《直線的傾斜角和斜率》案例分析

1、直線的傾斜角和斜率案例分析寧波市第四中學(xué)馮文富 3150162007年4月19日我有幸參加了在余姚中學(xué)舉行的寧波市第七期特級(jí)教師跨區(qū)域帶徒 第二次集中活動(dòng)?；顒?dòng)中我上了其中一堂示范課，課題為：直線的傾斜角和斜率。示范課 后特級(jí)教師和市教研員對(duì)4節(jié)課進(jìn)行了點(diǎn)評(píng)，提出了很多意見和建議，學(xué)員們受益非淺。 下面我對(duì)我上的這堂課進(jìn)行案例分析。一、教材分析（一）教材地位和知識(shí)結(jié)構(gòu)本節(jié)內(nèi)容是平面解析幾何的第一節(jié)課，是研究直線方程的基礎(chǔ)。這節(jié)課首先根據(jù)一次 函數(shù)與其圖像的變化關(guān)系得出確定直線需要的量；其次為進(jìn)一步研究直線，建立了直線傾 斜角的概念，進(jìn)而建立直線斜率的概念，從而實(shí)現(xiàn)了直線的方向或者說直線的傾斜角

2、這一 直線的幾何屬性向直線的斜率這一代數(shù)屬性的轉(zhuǎn)變；最后推導(dǎo)出經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率公 式.這些充分體現(xiàn)了解析幾何的思想方法.（二）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析本節(jié)的重點(diǎn)是直線的傾斜角、斜率的概念和斜率公式.浙江的教材安排使課本上傾 斜角的定義產(chǎn)生了錯(cuò)誤，如何定義直線的傾斜角對(duì)學(xué)生來說很困難。直線的斜率是后繼內(nèi) 容展開的主線，無論是建立直線的方程，還是研究兩條直線的位置關(guān)系，以及討論直線與 二次曲線的位置關(guān)系等，直線的斜率都發(fā)揮著重要作用.因此，正確理解斜率概念，熟練 掌握斜率公式是學(xué)好這一章的關(guān)鍵.本節(jié)的難點(diǎn)是對(duì)斜率概念的理解和斜率公式的推導(dǎo).為什么要定義直線的斜率，為 什么把斜率定義為傾斜角的正切學(xué)生是不

3、容易接受的.而斜率公式由于教材的安排可以由 向量的方法進(jìn)行推導(dǎo)。二、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）、引入新課：1、求方程sinx=lgx的解的個(gè)數(shù)。（幾何畫板演示）實(shí)際上我們已經(jīng)用代數(shù)的方法研究過拋物線的性質(zhì)：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，可以寫出拋物線的二次函數(shù)y = ax2 + bx + c （a主0）就可以研究拋物線的性質(zhì)了。設(shè)計(jì)意圖：用幾何畫板研究a,b,c對(duì)圖象的影響，為一次函數(shù)中系數(shù)對(duì)直線的影響作 出鋪墊。說明：把方程所表示的圖形畫出來研究圖形的性質(zhì)。把圖形放到直角坐標(biāo)系中，用代數(shù)的方法來研究圖形的幾何性質(zhì)。向?qū)W生指出用代數(shù)的方法來研究圖象的幾何性質(zhì)是笛卡兒和費(fèi)馬創(chuàng)立的解析幾何中 最基本的研究方法。是

4、數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個(gè)里程碑。2、用幾何畫板研究y = ax + b中，a,b對(duì)圖象的影響。提問：一次函數(shù)所表示的圖象是什么？其中a，b是怎樣影響圖象的？利用幾何畫板的動(dòng)畫演示引導(dǎo)學(xué)生：b的影響：平行移動(dòng)，b值為直線與y軸交 點(diǎn)的縱坐標(biāo)。此時(shí)直線的是一組平行線；a的影響：隨著a的變化，形成了無數(shù)條共點(diǎn)的直線，這些直線的傾斜程 度不同。（二）、講授新課：問題1：要確定這些相交直線中某一條直線還需要給出直線的一個(gè)角，即直線的方向。如何確定一條直線？兩點(diǎn)確定一條直線.還有其他方法嗎？或者說如果只給出一點(diǎn)，要確定這條直線還應(yīng)增加什么條件？學(xué)生：思考、回憶、回答：這條直線的方向，或者說傾斜程度.問題2：在坐

