資本預算中的確定當量法之澄清

1、PAGE PAGE 7資本預算中的確定當量法之澄清許勤收稿日期：2008-07-03作者簡介：許勤（1974），男，管理學博士，講師，主要研究方向為公司財務(wù)和風險管理。Email： HYPERLINK mailto:X X.,2，魏嶷1,2，陳筱彥2，鄭彩祥1（1. 同濟大學 中德學院，上海 200092；2. 同濟大學 經(jīng)濟與管理學院，上海 200092）摘要：與風險調(diào)整折現(xiàn)率法不同，主觀確定當量法無法得到一個投資項目的客觀估值結(jié)果。即使給定決策主體，主觀確定當量本身也難以同時滿足可加性和可乘性，因而不能保證投資項目評估結(jié)果的邏輯一致性。對二叉樹模型的無套利分析揭示了確定當量法、風險調(diào)整折現(xiàn)

2、率法和風險中性概率法這三種估值方法之間的聯(lián)系，并發(fā)現(xiàn)確定當量這一概念本質(zhì)上應當是風險中性期望。在資本資產(chǎn)定價模型成立的條件下，給出了客觀確定當量的計算公式。關(guān)鍵詞：估值；資本預算；風險調(diào)整折現(xiàn)率；確定當量；風險中性概率中圖分類號：F 830. 91文獻標識碼：A文章編號：A Clarification on the Certainty Equivalence Approach in Capital BudgetingXU Qin1,2, WEI Yi1,2, CHEN Xiaoyan2, ZHENG Caixiang1(1. Chinese-German School for Postgrad

3、uate Studies, Tongji University, Shanghai 200092, China; 2. School of Economics and Management, Tongji University, Shanghai 200092, China)Abstract: Unlike the risk adjusted discount rate (RADR) approach, the (subjective) certainty equivalence (CEQ) approach can not results in objective valuation res

4、ults. Moreover, (subjective) CEQ derived from popular utility functions such as CARA and CRRA normally can not satisfy the requirements of additivity and multiplicativity simultaneously, hence this approach could lead to contradictions during capital budgeting, even under the viewpoints of a given d

5、ecision maker. Analysis based on the non-arbitrage axiom in a binomial model reveals the relationship among RADR, CEQ, and risk neutral probability (RNP) approach, which implies that CEQ used in capital budgeting should be the risk-neutral expectation in nature. (Objective) CEQ formulated in beta an

6、d market risk premium with absolute prices in the CAPM framework restores its objective nature and facilitates its application.Key Words: Capital Budgeting; Risk Adjusted Discount Rate (RADR); Certainty Equivalence (CEQ); Risk Neutral Probability (RNP)財務(wù)管理類教科書一般都闡述了不確定條件下的投資項目的評價方法和期權(quán)定價原理。在計算不確定條件下的

7、投資項目的現(xiàn)值時，既可以采用風險調(diào)整折現(xiàn)率（RADR）法，也可以采用確定當量（CEQ）法。CEQ也稱肯定當量或等價現(xiàn)金流量。在RADR法中，折現(xiàn)率的調(diào)整方法大多采用資本資產(chǎn)定價模型（CAPM）；但在CEQ法中，CEQ的計算方法或者語焉不詳，或者建議向投資項目的管理者或業(yè)主進行個別調(diào)查后確定1-4。既然RADR法和CEQ法都是不確定條件下計算現(xiàn)值的備選方法，那么，采用任意方法得到的計算結(jié)果必然完全一致。但是，用無風險利率對主觀確定當量進行折現(xiàn)的結(jié)果顯然依賴于決策者的主觀風險偏好，而使用CAPM模型調(diào)整折現(xiàn)率而得到的估值結(jié)果則是個客觀的數(shù)值，因此，兩種備選方法得到的估值結(jié)果必然相左。那么，如何將財

