唯一，而可為上述夾角范圍內(nèi)的任一方向?？疾靾D5-11中的角點(diǎn)B。它的兩側(cè)面，AB面和BC面的方程分別為：對(duì)AB面同理，對(duì)BC面有角點(diǎn)B處的塑性應(yīng)變?cè)隽靠梢訟B面和BC面上的塑性應(yīng)變?cè)隽康木€性組合得到。 ABC其中 123討論:平衡方程為:幾何關(guān)系為:本構(gòu)方程為:彈性解: 當(dāng)P足夠小時(shí),三

11、桿均處于彈性狀態(tài),應(yīng)力與應(yīng)變成比例.由于故因?yàn)樗詶U1最先到達(dá)塑性狀態(tài),當(dāng)于是桁架開(kāi)始出現(xiàn)塑性變形的載荷為P1稱為彈性極限載荷彈塑性解:由基本方程可得當(dāng)桁架全部進(jìn)入塑性狀態(tài)，對(duì)應(yīng)的載荷為塑性解:由基本方程可得在P由零逐漸增加（單調(diào)加載）的過(guò)程中，桁架變形可以分為三個(gè)不同的階段在彈塑性階段，桿雖然進(jìn)入塑性狀態(tài)，但由于其余兩桿仍處于彈性階段，桿的塑性變形受到限制，整個(gè)桁架的變形仍限制在彈性變形的量級(jí)，這個(gè)階段可稱為約束的塑性變形階段在塑性階段，三桿都進(jìn)入塑性狀態(tài)，桁架的變形大于彈性變形量級(jí)一般說(shuō)來(lái)，所有的彈塑性結(jié)構(gòu)在外力的作用下，都會(huì)有這樣三個(gè)變形的階段例一薄壁圓管同時(shí)受拉,扭和內(nèi)壓作用，有應(yīng)力分

12、量泊松比求：（）當(dāng)應(yīng)力分量之間保持比例從零開(kāi)始加載，問(wèn)多大時(shí)開(kāi)始進(jìn)入屈服？（）開(kāi)始屈服后，繼續(xù)給以應(yīng)力增量，滿足及求對(duì)應(yīng)的及值分別對(duì)Mises和Tresca兩種屈服條件進(jìn)行分析Mises：屈服準(zhǔn)則為代入上式得到屈服后，增量本構(gòu)關(guān)系為：Tresca：因?yàn)樗裕?zhǔn)則為：將其展開(kāi)后得將該式微分，得時(shí)達(dá)到屈服求解彈性力學(xué)問(wèn)題的目的是確定物體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)，因此彈性力學(xué)問(wèn)題的提法必須是使定解問(wèn)題是適定的，即問(wèn)題有解、解是唯一的和解是穩(wěn)定的。 1. 問(wèn)題的提法應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是，邊界條件的個(gè)數(shù)應(yīng)給得不多也不少時(shí)，才能得出正確解。如空間問(wèn)題的應(yīng)力邊界條件，必須在邊界上的每一點(diǎn)給出三個(gè)應(yīng)力邊界條件，一旦多

13、給了，則會(huì)找不到滿足全部邊界條件的解，如果少給了，就會(huì)有多個(gè)解滿足所給的邊界條件，因此不能判斷那一個(gè)解是正確的。 彈性力學(xué)問(wèn)題的基本方程雖然構(gòu)成一個(gè)封閉方程組，但該方程組只有在與定解條件，即邊界條件相符的解才是所需的正確解。因此，邊界條件的重要性不容忽視。PPt 精減版本 第五章 彈塑性力學(xué)問(wèn)題的提法 由此可見(jiàn)，彈性力學(xué)的基本方程組一般地反映物體內(nèi)部的應(yīng)力、應(yīng)變和位移之間相互關(guān)系的普遍規(guī)律，而定解條件具體給定了每一個(gè)邊值問(wèn)題的特定規(guī)律。因此，每一個(gè)具體問(wèn)題反映在各自的邊界條件上。所以，彈性力學(xué)問(wèn)題的基本方程組和邊界條件共同構(gòu)成彈力學(xué)問(wèn)題嚴(yán)格而完整的提法。 根據(jù)具體問(wèn)題邊界條件類(lèi)型的不同，通常將

