數(shù)理方程與特殊函數(shù)：幾種特殊區(qū)域上狄氏問題格林函數(shù)

1、1本次課主要內(nèi)容(一)、平面狄氏問題格林函數(shù)幾種特殊區(qū)域上狄氏問題格林函數(shù) (二)、狄氏問題格林函數(shù)的求法2 (一)、平面狄氏問題格林函數(shù) 1、平面狄氏問題格林函數(shù)的引出平面泊松方程狄氏問題為：(1)、解的積分表達(dá)式設(shè)u(x,y)為定解問題對應(yīng)的洛平問題的解，令v(x,y)為DL上調(diào)和函數(shù)。3由第二格林公式：由第三格林公式，如下定解問題的解為：4將*與*相加可得如下等式：在*中，令：當(dāng)G(M,M0)滿足5時，得平面泊松方程狄氏問題的解的積分表達(dá)式，即：定理：平面泊松方程狄氏問題的解為：推論：平面拉氏方程狄氏解為：6定義：若G(M,M0)滿足：則稱G(M,M0)為定義在DS上的平面狄氏格林函數(shù)。

2、物理意義：首先，對于方程G(M,M0 )=-(M-M0)來說，其物理意義是：平面中M0點處有一電量為(真空中的介電常數(shù)）的正點電荷，在M處產(chǎn)生的電勢為G(M,M0),其大小為G(M,M0)=-1/2lnr；(2)、平面狄氏格林函數(shù)的定義與性質(zhì) 其次，狄氏格林函數(shù)定解問題可以理解為：接地導(dǎo)電圈內(nèi)M0處有正點電荷和它在邊界上產(chǎn)生的感應(yīng)電荷在圈內(nèi)M處產(chǎn)生的電勢的疊加為G(M,M0),其大小為G(M,M0)= -1/2lnr +v(x,y)。7性質(zhì)1：平面狄氏格林函數(shù)的性質(zhì)其中：性質(zhì)2 Green函數(shù)具有對稱性，即 ：8狄氏問題解的積分表達(dá)式總結(jié)1、三維情形：積分表達(dá)式為：92、二維情形：積分表達(dá)式為

3、：10三維空間中特殊區(qū)域上狄氏格林函數(shù)的求法 (二)、特殊區(qū)域上狄氏問題格林函數(shù)的求法方法：鏡像法 求三維空間中區(qū)域VS上狄氏格林函數(shù),可考慮一接地導(dǎo)體殼S，在VS內(nèi)M0處放置電量為0的正點電荷，由格林函數(shù)物理意義：G(M,M0)等于V內(nèi)電荷0與感應(yīng)電荷在M處產(chǎn)生的電勢的疊加。這可以通過如下方法求：在V外找一個M0關(guān)于S的像點，在該點放置一負(fù)電荷，使它與0在S上產(chǎn)生的電勢疊加為零，則它們在M處的電勢疊加等于G(M,M0).(1)、球形域內(nèi)狄氏問題格林函數(shù)11分析：問題等價于接地球內(nèi)M0處電量為0的正點電荷在M處產(chǎn)生的電勢。由鏡像法：可設(shè)想在OM0的延長線上M1處，求一電量為-q的點電荷，使0和

4、-q在S上的電勢疊加為0，則它們在M處的電勢疊加就為格林函數(shù)G(M,M0)M0MM1xyzO12即：且滿足：于是得：M0MM1xyzO13所以：M0MM1xyzO14所以： 有：于是有：所以，所求格林函數(shù)為：15其中：例1、寫出球域內(nèi)狄式問題的解解：泊松方程狄氏問題的解為：16在球面上在球域上，由于：17所以：所以，球域上狄氏問題的解為：18問題：寫出球域上拉氏狄氏問題的解的球坐標(biāo)表達(dá)式。球坐標(biāo)變換：所以：19所以，球域內(nèi)拉氏方程狄氏問題解為：20在球坐標(biāo)系下，由于 的方向余弦分別為：所以：M0MM1xyzO21例2 設(shè)有一半徑為R的均勻球，上半球面的溫度保持零度，下半球面溫度保持1度。求球內(nèi)

5、的穩(wěn)定溫度分布以及溫度在球的鉛垂直徑：0=0(直徑的上半部分)上的溫度分布。解：定解問題為：由球域內(nèi)拉氏方程狄氏問題解的積分表達(dá)式得：22下面求0=0時的溫度分布.23此時有cos=cos,所以：24(2)、上半空間狄氏問題的Green函數(shù) 分析：問題等價于上半空間M0處電量為0的正點電荷在M處產(chǎn)生的電勢，且在xoy平面上為0。由鏡像法：格林函數(shù)G(M,M0)等于在(x0,y0,-z0)處置一電量為- 0的點電荷在M處產(chǎn)生的電勢與M0處電量為0的正點電荷在M處產(chǎn)生的電勢的疊加。yM0M1Mxzo25所以有：即：26 例3、寫出上半空間狄式問題的解解：泊松方程狄氏問題的解為：由于：27所以上半空間泊松方程狄氏問題的解為：而上半空間拉氏方程狄氏問題的解為：28例4、設(shè)在均勻的上半空間邊界上保持定常溫度，在園K:x2+y21內(nèi)等于1，而在其外等于零，求在上半空間中的穩(wěn)定溫度分布和正半z軸上的