資本預(yù)算中的確定當(dāng)量法之澄清

1、PAGE PAGE 7資本預(yù)算中的確定當(dāng)量法之澄清許勤收稿日期：2008-07-03作者簡(jiǎn)介：許勤（1974），男，管理學(xué)博士，講師，主要研究方向?yàn)楣矩?cái)務(wù)和風(fēng)險(xiǎn)管理。Email： HYPERLINK mailto:X X.,2，魏嶷1,2，陳筱彥2，鄭彩祥1（1. 同濟(jì)大學(xué) 中德學(xué)院，上海 200092；2. 同濟(jì)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，上海 200092）摘要：與風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整折現(xiàn)率法不同，主觀確定當(dāng)量法無法得到一個(gè)投資項(xiàng)目的客觀估值結(jié)果。即使給定決策主體，主觀確定當(dāng)量本身也難以同時(shí)滿足可加性和可乘性，因而不能保證投資項(xiàng)目評(píng)估結(jié)果的邏輯一致性。對(duì)二叉樹模型的無套利分析揭示了確定當(dāng)量法、風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整折現(xiàn)

2、率法和風(fēng)險(xiǎn)中性概率法這三種估值方法之間的聯(lián)系，并發(fā)現(xiàn)確定當(dāng)量這一概念本質(zhì)上應(yīng)當(dāng)是風(fēng)險(xiǎn)中性期望。在資本資產(chǎn)定價(jià)模型成立的條件下，給出了客觀確定當(dāng)量的計(jì)算公式。關(guān)鍵詞：估值；資本預(yù)算；風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整折現(xiàn)率；確定當(dāng)量；風(fēng)險(xiǎn)中性概率中圖分類號(hào)：F 830. 91文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：A Clarification on the Certainty Equivalence Approach in Capital BudgetingXU Qin1,2, WEI Yi1,2, CHEN Xiaoyan2, ZHENG Caixiang1(1. Chinese-German School for Postgrad

3、uate Studies, Tongji University, Shanghai 200092, China; 2. School of Economics and Management, Tongji University, Shanghai 200092, China)Abstract: Unlike the risk adjusted discount rate (RADR) approach, the (subjective) certainty equivalence (CEQ) approach can not results in objective valuation res

4、ults. Moreover, (subjective) CEQ derived from popular utility functions such as CARA and CRRA normally can not satisfy the requirements of additivity and multiplicativity simultaneously, hence this approach could lead to contradictions during capital budgeting, even under the viewpoints of a given d

5、ecision maker. Analysis based on the non-arbitrage axiom in a binomial model reveals the relationship among RADR, CEQ, and risk neutral probability (RNP) approach, which implies that CEQ used in capital budgeting should be the risk-neutral expectation in nature. (Objective) CEQ formulated in beta an

6、d market risk premium with absolute prices in the CAPM framework restores its objective nature and facilitates its application.Key Words: Capital Budgeting; Risk Adjusted Discount Rate (RADR); Certainty Equivalence (CEQ); Risk Neutral Probability (RNP)財(cái)務(wù)管理類教科書一般都闡述了不確定條件下的投資項(xiàng)目的評(píng)價(jià)方法和期權(quán)定價(jià)原理。在計(jì)算不確定條件下的

7、投資項(xiàng)目的現(xiàn)值時(shí)，既可以采用風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整折現(xiàn)率（RADR）法，也可以采用確定當(dāng)量（CEQ）法。CEQ也稱肯定當(dāng)量或等價(jià)現(xiàn)金流量。在RADR法中，折現(xiàn)率的調(diào)整方法大多采用資本資產(chǎn)定價(jià)模型（CAPM）；但在CEQ法中，CEQ的計(jì)算方法或者語焉不詳，或者建議向投資項(xiàng)目的管理者或業(yè)主進(jìn)行個(gè)別調(diào)查后確定1-4。既然RADR法和CEQ法都是不確定條件下計(jì)算現(xiàn)值的備選方法，那么，采用任意方法得到的計(jì)算結(jié)果必然完全一致。但是，用無風(fēng)險(xiǎn)利率對(duì)主觀確定當(dāng)量進(jìn)行折現(xiàn)的結(jié)果顯然依賴于決策者的主觀風(fēng)險(xiǎn)偏好，而使用CAPM模型調(diào)整折現(xiàn)率而得到的估值結(jié)果則是個(gè)客觀的數(shù)值，因此，兩種備選方法得到的估值結(jié)果必然相左。那么，如何將財(cái)