14、其分為以下三類(lèi)問(wèn)題.第一類(lèi)邊值問(wèn)題 在全部邊界上給定體力和面力，求在平衡狀態(tài)下的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)，稱這類(lèi)問(wèn)題為應(yīng)力邊值問(wèn)題。邊界稱為自由邊界，屬應(yīng)力邊界的特殊情況。如果邊界上有集中力，應(yīng)轉(zhuǎn)換為作用在微小面積上的均布面力；集中力偶則應(yīng)轉(zhuǎn)換為作用在微小面積上的非均布面力。第二類(lèi)邊值問(wèn)題 給定物體力和在物體表面各點(diǎn)的位移，求在平衡狀態(tài)下的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)，稱這類(lèi)問(wèn)題為位移邊值問(wèn)題。 有時(shí)也可能給定的是邊界上位移的導(dǎo)數(shù)(如轉(zhuǎn)角)或應(yīng)變。在靜力問(wèn)題中，給定的位移約束應(yīng)能完全阻止物體的總體剛體運(yùn)動(dòng)。 第三類(lèi)邊值問(wèn)題 在物體表面的一部分給定面力，其余部分給定位移，或在部分表面上給定外力和位移之間的關(guān)系，這如彈性

15、支撐或彈性固定，求在這些條件下的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)，稱這類(lèi)問(wèn)題為混合邊值問(wèn)題。3.3逆解法和半逆解法逆解法就是選取一組位移或應(yīng)力的函數(shù)，由此求出應(yīng)變與應(yīng)力，然后驗(yàn)證是否滿足基本方程。不滿足，則求出與之對(duì)應(yīng)的邊界上的位移或面力，再與實(shí)際邊界條件比較。如果相同或可認(rèn)為相近，就可把所選取的解作為所要求的解。半逆解法又叫湊合解法，就是在未知量中，先根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)假設(shè)一部分為已知，然后在基本方程和邊界條件中，求另一部分。這樣便得到了全部未知量。此外，尚有近似解法、數(shù)值解法等。簡(jiǎn)例1: lyzPPyxF設(shè)有如圖所示的柱體,兩端受集中力P作用,柱體表面為自由面. 求其應(yīng)力場(chǎng)與位移場(chǎng). (Page 93) lyz

16、PP解:1. 確定體力和面力在兩端 z=0, z=l 處, 有外力作用, 其合力為P, 假定體力忽略不計(jì), 柱體側(cè)面的面力等于零.柱體側(cè)面，有 l3=0,柱體側(cè)面的邊界條件為:yxF2. 寫(xiě)出邊界條件在兩端,有l(wèi)1=l2=0, l3=1,假設(shè)正應(yīng)力在端部均勻分布,則邊界條件為: lyzPP3. 選擇解題方法選用應(yīng)力法, 則未知 應(yīng)力函數(shù) 應(yīng)滿足 平衡方程 和 變形協(xié)調(diào)方程, 即選用 逆解法求解. 根據(jù)解的唯一性, 如果能給出一個(gè)既滿足全部方程,又滿足邊界條件的解,則這個(gè)解就是本問(wèn)題的唯一解.yxF lyzPP4. 解邊值問(wèn)題取其中 A 為常數(shù), 代入yxF恒滿足.由邊界條件得出故有根據(jù)廣義胡克

17、定律又同理可得如包含剛體位移, 給定5. 校核將所得到結(jié)果代入 平衡方程, 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程, 邊界條件等公式.1. 確定體力和面力2. 寫(xiě)出邊界條件3. 選擇解題方法4. 解邊值問(wèn)題5. 校核解題步驟:圣維南原理:認(rèn)為分布于物體很小部分(表面或體積)上的載荷所引起的物體內(nèi)的應(yīng)力分布，在離載荷作用區(qū)域稍遠(yuǎn)的地方，基本上與該載荷的合力和合力矩(或靜力等效載荷)所引起的應(yīng)力相同，載荷的具體分布情況只影響載荷作用區(qū)域附近的應(yīng)力分布。簡(jiǎn)例3: 討論矩形截面梁的彈塑性純彎曲問(wèn)題設(shè)截面高為h ,寬為 b ， 材料是理想彈塑性的梁，兩端受到彎矩 M 作用。設(shè)梁無(wú)論是處于彈性狀態(tài)還是塑性狀態(tài)，材料力學(xué)中的平面假設(shè)