8、務(wù)教科書介紹的主管確定當量客觀化？期權(quán)定價的RNP法是否也可用于投資項目的估值？RADR、CEQ和RNP三種方法之間究竟具有怎樣的聯(lián)系？1. 主觀確定當量法中的矛盾根據(jù)文獻1-4對CEQ的闡述，未來不確定現(xiàn)金流量的現(xiàn)值可以通過下式計算（以一期為例）： MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 1)其中：r為無風險利率；=為隨機變量的確定當量。這里的函數(shù)為反映項目業(yè)主的風險偏好的效用函數(shù)。式 GOTOBUTTON ZEqnNum659942

9、 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum659942 * Charformat ! * MERGEFORMAT (1)對于函數(shù)提出了很多要求5，這里僅討論其中的兩個6：（1）可加性。一個風險現(xiàn)金流量加上一個無風險現(xiàn)金流量F的確定當量應當?shù)扔趦蓚€單獨現(xiàn)金流量和F的確定當量之和，否則就意味著在資本預算中將一個風險項目與一個無風險項目合并考慮得到的價值與分別考慮得到的價值完全不同。（2）可乘性。一個現(xiàn)金流量的v倍的確定當量也應當?shù)扔谠摤F(xiàn)金流量的確定當量的v倍，否則就意味著由多方出資參與的投資項目與單獨出資建設(shè)的投資項目具有不同的價值（這里不考慮控制權(quán)、代理成本、規(guī)模效應等因素）?，F(xiàn)在驗證

10、經(jīng)濟學中最常用的雙曲絕對風險厭惡效用函數(shù)族（HARA）是否具有這兩條性質(zhì)。為簡明起見，這里僅討論最常用的常絕對風險厭惡（CARA）的指數(shù)效用函數(shù)、常相對風險厭惡（CRRA）的冪效用函數(shù)和對數(shù)效用函數(shù)。三個效用函數(shù)及其反函數(shù)的具體形式見表1。表 SEQ 表 * ARABIC 1 三種常用的效用函數(shù)及其反函數(shù)Tab. 1 Three popular utility functions and their inverse functions函數(shù)類型指數(shù)冪對數(shù)效用函數(shù)反函數(shù)令、和分別表示由指數(shù)效用函數(shù)、冪效用函數(shù)和對數(shù)效用函數(shù)確定的（隨機）現(xiàn)金流量X的確定當量，經(jīng)過簡單的代數(shù)運算，并運用詹森不等式，容

11、易得到 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 2) MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 3)類似地，可得 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabi

12、c * MERGEFORMAT 4) MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 5) MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 6) MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn

13、c * Arabic * MERGEFORMAT 7)由式 GOTOBUTTON ZEqnNum562517 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum562517 * Charformat ! * MERGEFORMAT (2)- GOTOBUTTON ZEqnNum684367 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum684367 * Charformat ! * MERGEFORMAT (7)可知，由指數(shù)效用函數(shù)導出的確定當量不滿足可乘性，由冪效用函數(shù)和對數(shù)效用函數(shù)導出的確定當量不滿足可加性。因此，如果采用常見的效用函數(shù)去測算項目業(yè)主的主觀確定當量，進而做出資本預算決策

14、，則不僅不同業(yè)主會做出不一致的決策，而且同一業(yè)主做出的決策也不能保證邏輯上的一致性。事實上，在整個HARA效用函數(shù)族內(nèi)，同時滿足可加性和可乘性的效用函數(shù)只有風險中性效用函數(shù)5-6。但是，在風險中性效用函數(shù)下，現(xiàn)金流量的確定當量就是現(xiàn)金流量的期望值，因此使用這種概念下的確定當量計算投資項目的現(xiàn)值就顯得毫無意義了。2. 二叉樹模型下的RNP、CEQ和RADR在標準的一期二叉樹模型中，個別資產(chǎn)S和市場組合M的當前價格是確定型變量和，期末價格則是隨機變量，分別為和。和的實現(xiàn)值取決于自然狀態(tài)，即， MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * ME