5、標(biāo)系中的一條直線，我們用怎樣的角來刻畫直線的方向呢？學(xué)生：展開討論.教師：利用三角板教具對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，利用學(xué)生對(duì)斜邊的傾斜程度的理解誘導(dǎo)學(xué)生 得出傾斜角的定義。1、得出傾斜角的定義，通過討論認(rèn)為:應(yīng)選擇直線向上的方向和x軸的正半軸所成的角來刻畫直線的方向.根 據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)，表明一個(gè)方向可以有無窮多個(gè)角，這里只需一個(gè)角即可（開始時(shí)可能 有學(xué)生認(rèn)為有四個(gè)角或兩個(gè)角），當(dāng)然用最小的正角.從而得到直線傾斜角的概念.定義：一條直線l向上的方向與x軸的正方向所成的最小正角叫做直線l的傾斜角.（教師強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)：（1）直線向上的方向，（2） x軸的正方向，（3）最小正角.）讓學(xué)生補(bǔ)全教科書上傾斜角的定義，

6、并向?qū)W生指出造成這個(gè)錯(cuò)誤的原因。利用幾何畫板的演示，引導(dǎo)學(xué)生得出：（1）傾斜角的取值范圍為0 0，且a越大，K也越來越大；a (900,180。)時(shí)，k0，且a越大，K也越來越大。練習(xí)：關(guān)于直線傾斜角和斜率，下列哪些說法是正確的？A、任一條直線都有傾斜角，也都有斜率；B、直線的傾斜角越大，它的斜率就越大；C、直線的斜率值為tana，則它的傾斜角為a；D、兩直線的傾斜角相等，它們的斜率也相等.E、直線斜率的范圍是(一8，+8).口答題：已知直線的傾斜角，求直線的斜率：a=0； (2)a=60 a=90；(4)a=0.75n(5) a (600,1200)直線l的傾斜角ai = 30，直線LLL的

7、傾斜角和斜率為直線l經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)(一1,1)，則它的傾斜角是，斜率是.設(shè)計(jì)意圖：(1) (6)是對(duì)傾斜角和斜率的鞏固訓(xùn)練，(7)是引導(dǎo)出兩點(diǎn)可以確定 直線的傾斜角和斜率。問題4:如果給定直線的傾斜角，我們當(dāng)然可以根據(jù)斜率的定義* =tga求出直線的 斜率；如果給定直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)，直線是確定的，傾斜角也是確定的，斜率就是確定的，那 么又怎么求出直線的斜率呢？3、兩點(diǎn)的斜率公式從口答題中的（7）可以得出：直線上的兩點(diǎn)可以確定直線的方向一一傾斜角和斜率。引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)兩點(diǎn)的斜率公式。（動(dòng)畫演示）在推導(dǎo)公式的過程中利用直角三角形教具引導(dǎo)學(xué)生由直線上的兩點(diǎn)建立直角三角形， 從而得出斜率公式。（1）無論傾斜

8、角是鈍角還是銳角，也二總與斜率相等；x 一 x（2）當(dāng)直線傾斜角確定后，斜率與兩點(diǎn)的順序無關(guān)。（3）引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線平行x軸和垂直x軸時(shí)，公式是否成立。（4）斜率公式跟P七的順序無關(guān)。例1求過下列兩點(diǎn)的直線的斜率k及傾斜角a。（1）P1 （-2，3），P2 （-2，8）（2）P1 （5，-2），P2 （-2，-2）（3）P1 （-1，2），P2 （3，-4）（4）P （b,b+c），P2 （a,c+a） （a,b,c 互不相等）練習(xí)：畫出經(jīng)過點(diǎn)（1，2）且斜率為2的直線。例2已知兩點(diǎn)M（2，3）、N（ 3，2），直線l過點(diǎn)P（1，1）且與線段MN相交，求 直線L的斜率k的取值范圍和傾斜角的范