18、仍成立，且截面上只有正應(yīng)力作用，其它應(yīng)力分量都為零。對(duì)于純彎曲情形，可以證明這兩個(gè)假定在圣維南意義下是精確成立的。即滿足平衡方程、應(yīng)變協(xié)調(diào)方程、應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系和圣難南邊界條件。取軸為中性軸，則由力的平衡關(guān)系可知，梁中正應(yīng)力滿足如下關(guān)系(5.4-1) 式(5.4-1)中的第二式表示軸向力等于零，正應(yīng)力應(yīng)為對(duì)稱分布，因此表示彎矩的第一式方可寫(xiě)成后一形式。1)彈性階段由平面假設(shè) (5.4-2)式中分別為曲率和曲率半徑。若規(guī)定撓度向下為正，則在小變形條件下曲率與撓度的關(guān)系為當(dāng)彎矩M從零開(kāi)始增加，梁的截面先處于彈性階段，則其應(yīng)力為(5.4-3) 將式(5.4-3)代入式(5.4-1)中的第一式，得其中(5

19、.4-4)從(5.4-4)式可知，彎矩 M 與曲率 k 呈線形關(guān)系，且將它代入式 (5.4-5)式(5.4-5)與材料力學(xué)的結(jié)果完全一樣，表明應(yīng)力在梁的橫截面呈線性分布，即與成比例，且隨著彎矩的增加，梁的上下最外層最先達(dá)到屈服應(yīng)力，對(duì)應(yīng)的彎矩稱為彈性極限彎矩，記為。由(5.4-5)式可得彈性極限彎矩為(5.4-6)記梁處于彈性極限彎矩狀態(tài)下的曲率為，則由(5.4-4)式得 (5.4-7)2）彈塑性階段當(dāng)，梁截面中外層纖維的應(yīng)變繼續(xù)增大，而應(yīng)力值仍你持為塑性區(qū)逐漸向中性軸方向擴(kuò)展，但整個(gè)截面尚未完全進(jìn)入塑性，其應(yīng)力分布如圖(5.4c)所示， (a) (b) (c) (d) 圖5.4 梁橫截面隨彎

20、矩增大的應(yīng)力分布示意圖設(shè)彈塑性交界面為，則各部分應(yīng)力為： (5.4-8) 由于交界面處的應(yīng)力為，即由上式可得相應(yīng)的曲率與為(5.4-9)顯然，是的函數(shù)，其符號(hào)與相同。此時(shí)，截面上的彎矩為(5.4-10)得 (5.4-11) 由式(5.4-10)可見(jiàn)，隨著的增加，將逐漸減小，最后 這時(shí)梁的整個(gè)截面的應(yīng)力達(dá)到，如圖所示，記此時(shí)的彎矩為并稱為塑性極限彎矩。 由式(5.4-10)得塑性極限彎矩為 為截面形狀系數(shù)。對(duì)于矩形截面采用類(lèi)似的分析方法可求出其它對(duì)稱截面梁的值。如工字梁截面，圓截面，薄壁圓管為(.-11) 由(5.4-11)的第一式可得彈塑性階段的曲率為 屈服階段，但中間部分尚處在彈性階段，根據(jù)