15、RGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 8)另外還有一種無風險資產(chǎn)B，其當前價格標準化為1（不失一般性），期末價格與自然狀態(tài)無關(guān)，恒為R。由此可知，無風險利率為。這里，除非，否則當時總存在套利機會，因此，我們假設(shè)（不失一般性） MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 9)設(shè)市場組合的當前價格可以觀測，但個別資產(chǎn)S（資本預算中即為投資項目）的當前價格卻無法觀測到?，F(xiàn)在我們用無套利定價原

16、理對個別資產(chǎn)S進行定價，即求。求解過程分兩步：第一步，用已知當前價格的資產(chǎn)M和無風險資產(chǎn)B復制資產(chǎn)S，即找到常數(shù)a和b，使得 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 10)求解上述方程組，得 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 11)第二步，由無套利公設(shè)，此復制組合的當前價格

17、即未知資產(chǎn)S的當前（無套利）價格，因此 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 12)其中 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 13)因此，可作為風險中性概率。于是，式 GOTOBUTTON ZEqnNum710259 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum710

18、259 * Charformat ! * MERGEFORMAT (12)可以寫成更簡單的形式 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 14)其中，代表以風險中性概率Q求期望，即風險中性期望。至此，得到了風險資產(chǎn)估值的第一種方法RNP法：以無風險利率折現(xiàn)未來現(xiàn)金流量的風險中性期望即可獲得該風險資產(chǎn)的現(xiàn)值。對比文獻14關(guān)于確定當量法的描述可以發(fā)現(xiàn)，以無風險利率折現(xiàn)求得現(xiàn)值的不確定現(xiàn)金流量的泛函只能是風險中性期望。因此，確定當量的取值只能是

19、風險中性期望，是個客觀數(shù)值，而非依賴于業(yè)主效用的主觀確定當量；而且，確定當量系數(shù)的精確值應當是。這里，是自然狀態(tài)u和d發(fā)生的實際概率。現(xiàn)在考察收益率，以探討RADR法與其他兩種估值方法之間的聯(lián)系。前述資產(chǎn)S和M的收益率定義為， MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 15)由此容易得到,，另外，式 GOTOBUTTON ZEqnNum566389 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum566389 * Charformat

20、! * MERGEFORMAT (14)可以改寫為 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 16)這意味著，任意風險資產(chǎn)收益率的風險中性期望都等于無風險利率。于是， MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 17)式 GOTOBUTTON ZEqnNum896018 * MERGE

21、FORMAT REF ZEqnNum896018 * Charformat ! * MERGEFORMAT (17)說明，給定普通概率和風險中性概率，則個別資產(chǎn)的超額期望收益率與該資產(chǎn)收益率的標準差成正比。換句話說，個別資產(chǎn)的風險越高，則投資者對該項資產(chǎn)要求的期望收益率也越高。這就為資產(chǎn)估值的RADR法提供了理論基礎(chǔ)。事實上，由式 GOTOBUTTON ZEqnNum896018 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum896018 * Charformat ! * MERGEFORMAT (17)變形可直接得到風險調(diào)整折現(xiàn)率法的估值方程 MACROBUTTON MTPlaceRef

22、 * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 18)其中的即為與待折現(xiàn)現(xiàn)金流量的風險程度有關(guān)的折現(xiàn)率的風險調(diào)整量。因此，若對未來風險現(xiàn)金流量取實際概率期望，那么用以估值的對應折現(xiàn)率應當是無風險利率再加上一個風險調(diào)整量（風險溢酬）。現(xiàn)在，直接計算可知，因此，式 GOTOBUTTON ZEqnNum380752 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum380752 * Charformat ! * MERGEFORMAT (18)可以改寫為 MACROBUTTON MTPlace