8、務(wù)教科書介紹的主管確定當(dāng)量客觀化？期權(quán)定價(jià)的RNP法是否也可用于投資項(xiàng)目的估值？RADR、CEQ和RNP三種方法之間究竟具有怎樣的聯(lián)系？1. 主觀確定當(dāng)量法中的矛盾根據(jù)文獻(xiàn)1-4對(duì)CEQ的闡述，未來不確定現(xiàn)金流量的現(xiàn)值可以通過下式計(jì)算（以一期為例）： MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 1)其中：r為無風(fēng)險(xiǎn)利率；=為隨機(jī)變量的確定當(dāng)量。這里的函數(shù)為反映項(xiàng)目業(yè)主的風(fēng)險(xiǎn)偏好的效用函數(shù)。式 GOTOBUTTON ZEqnNum659942

9、 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum659942 * Charformat ! * MERGEFORMAT (1)對(duì)于函數(shù)提出了很多要求5，這里僅討論其中的兩個(gè)6：（1）可加性。一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)現(xiàn)金流量加上一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)現(xiàn)金流量F的確定當(dāng)量應(yīng)當(dāng)?shù)扔趦蓚€(gè)單獨(dú)現(xiàn)金流量和F的確定當(dāng)量之和，否則就意味著在資本預(yù)算中將一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)目與一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)目合并考慮得到的價(jià)值與分別考慮得到的價(jià)值完全不同。（2）可乘性。一個(gè)現(xiàn)金流量的v倍的確定當(dāng)量也應(yīng)當(dāng)?shù)扔谠摤F(xiàn)金流量的確定當(dāng)量的v倍，否則就意味著由多方出資參與的投資項(xiàng)目與單獨(dú)出資建設(shè)的投資項(xiàng)目具有不同的價(jià)值（這里不考慮控制權(quán)、代理成本、規(guī)模效應(yīng)等因素）?，F(xiàn)在驗(yàn)證

10、經(jīng)濟(jì)學(xué)中最常用的雙曲絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡效用函數(shù)族（HARA）是否具有這兩條性質(zhì)。為簡(jiǎn)明起見，這里僅討論最常用的常絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡（CARA）的指數(shù)效用函數(shù)、常相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡（CRRA）的冪效用函數(shù)和對(duì)數(shù)效用函數(shù)。三個(gè)效用函數(shù)及其反函數(shù)的具體形式見表1。表 SEQ 表 * ARABIC 1 三種常用的效用函數(shù)及其反函數(shù)Tab. 1 Three popular utility functions and their inverse functions函數(shù)類型指數(shù)冪對(duì)數(shù)效用函數(shù)反函數(shù)令、和分別表示由指數(shù)效用函數(shù)、冪效用函數(shù)和對(duì)數(shù)效用函數(shù)確定的（隨機(jī)）現(xiàn)金流量X的確定當(dāng)量，經(jīng)過簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算，并運(yùn)用詹森不等式，容

11、易得到 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 2) MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 3)類似地，可得 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabi

12、c * MERGEFORMAT 4) MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 5) MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 6) MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn

13、c * Arabic * MERGEFORMAT 7)由式 GOTOBUTTON ZEqnNum562517 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum562517 * Charformat ! * MERGEFORMAT (2)- GOTOBUTTON ZEqnNum684367 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum684367 * Charformat ! * MERGEFORMAT (7)可知，由指數(shù)效用函數(shù)導(dǎo)出的確定當(dāng)量不滿足可乘性，由冪效用函數(shù)和對(duì)數(shù)效用函數(shù)導(dǎo)出的確定當(dāng)量不滿足可加性。因此，如果采用常見的效用函數(shù)去測(cè)算項(xiàng)目業(yè)主的主觀確定當(dāng)量，進(jìn)而做出資本預(yù)算決策

14、，則不僅不同業(yè)主會(huì)做出不一致的決策，而且同一業(yè)主做出的決策也不能保證邏輯上的一致性。事實(shí)上，在整個(gè)HARA效用函數(shù)族內(nèi)，同時(shí)滿足可加性和可乘性的效用函數(shù)只有風(fēng)險(xiǎn)中性效用函數(shù)5-6。但是，在風(fēng)險(xiǎn)中性效用函數(shù)下，現(xiàn)金流量的確定當(dāng)量就是現(xiàn)金流量的期望值，因此使用這種概念下的確定當(dāng)量計(jì)算投資項(xiàng)目的現(xiàn)值就顯得毫無意義了。2. 二叉樹模型下的RNP、CEQ和RADR在標(biāo)準(zhǔn)的一期二叉樹模型中，個(gè)別資產(chǎn)S和市場(chǎng)組合M的當(dāng)前價(jià)格是確定型變量和，期末價(jià)格則是隨機(jī)變量，分別為和。和的實(shí)現(xiàn)值取決于自然狀態(tài)，即， MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * ME