21、平面假設(shè)的變形特性使塑性變形的大小受到了限制，即處于約束塑性變形階段，且將隨著梁的曲率而增大，這時(shí)梁的曲率完全由中間的彈性部分所控制。最后,梁的彎矩達(dá)到塑性極限彎矩,即整個(gè)截面都處于塑性狀態(tài).需注意的是，當(dāng)后，上下邊的部分區(qū)域己進(jìn)入塑性習(xí)題5-1 用逆解法求解圓柱體的扭轉(zhuǎn)問(wèn)題根據(jù)材料力學(xué)的方法,在圓拄體扭轉(zhuǎn)時(shí),截面上發(fā)生與半徑垂直且與點(diǎn)到圓心的距離成正比例的剪應(yīng)力這里 表示單位長(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角.將 向 Ox 和 Oy 軸方向分解,其中假設(shè)其余的應(yīng)力分量全為零,則上面的解在體力為零時(shí),是滿足平衡微分方程的.現(xiàn)在校核是否滿足邊界條件.邊界條件(側(cè)面).在圓柱側(cè)面上,有將應(yīng)力代入上面,應(yīng)力滿足圓柱側(cè)面上

22、的邊界條件.考察圓柱的兩端, 在 z=l 處,邊界條件變?yōu)?即: 如果他們也靜力等效于扭矩M ,則應(yīng)力分量靜力上等效于扭矩 M , 而其具體分布情況是不清楚的,因此,對(duì)應(yīng)力分量,也只能從放松的意義上要求它們滿足z=L 這一端的邊界條件, 根據(jù)題設(shè)條件,作用于z=L端面上的外力就是圓柱體扭裝時(shí)的解事實(shí)上端面上的主矢投影為:端面上的主矩為:(1) 取一次多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量為這對(duì)應(yīng)于無(wú)應(yīng)力狀態(tài), 因此,在任何應(yīng)力函數(shù)中增減一個(gè) x, y 的一次函數(shù),并不會(huì)影響應(yīng)力分量的值.PPt 精減版 第六章 彈塑性平面問(wèn)題 ppt習(xí)題(2) 取二次多項(xiàng)式不論系數(shù)取何值,都滿足雙調(diào)和方程, 對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量為代表

23、均勻應(yīng)力狀態(tài). 且如果 ,則代表雙向均勻拉伸; 如 則代表純剪.(3) 取三次多項(xiàng)式不論系數(shù)取何值,都滿足雙調(diào)和方程, 這里只考慮 的情況作為示例, 對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量為:這是矩形截面梁純彎曲的情況. 如果已知作用的矩形窄梁兩端的彎矩M, 則由(4) 取四次多項(xiàng)式要使它滿足雙調(diào)和方程, 各系數(shù)必須要滿足一定的關(guān)系,代入雙調(diào)和方程,得于是上述應(yīng)力函數(shù)寫(xiě)成:這時(shí)候,式中的四個(gè)系數(shù)不論取何值, 都滿足雙調(diào)和方程. 特別的, 取則:對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量為這個(gè)應(yīng)力狀態(tài)由作用于矩形板邊界上的以下三部分外力產(chǎn)生:(1) 在 邊界上,受有均勻分布的剪應(yīng)力 ;(2) 在 邊界上,受有按拋物線分布的剪應(yīng)力 ;(3) 在 邊

24、界上,受有按拋物線分布的剪應(yīng)力 和靜力上等效于彎矩的正應(yīng)力 .幻燈片 46(5) 取五次多項(xiàng)式要使它滿足雙調(diào)和方程, 各系數(shù)必須要滿足一定的關(guān)系,代入雙調(diào)和方程,得因?yàn)樵摲匠虒?duì)所有的x, y均成立,故必有于是上述多項(xiàng)式變?yōu)?將 和 用其他的系數(shù)表示:此時(shí), 式中的四個(gè)系數(shù)不論取何值,均滿足雙調(diào)和方程. 特別的,如果則對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量為:在矩形板的邊界上,應(yīng)力分布如圖幻燈片 61q 圖6.4 受均布荷重簡(jiǎn)支梁考慮用另外一種方法得到應(yīng)力函數(shù).材料力學(xué)中認(rèn)為 為零. 這個(gè)不會(huì)滿足彈性力學(xué)的全部方程,在梁的上表面， 有按照材料力學(xué)方法求解,得到如下應(yīng)力(a)例:因此,要求應(yīng)力滿足彈性力學(xué)方程,將應(yīng)力表達(dá)