9、圍。（三）小結(jié):提問：（1）直線傾斜角的概念要注意什么？（2）直線的傾斜角與斜率是一一對(duì)應(yīng)嗎？（3）已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，如何求直線的斜率？斜率公式中腳標(biāo)1和2有順序嗎？三、教學(xué)課后思考1、本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)有三大項(xiàng)：傾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式.學(xué)生思維 也對(duì)應(yīng)三個(gè)高潮：傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式如何建立。教學(xué)流程中利用4個(gè)問題引出三個(gè)教學(xué)任務(wù)，首先利用二個(gè)問題情境讓學(xué)生明確傾斜 角的定義，然后利用第3個(gè)問題情境讓學(xué)生理解用傾斜角的正切定義斜率，而不用正弦、 余弦或余切來定義的道理。為了便于學(xué)生更好的理解直線斜率的概念，教學(xué)中借助幾何畫 板設(shè)計(jì)：（1）a變化一直線變化

10、一 y = kx + b中的x系數(shù)k變化（同時(shí)注意tga的變化）.（2）y = kx+b中的x系數(shù)k變化一直線變化一a變化（同時(shí)注意tga的變化）.運(yùn)用上述正反兩種變化的動(dòng)態(tài)演示充分揭示一次函數(shù)中x系數(shù)與傾斜角正切的內(nèi)在 關(guān)系，這對(duì)幫助學(xué)生理解斜率概念是極有好處的.最后利用第4個(gè)問題情境讓學(xué)生理解得到兩點(diǎn)的斜率公式的必要性。另外，在3個(gè)教學(xué)任務(wù)中要利用好直角三角形，借助直角三角形可以讓學(xué)生很容易掌 握概念和公式。2、本節(jié)內(nèi)容在教學(xué)中采用了啟發(fā)引導(dǎo)法和討論法，設(shè)計(jì)為啟發(fā)、引導(dǎo)、探究、評(píng)價(jià) 的教學(xué)模式.學(xué)生在積極思維的基礎(chǔ)上，進(jìn)行充分的討論、爭辯、交流、和評(píng)價(jià).三項(xiàng)教 學(xué)任務(wù)都是在討論、交流、評(píng)價(jià)

11、中完成的。教師的任務(wù)是創(chuàng)設(shè)問題情境，引發(fā)爭論，組織 交流，參與評(píng)價(jià).3、示范課后特級(jí)教師、教研員和部分學(xué)員的點(diǎn)評(píng)，讓我受益非淺，總結(jié)出以后的教 學(xué)中要注意的地方。1）要重視問題情境的創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)總是與一定知識(shí)背景、即“情景”相聯(lián)系，在實(shí)際情境下進(jìn)行學(xué)習(xí)，可以使 學(xué)生利用自己原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)“同化”和“索引”出當(dāng)前要探索的新 知識(shí)，促進(jìn)對(duì)新知識(shí)的意義建構(gòu)。本節(jié)課利用4個(gè)問題的提出引導(dǎo)學(xué)生去探究3個(gè)教學(xué)任 務(wù)。2）要關(guān)注學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)是影響新知識(shí)學(xué)習(xí)的重要因素之一，有的學(xué)生能夠從過去的經(jīng)驗(yàn) 中找出與新知識(shí)的聯(lián)系，在比較異同的基礎(chǔ)上進(jìn)一步來理解問題的本質(zhì)。如這節(jié)課中的斜 率和學(xué)生已掌握的坡度的聯(lián)系。3）要提供探索交流合作的空間讓學(xué)生在教師的組織引導(dǎo)下，一起討論和交流，在交流中同學(xué)們獲取信息，在交流中 同學(xué)們數(shù)學(xué)思想變得清晰，在交流中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)得以深入和發(fā)展，本節(jié)課提供了學(xué)生探索交 流的合作的空間，通過問題學(xué)習(xí)，通過探索、通過交流，澄清了錯(cuò)誤的