15、RGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 8)另外還有一種無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)B，其當(dāng)前價(jià)格標(biāo)準(zhǔn)化為1（不失一般性），期末價(jià)格與自然狀態(tài)無關(guān)，恒為R。由此可知，無風(fēng)險(xiǎn)利率為。這里，除非，否則當(dāng)時(shí)總存在套利機(jī)會(huì)，因此，我們假設(shè)（不失一般性） MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 9)設(shè)市場(chǎng)組合的當(dāng)前價(jià)格可以觀測(cè)，但個(gè)別資產(chǎn)S（資本預(yù)算中即為投資項(xiàng)目）的當(dāng)前價(jià)格卻無法觀測(cè)到?，F(xiàn)在我們用無套利定價(jià)原

16、理對(duì)個(gè)別資產(chǎn)S進(jìn)行定價(jià)，即求。求解過程分兩步：第一步，用已知當(dāng)前價(jià)格的資產(chǎn)M和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)B復(fù)制資產(chǎn)S，即找到常數(shù)a和b，使得 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 10)求解上述方程組，得 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 11)第二步，由無套利公設(shè)，此復(fù)制組合的當(dāng)前價(jià)格

17、即未知資產(chǎn)S的當(dāng)前（無套利）價(jià)格，因此 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 12)其中 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 13)因此，可作為風(fēng)險(xiǎn)中性概率。于是，式 GOTOBUTTON ZEqnNum710259 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum710

18、259 * Charformat ! * MERGEFORMAT (12)可以寫成更簡(jiǎn)單的形式 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 14)其中，代表以風(fēng)險(xiǎn)中性概率Q求期望，即風(fēng)險(xiǎn)中性期望。至此，得到了風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)估值的第一種方法RNP法：以無風(fēng)險(xiǎn)利率折現(xiàn)未來現(xiàn)金流量的風(fēng)險(xiǎn)中性期望即可獲得該風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的現(xiàn)值。對(duì)比文獻(xiàn)14關(guān)于確定當(dāng)量法的描述可以發(fā)現(xiàn)，以無風(fēng)險(xiǎn)利率折現(xiàn)求得現(xiàn)值的不確定現(xiàn)金流量的泛函只能是風(fēng)險(xiǎn)中性期望。因此，確定當(dāng)量的取值只能是

19、風(fēng)險(xiǎn)中性期望，是個(gè)客觀數(shù)值，而非依賴于業(yè)主效用的主觀確定當(dāng)量；而且，確定當(dāng)量系數(shù)的精確值應(yīng)當(dāng)是。這里，是自然狀態(tài)u和d發(fā)生的實(shí)際概率。現(xiàn)在考察收益率，以探討RADR法與其他兩種估值方法之間的聯(lián)系。前述資產(chǎn)S和M的收益率定義為， MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 15)由此容易得到,，另外，式 GOTOBUTTON ZEqnNum566389 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum566389 * Charformat

20、! * MERGEFORMAT (14)可以改寫為 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 16)這意味著，任意風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率的風(fēng)險(xiǎn)中性期望都等于無風(fēng)險(xiǎn)利率。于是， MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 17)式 GOTOBUTTON ZEqnNum896018 * MERGE

21、FORMAT REF ZEqnNum896018 * Charformat ! * MERGEFORMAT (17)說明，給定普通概率和風(fēng)險(xiǎn)中性概率，則個(gè)別資產(chǎn)的超額期望收益率與該資產(chǎn)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差成正比。換句話說，個(gè)別資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)越高，則投資者對(duì)該項(xiàng)資產(chǎn)要求的期望收益率也越高。這就為資產(chǎn)估值的RADR法提供了理論基礎(chǔ)。事實(shí)上，由式 GOTOBUTTON ZEqnNum896018 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum896018 * Charformat ! * MERGEFORMAT (17)變形可直接得到風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整折現(xiàn)率法的估值方程 MACROBUTTON MTPlaceRef

22、 * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 18)其中的即為與待折現(xiàn)現(xiàn)金流量的風(fēng)險(xiǎn)程度有關(guān)的折現(xiàn)率的風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整量。因此，若對(duì)未來風(fēng)險(xiǎn)現(xiàn)金流量取實(shí)際概率期望，那么用以估值的對(duì)應(yīng)折現(xiàn)率應(yīng)當(dāng)是無風(fēng)險(xiǎn)利率再加上一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整量（風(fēng)險(xiǎn)溢酬）?，F(xiàn)在，直接計(jì)算可知，因此，式 GOTOBUTTON ZEqnNum380752 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum380752 * Charformat ! * MERGEFORMAT (18)可以改寫為 MACROBUTTON MTPlace