25、式(a)寫(xiě)成更普遍的形式:于是有(b)由(b)的第一式積分,得這里的 和 均為 x 的任意函數(shù). 將(c)代入式(b)的第二式,則有(c)這里的E為積分常數(shù).代入式(c)后,得到(d)將這個(gè)應(yīng)力函數(shù)代入雙調(diào)和方程,發(fā)現(xiàn)不滿足,這說(shuō)明它不能取做應(yīng)力函數(shù). (d)現(xiàn)在在這個(gè)函數(shù)的基礎(chǔ)上添加一個(gè)任意函數(shù) ,并略去不影響應(yīng)力的一次項(xiàng) Ey , 于是有(e)以滿足雙調(diào)和方程為目標(biāo)來(lái)選擇函數(shù) .將式(e)代入雙調(diào)和方程,得到 所必須滿足的方程. (這里假設(shè) 最多是x的三次函數(shù).)(f)這個(gè)方程最簡(jiǎn)單的解為(g)將(g)代入(f)得到:(h)可以取掉式(h)變成:最后得到應(yīng)力函數(shù)為:應(yīng)力分量為:(i)考慮邊

26、界條件:(1) 上下兩面:將邊界條件應(yīng)用到式(i)上,有:(j)(k)由(k)式可以看出,要使它們恒成立,只有(2) 端面容易驗(yàn)證第二個(gè)條件已經(jīng)滿足. 但第一個(gè)條件無(wú)法滿足,因此,利用局部性原理,將邊界條件放松,即已經(jīng)滿足得:應(yīng)力分量為:比較第一種方法的結(jié)果3.3 懸臂梁受均勻分布載荷作用不計(jì)自重的懸臂梁受到均勻分布的載荷作用,也可以采用多項(xiàng)式的疊加求解, 現(xiàn)考慮另外一種方法.qOLyxyh/21h/2zO幻燈片 79彎曲應(yīng)力 主要由彎矩產(chǎn)生的,剪應(yīng)力 主要是由剪力Q產(chǎn)生的,而擠壓應(yīng)力 主要由載荷 q 產(chǎn)生的, 現(xiàn)因 q 為常數(shù), 所以,可以假定,對(duì)于不同的 的分布相同,也就是說(shuō), 僅僅是 y

27、 的函數(shù),即于是有:而這里的 和 是y的任意函數(shù).這個(gè)應(yīng)力函數(shù)必須滿足雙調(diào)和方程, 所以,代入雙調(diào)和方程后,得(a)函數(shù) , 和 必須滿足這是 x 的二次方程,但是它有無(wú)窮個(gè)根(梁內(nèi)所有的 x 都滿足它), 因此, 方程的系數(shù)和自由項(xiàng)應(yīng)該等于零,即根據(jù)前面兩個(gè)方程,有根據(jù)第三個(gè)方程,有積分該式(b)(c)將式 (b), (c) 代入應(yīng)力函數(shù) (a),得因此得到應(yīng)力分量為這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和協(xié)調(diào)方程.(d)邊界條件為:(f)(e)(g)根據(jù)邊界條件(g)的第三式可得根據(jù)邊界條件(e)和(f)可得將系數(shù)代入應(yīng)力分量得幻燈片 75再由邊界條件(g)的前面兩式可得代入應(yīng)力分量,且有 可得這

28、個(gè)應(yīng)力表達(dá)式和材料力學(xué)結(jié)果比較, 可以發(fā)現(xiàn)剪應(yīng)力與材料力學(xué)一樣, 正應(yīng)力 增加了一個(gè)修正項(xiàng):類(lèi)似的還可寫(xiě)出柱坐標(biāo)系()下和球坐標(biāo)系()下的平衡方程。 (1)柱坐標(biāo)系下的平衡微分方方程(6.5-3) (2) 球坐標(biāo)系下的平衡微分方方程 (6.5-4) 6.5 用極坐標(biāo)表示的基本方程5.4 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程采用類(lèi)似推導(dǎo)直角坐標(biāo)系應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的方法，不難從式(6.5-5)消除位移分量， 得出以應(yīng)變分量表示的極坐標(biāo)中的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，即在直角坐標(biāo)系中，當(dāng)體力為常量或不計(jì)體力時(shí)，平面問(wèn)題的協(xié)調(diào)方程式為注意到 (為不變量)，這樣在極坐標(biāo)系中，平面問(wèn)題應(yīng)力形式的協(xié)調(diào)方程式為(6.5-9) 式中為極坐標(biāo)下的拉普拉斯