23、Ref * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 19)這與CAPM模型中的證券市場線極為相似，但并不需要CAPM模型的部分假設(shè)。由式 GOTOBUTTON ZEqnNum380752 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum380752 * Charformat ! * MERGEFORMAT (18)和 GOTOBUTTON ZEqnNum867689 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum867689 * Charformat ! * MERGEFORMA

24、T (19)，風險調(diào)整的折現(xiàn)率法可以寫成更為熟悉的形式 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 20)資本預算實踐中，式 GOTOBUTTON ZEqnNum620894 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum620894 * Charformat ! * MERGEFORMAT (20)得到廣泛的應用。至此，可以發(fā)現(xiàn)，用RADR法、CEQ法和RNP法計算投資項目的現(xiàn)值應當?shù)玫酵耆嗤慕Y(jié)果。RADR法使用未來風險現(xiàn)金流量的

25、實際概率期望，并對折現(xiàn)率按照投資項目的風險程度進行調(diào)整；CEQ法的實質(zhì)是RNP法，兩者都使用無風險利率折現(xiàn)未來風險現(xiàn)金流量的風險中性期望（即將實際概率調(diào)整為風險中性概率）。3. CAPM模型下的RADR和CEQ為簡化表達，現(xiàn)在仍然考慮只存在一個時期的經(jīng)濟。設(shè)市場組合的期初價值為確定值，期末價值為隨機變量（方差為）；投資項目的期末現(xiàn)金流量（或價值）為（方差為），投資項目與市場組合之間的相關(guān)系數(shù)為。再假設(shè)CAPM成立，則項目的期望收益率應滿足如下方程： MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEq

26、n c * Arabic * MERGEFORMAT 21) MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 22)其中：E, cov和var分別表示（以實際概率計算的）數(shù)學期望、協(xié)方差和方差；, 和分別為無風險利率、投資項目的要求收益率和市場組合的收益率。收益率的定義見式 GOTOBUTTON ZEqnNum250315 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum250315 * Charformat ! * MERGEFORMAT

27、(15)。的含義是收益率之間的貝塔，即相對貝塔，與下文中的價格之間的貝塔，絕對貝塔，相對照。對方程 GOTOBUTTON ZEqnNum250315 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum250315 * Charformat ! * MERGEFORMAT (15)兩邊同時取期望，并將式 GOTOBUTTON ZEqnNum436109 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum436109 * Charformat ! * MERGEFORMAT (21)代入，可得到用風險調(diào)整的折現(xiàn)率法計算項目現(xiàn)值的方程 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFO

28、RMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 23)這里風險調(diào)整的折現(xiàn)率等于無風險率加上投資項目的系統(tǒng)性風險（用貝塔度量）與市場風險溢酬（市場收益率的數(shù)學期望超過無風險利率的部分）的乘積。接下來考慮用（客觀）確定當量法計算項目的價值。將式 GOTOBUTTON ZEqnNum250315 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum250315 * Charformat ! * MERGEFORMAT (15)兩邊取期望值并代入式 GOTOBUTTON ZEqnNum436109 * MERGEFO

29、RMAT REF ZEqnNum436109 * Charformat ! * MERGEFORMAT (21)，解出，整理后（注意到現(xiàn)金流量的確定當量的折現(xiàn)率為無風險利率）可得 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 24)其中， MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 25)由此可見，在CAPM模型成立的條件下，現(xiàn)金流量的客觀確定當量是。這是個與系統(tǒng)性風險貝塔和市場超額收益負相關(guān)的客觀值，而非依賴于項目業(yè)主個別風險偏好的主觀值。4. 結(jié)論主流教科書上闡述的主觀確定當量法用于資本預算可產(chǎn)生三種矛盾：（1）CEQ法與RADR法和RNP法之間的矛盾；（2）不同業(yè)主做出的決策之間的矛盾；以及（3）同一業(yè)主做出的決策之中的矛盾。以無套