23、Ref * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 19)這與CAPM模型中的證券市場(chǎng)線極為相似，但并不需要CAPM模型的部分假設(shè)。由式 GOTOBUTTON ZEqnNum380752 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum380752 * Charformat ! * MERGEFORMAT (18)和 GOTOBUTTON ZEqnNum867689 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum867689 * Charformat ! * MERGEFORMA

24、T (19)，風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整的折現(xiàn)率法可以寫成更為熟悉的形式 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 20)資本預(yù)算實(shí)踐中，式 GOTOBUTTON ZEqnNum620894 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum620894 * Charformat ! * MERGEFORMAT (20)得到廣泛的應(yīng)用。至此，可以發(fā)現(xiàn)，用RADR法、CEQ法和RNP法計(jì)算投資項(xiàng)目的現(xiàn)值應(yīng)當(dāng)?shù)玫酵耆嗤慕Y(jié)果。RADR法使用未來風(fēng)險(xiǎn)現(xiàn)金流量的

25、實(shí)際概率期望，并對(duì)折現(xiàn)率按照投資項(xiàng)目的風(fēng)險(xiǎn)程度進(jìn)行調(diào)整；CEQ法的實(shí)質(zhì)是RNP法，兩者都使用無風(fēng)險(xiǎn)利率折現(xiàn)未來風(fēng)險(xiǎn)現(xiàn)金流量的風(fēng)險(xiǎn)中性期望（即將實(shí)際概率調(diào)整為風(fēng)險(xiǎn)中性概率）。3. CAPM模型下的RADR和CEQ為簡(jiǎn)化表達(dá)，現(xiàn)在仍然考慮只存在一個(gè)時(shí)期的經(jīng)濟(jì)。設(shè)市場(chǎng)組合的期初價(jià)值為確定值，期末價(jià)值為隨機(jī)變量（方差為）；投資項(xiàng)目的期末現(xiàn)金流量（或價(jià)值）為（方差為），投資項(xiàng)目與市場(chǎng)組合之間的相關(guān)系數(shù)為。再假設(shè)CAPM成立，則項(xiàng)目的期望收益率應(yīng)滿足如下方程： MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEq

26、n c * Arabic * MERGEFORMAT 21) MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 22)其中：E, cov和var分別表示（以實(shí)際概率計(jì)算的）數(shù)學(xué)期望、協(xié)方差和方差；, 和分別為無風(fēng)險(xiǎn)利率、投資項(xiàng)目的要求收益率和市場(chǎng)組合的收益率。收益率的定義見式 GOTOBUTTON ZEqnNum250315 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum250315 * Charformat ! * MERGEFORMAT

27、(15)。的含義是收益率之間的貝塔，即相對(duì)貝塔，與下文中的價(jià)格之間的貝塔，絕對(duì)貝塔，相對(duì)照。對(duì)方程 GOTOBUTTON ZEqnNum250315 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum250315 * Charformat ! * MERGEFORMAT (15)兩邊同時(shí)取期望，并將式 GOTOBUTTON ZEqnNum436109 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum436109 * Charformat ! * MERGEFORMAT (21)代入，可得到用風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整的折現(xiàn)率法計(jì)算項(xiàng)目現(xiàn)值的方程 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFO

28、RMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 23)這里風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整的折現(xiàn)率等于無風(fēng)險(xiǎn)率加上投資項(xiàng)目的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)（用貝塔度量）與市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)溢酬（市場(chǎng)收益率的數(shù)學(xué)期望超過無風(fēng)險(xiǎn)利率的部分）的乘積。接下來考慮用（客觀）確定當(dāng)量法計(jì)算項(xiàng)目的價(jià)值。將式 GOTOBUTTON ZEqnNum250315 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum250315 * Charformat ! * MERGEFORMAT (15)兩邊取期望值并代入式 GOTOBUTTON ZEqnNum436109 * MERGEFO

29、RMAT REF ZEqnNum436109 * Charformat ! * MERGEFORMAT (21)，解出，整理后（注意到現(xiàn)金流量的確定當(dāng)量的折現(xiàn)率為無風(fēng)險(xiǎn)利率）可得 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 24)其中， MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 25)由此可見，在CAPM模型成立的條件下，現(xiàn)金流量的客觀確定當(dāng)量是。這是個(gè)與系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)貝塔和市場(chǎng)超額收益負(fù)相關(guān)的客觀值，而非依賴于項(xiàng)目業(yè)主個(gè)別風(fēng)險(xiǎn)偏好的主觀值。4. 結(jié)論主流教科書上闡述的主觀確定當(dāng)量法用于資本預(yù)算可產(chǎn)生三種矛盾：（1）CEQ法與RADR法和RNP法之間的矛盾；（2）不同業(yè)主做出的決策之間的矛盾；以及（3）同一業(yè)主做出的決策之中的矛盾。以無套