29、算子，即(6.5-10) 為了得到在極坐標(biāo)系中，用應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，可直接由直角坐標(biāo)系應(yīng)變協(xié)調(diào)方程經(jīng)坐標(biāo)變換得到。因?yàn)?注意，此處的應(yīng)力函數(shù)既是和的函數(shù)，通過(guò)坐標(biāo)變換，也是和的函數(shù)，它對(duì)和的一階及二階導(dǎo)數(shù)分別為(a)將式(a)相加后得幻燈片 120于是得極坐標(biāo)系下的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程為(6.5-11) 幻燈片 1225.6 軸對(duì)稱問(wèn)題 如果所研究的問(wèn)題的物體和外載荷均對(duì)稱于經(jīng)過(guò)物體中心，且垂直于平面的軸線，此時(shí)，應(yīng)力和位移均與無(wú)關(guān)，僅與有關(guān)，這類(lèi)問(wèn)題稱為軸對(duì)稱問(wèn)題。因此，軸對(duì)稱問(wèn)題只有正應(yīng)力和，而剪應(yīng)力因?qū)ΨQ性均為零。 (1) 應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量; (2)軸對(duì)稱問(wèn)題的位移. (1) 應(yīng)力函

30、數(shù)與應(yīng)力分量將上式展開(kāi)，并注意到僅是的函數(shù)，因此偏導(dǎo)數(shù)可用常導(dǎo)數(shù)代替，得(b) 應(yīng)力表達(dá)式(6.5-12)成為(6.5-13) 根據(jù)軸對(duì)稱問(wèn)題的情況，應(yīng)力函數(shù)與元關(guān)，所以式(6.5-11)可簡(jiǎn)化為 q幻燈片 118幻燈片 124方程式(a)是變系數(shù)常微分方程，如令，則，根據(jù)復(fù)合求導(dǎo)法則，則這方程可簡(jiǎn)化為常系數(shù)常微分方程，即上述方程的解為將代入上式可得(6.5-14) 由 式，得應(yīng)力分量的表達(dá)式對(duì)于平面物體，則在平面內(nèi)必為各方向均勻受拉或均勻受壓狀態(tài)。如果原點(diǎn)處有孔，則問(wèn)題有各種解答，這將在以后討論。由上式可知，如在坐標(biāo)原點(diǎn)沒(méi)有孔，常數(shù)和必須等于零，否則當(dāng)時(shí)應(yīng)力將變?yōu)闊o(wú)限大。因此，如在坐標(biāo)原點(diǎn)沒(méi)

31、有孔，而且沒(méi)有體積和力，唯一可能的應(yīng)力對(duì)稱分布是均為常數(shù)。(6.5-13)幻燈片 132幻燈片 134 (2) 軸對(duì)稱問(wèn)題的位移 當(dāng)沿 方向沒(méi)有約束時(shí)，則屬平面應(yīng)力問(wèn)題。此時(shí)，將應(yīng)力分量式(6.5-14)代入式(6.5-6)，并利用式 ，得(6.5-5)(c) 對(duì)上式中的第一式直接積分可得(d)再由式(c)的第二式解出，并將(d)式代入后，有積分左式，得(e)將式(d)和式(e)代入式(c)中的第三式，并分離變量，則可得此方程左邊為的函數(shù)，而右邊為的函數(shù)，因此兩邊必為同一常數(shù)，于有是(f) 式(f)中的第一式經(jīng)簡(jiǎn)單分析可得其通解為(g) 將式(f)中的第二式先對(duì)求導(dǎo)一次，然后再積分求得(h)于

32、是由式(f)的第二式和式(h)，可得(i) 將式(g)、(h)、(i)均代入和的表達(dá)式(e)和(d)中，則得(6.5-15) 式中 可由應(yīng)力邊界條件和位移邊界條件確定。在應(yīng)力軸對(duì)稱時(shí)，如果約束條件也是軸對(duì)稱的，則位移也應(yīng)該是軸對(duì)稱的。即各點(diǎn)無(wú)環(huán)向位移()，即，僅有徑向位移(6.5-16) 對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，以上公式(6.5-15)和(6.5-16)也適用，僅需將式中的和分別用和即可。幻燈片 132極坐標(biāo)系下的雙調(diào)和方程為有了基本方程,可以按下列步驟求解邊值問(wèn)題:(1) 確定體力和面力;(2) 確定邊界條件:(3) 選擇解題方法;(4) 解方程;(5) 校核(代回基本方程和邊界條件).工程上一般

33、把圓筒分為厚壁筒和薄壁筒。當(dāng)外徑與內(nèi)徑之比小于時(shí)可按薄壁圓筒進(jìn)行分析，當(dāng)大于1.2時(shí)則按厚壁圓筒進(jìn)行分析。厚壁圓筒是彈塑性力學(xué)問(wèn)題中最簡(jiǎn)單的問(wèn)題之一，即應(yīng)力和應(yīng)變只與一個(gè)坐標(biāo)有關(guān)，而且在塑性階段考慮材料的不可壓縮性后，可以得到封閉形式的解答，本節(jié)討論的受內(nèi)外壓力作用的厚壁圓筒，屬于這類(lèi)問(wèn)題。此外還有整球形容器等。6.6 厚壁筒的彈塑性解6.1 彈性解設(shè)圖6.11所示厚壁圓筒為理想彈塑性材料，外徑為2b，內(nèi)徑為2a，受到內(nèi)壓為，外壓為作用。并設(shè)圓筒的長(zhǎng)度比圓筒的直徑來(lái)說(shuō)足夠大，以致可以認(rèn)為離兩端足夠遠(yuǎn)處的應(yīng)力和應(yīng)變分布沿筒長(zhǎng)方向沒(méi)有差異。 應(yīng)力和應(yīng)變的分布對(duì)稱于圓筒的中心軸線. 則每一點(diǎn)的位移將

34、只有 r 方向的分量 u 和 z 方向的分量 w ,即 u, w 均與 無(wú)關(guān).(a)將式(a)代入(6.5-14)式，顯然后兩個(gè)條件自然滿足，而由前兩式可得(b) (c) 任一橫截面變形后仍保持平曲(如圖)。因而，應(yīng)力與應(yīng)變的分布對(duì)稱于圓筒的中心軸線。顯然這是一軸對(duì)稱問(wèn)題，則應(yīng)力即為式 。式中的三個(gè)常數(shù)由邊界條件確定，即(6.5-14)式(b)兩個(gè)方程不能決定三個(gè)常數(shù) ，補(bǔ)充的條件應(yīng)從位移方面去找，現(xiàn)從環(huán)向位移的表達(dá)式 中的第二式(6.5-15)(c) 其中一項(xiàng)是多值的，但環(huán)向位移應(yīng)是單值的，即要求。于是可知，必有，從而由(b)式可得(d) (6.6-1)幻燈片 135將(d)式代入 式和 式

35、第一式，則得正應(yīng)力分量和位移為(6.5-14)(6.5-15)如果厚壁圓筒兩端自由，則，而任何橫截面變形時(shí)保持為平面，因此這個(gè)問(wèn)題屬平面應(yīng)力問(wèn)題， 由上式可見(jiàn)，厚壁圓筒內(nèi)任何一點(diǎn)的應(yīng)力和之和為常值。常數(shù)，其位移由(6.5-16)式確定。 當(dāng)，即在筒內(nèi)邊緣，由(6.6-1)式，有(6.6-2)(6.6-3) 當(dāng)，即在筒外邊緣，由 式，有(6.6-1)(6.6-4)由式(6.6-4)可見(jiàn)，因 ，所以周向受拉，徑向受壓，應(yīng)力分布如圖6.12所示。當(dāng)厚壁圓筒僅受內(nèi)壓，此時(shí)因，所以 式簡(jiǎn)化為(6.6-1)根據(jù)特雷斯卡屈服條件，由(6.6-4)式可得內(nèi)壁()處， 為，可求得彈性極限內(nèi)壓力 )達(dá)到最大值時(shí)，

36、即 (6.6-5) 顯然，當(dāng)時(shí)，由此可知，在無(wú)限空間物體內(nèi)圓柱形孔洞受內(nèi)壓時(shí)(如壓力隧道)，其壁表面開(kāi)始屈服時(shí)的壓力值與孔徑無(wú)關(guān)。如果采用米澤斯屈服條件式，注意到當(dāng)兩端全自由時(shí)，因 ,和由廣義虎克定律有，則可得筒內(nèi)邊緣()開(kāi)始屈服時(shí)，有6.2 彈塑性解(6.6-6a)如取，則上式成為(6.6-6b) 即按米澤斯屈服條件，彈性極限載荷為(6.6-7) 按照特雷斯卡屈服條件6.2 彈塑性解由上面的分析可知，在厚壁圓筒無(wú)外側(cè)壓力()的情況下，當(dāng)，處于彈性狀態(tài)，而當(dāng)且隨著壓力的的增加，塑性區(qū)逐漸向外擴(kuò)展，而外壁附近仍為彈性區(qū)。由于應(yīng)力組合()的軸對(duì)性，塑性區(qū)與彈性區(qū)的分界面應(yīng)為圓柱面。 時(shí)，在內(nèi)壁出現(xiàn)

37、塑性區(qū)，筒體處于彈塑性狀態(tài)時(shí)，設(shè)筒體中彈塑性分界面半徑為。為塑性區(qū)，如圖6.13所示，即當(dāng)圖6.13 彈性與塑性區(qū)域分界為彈性區(qū)。而當(dāng)由于在塑性區(qū)內(nèi)平衡方程仍然成立，當(dāng)不計(jì)體力時(shí)，且因?qū)ΨQ性，平衡方程式簡(jiǎn)化為采用特雷斯卡屈服條件，并代入上式可得(e) 積分其中C為待定常數(shù)，由筒壁內(nèi)邊緣處的邊界條件， 可得 ,代入(e)式后，得(f) 當(dāng)時(shí)，并記此處的徑向應(yīng)力為，則由上式可得 (g)這樣問(wèn)題可化為內(nèi)半徑為()的圓筒受壓力作用的彈性問(wèn)題。 對(duì)于外層彈性區(qū)域來(lái)說(shuō)，就是作用在該區(qū)域內(nèi)側(cè)的徑向壓力，因在處必須連續(xù)，故可由上式及(g)式消除，可得 (6.6-8) 于是，由式(6.6-5) 有上式即為彈塑性

38、交界面處應(yīng)滿足的方程，該式為超越方程，當(dāng)給定時(shí)，可用數(shù)值方法求得值。 綜上所述，塑性區(qū)()的應(yīng)力分量為 (6.6-9) 由式(6.6-9)的導(dǎo)出可知，塑性區(qū)的應(yīng)力分量是靜定的，它僅與內(nèi)壓有關(guān)，與彈性區(qū)的應(yīng)力無(wú)關(guān)。而且在塑性區(qū)內(nèi)，。以上結(jié)果說(shuō)明，塑性區(qū)的應(yīng)力分量和 的確定沒(méi)有使用變形條件和本構(gòu)關(guān)系，而直接由平衡方程和屈服條件獲得。這種問(wèn)題在塑性力學(xué)中稱為靜定問(wèn)題。靜定問(wèn)題的特點(diǎn)是平衡方程和屈服條件的數(shù)目與所求未知量的數(shù)目相等，因而不使用塑性力學(xué)中的非線性本構(gòu)方程便能求出所求的未知量。在求解這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，一般都采用理想彈塑性力學(xué)模型進(jìn)行計(jì)算。這類(lèi)問(wèn)題不但求解簡(jiǎn)便，而且在工程實(shí)際中也經(jīng)常遇到，因此很有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。 當(dāng)塑性區(qū)的前沿一直擴(kuò)展到圓筒的最外邊緣時(shí)，整個(gè)厚壁圓筒將全部處于塑性狀態(tài)，稱這種狀態(tài)為全塑性狀態(tài)，或極限狀態(tài)。在極限狀態(tài)前，因外側(cè)彈性