十三章圓錐曲線

1、第十三章圓錐曲線方程的曲線：在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作適合某種條件的點的集合或軌跡)上的點與一個二元方程f(x,y)=o的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解；以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點，那么這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線。點與曲線的關(guān)系：若曲線C的方程是f(x,y)=0，則點PO(xO,yO)在曲線C上=f(x0,y0)=0;點PO(xO,yO)不在曲線C上f(x0,y0)工0。兩條曲線的交點：若曲線C1,C2的方程分別為f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,則點PO(xO,yO)是C1,C2的交點fi(Xo,yo)=O=方

2、程組有n個不同的實數(shù)解，兩條曲線就有n個不同的交點；方程組沒有實數(shù)解，曲線就沒f2(x,y)=0有交點。二、圓：1、定義：點集M|OM|=r,其中定點O為圓心，定長r為半徑.2、方程：(1)標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心在c(a,b)，半徑為r的圓方程是(x-a)2+(y-b)2=r2圓心在坐標(biāo)原點，半徑為r的圓方程是x2+y2=r2一般方程：當(dāng)D2+E2-4F0時，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程，圓心為(-D廠E)半2222徑是.D2E24F。配方，將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化為(x+)2+(y+匚)2=DE-4F2224當(dāng)D2+E2-4F=0時，方程表示一個點(-D,

3、-E);22當(dāng)D2+E2-4FV0時，方程不表示任何圖形.點與圓的位置關(guān)系已知圓心C(a,b),半徑為r,點M的坐標(biāo)為(x0,y0)，則|MC|Vru點M在圓C內(nèi)，|MC|=點M在圓C上，|MC|r=點M在圓C內(nèi)，其中|MC|=.(xo-a)2(y0-b)2。直線和圓的位置關(guān)系：直線和圓有相交、相切、相離三種位置關(guān)系：直線與圓相交=有兩個公共點；直線與圓相切有一個公共點；直線與圓相離沒有公共點。直線和圓的位置關(guān)系的判定：(i)判別式法；(ii)利用圓心C(a,b)到直線Ax+By+C=0的距離6=C與寸A2+B2半徑r的大小關(guān)系來判定。三、圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)的動點P(x,y)到一個定點

4、F(c,0)的距離與到不通過這個定點的一條定直線I的距離之比是一個常數(shù)e(e0),則動點的軌跡叫做圓錐曲線。其中定點F(c,0)稱為焦點，定直線I稱為準(zhǔn)線，正常數(shù)e稱為離心率。當(dāng)0vev1時，軌跡為橢圓；當(dāng)e=1時，軌跡為拋物線；當(dāng)e1時，軌跡為雙曲線。四、橢圓、雙曲線、拋物線：橢圓雙曲線拋物線定義到兩定點F1,F2的距離之和為定值2a(2a|F1F2|)的點的軌跡與定點和直線的距離之比為定值e的點的軌跡.(0e1)到兩定點F1,F2的距離之差的絕對值為定值2a(02a1)與定點和直線的距離相等的點的軌跡軌跡條件點集：(M|MF1+|MF2|=2a,|F1F2|2a.點集M|MF|=點M到直線

5、l的距離.圖形M-z1方程標(biāo)準(zhǔn)方程22xy+=1ab(ab0)22x-y=1ab(a0,b0)y2=2px參數(shù)方程x=acos日=bsin日（參數(shù)日為離心角）=asec9y=btan日（參數(shù)日為離心角）x=2pt2J_2pt(t為參數(shù))范圍axa,byb|x|a,yRx0中心原點0(0,0)原點O(0,0)頂點(a,0),(a,0),(0,b),(0,b)(a,0),(a,0)(0,0)對稱軸x軸，y軸；長軸長2a,短軸長2bx軸，y軸；實軸長2a,虛軸長2b.x軸焦占八、八、F1(c,0),F2(c,0)F1(c,0),F2(c,0)F(衛(wèi),0)2準(zhǔn)線a2x=c準(zhǔn)線垂直于長軸，且在橢圓外2a

6、x=c準(zhǔn)線垂直于實軸，且在兩頂點的內(nèi)側(cè).x=-衛(wèi)2準(zhǔn)線與焦點位于頂點兩側(cè)，且到頂點的距離相等.焦距2c(cM-b2)2c(c*a2+b2)離心率e=c(0ce)ace=(eA1)ae=1【備注1】雙曲線:2222x2a等軸雙曲線：雙曲線xy=_a稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為y二-X，離心率e222xy2-0ab22xy2-0ab共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線22xy-22ab互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線:共漸近線的雙曲線系方程:的漸近線方程為a2_b2一。如果雙曲線的漸近線為上5ab時,22與=心工0)它的雙曲線方程可設(shè)為abx2

7、【備注2】拋物線:(1)拋物線y2=2px(p0)的焦點坐標(biāo)是p(2,0)，準(zhǔn)線方程x=-衛(wèi)，開口向右；拋物線y2=-2px(p0)的焦點坐標(biāo)2是(-?o),準(zhǔn)線方程x誇，開口向左;拋物線x2=2py(p0)的焦點坐標(biāo)是(0,)，準(zhǔn)線方程y=-E，開口向上;22拋物線x2=-2py(p0)的焦點坐標(biāo)是(拋物線x2=-2py(p0)的焦點坐標(biāo)是(0,-)，準(zhǔn)線方程y=，開口向下.22拋物線y=2px(p0)上的點M(x0,y0)與焦點F的距離MF拋物線y=2px(p0)上的點M(x0,y0)與焦點F的距離MF2拋物線y=-2px(p0)上的點M(x0,y0)與焦點F的距離MF與焦點F的距離MF設(shè)

8、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p0)，則拋物線的焦點到其頂點的距離為p，頂點到準(zhǔn)線的距離p，焦點22到準(zhǔn)線的距離為p.已知過拋物線y2=2px(p0)焦點的直線交拋物線于A、B兩點，則線段AB稱為焦點弦，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，2p2則弦長AB=x,+X2+P或AB=(a為直線AB的傾斜角),y2=p,sina2p2則弦長AB=x,+X2+P或AB=(a為直線AB的傾斜角),y2=p,sinax/22p4AF=x,+衛(wèi)(AF2叫做焦半徑).五、坐標(biāo)的變換:坐標(biāo)變換：在解析幾何中，把坐標(biāo)系的變換(如改變坐標(biāo)系原點的位置或坐標(biāo)軸的方向)叫做坐標(biāo)變換.實施坐標(biāo)變換時，點的位置，曲線的

9、形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改變點的坐標(biāo)與曲線的方程坐標(biāo)軸的平移：坐標(biāo)軸的方向和長度單位不改變，只改變原點的位置，這種坐標(biāo)系的變換叫做坐標(biāo)軸的平移，簡稱移軸。9x,y)，在新坐標(biāo)系xOyx二xh亠x二x_h或y=yky=y_k坐標(biāo)軸的平移公式：設(shè)平面內(nèi)任意一點M，它在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是中的坐標(biāo)是(x,y).設(shè)新坐標(biāo)系的原點O在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是(h,k)，則叫做平移(或移軸)公式.中心或頂點在(h,k)的圓錐曲線方程見下表:方程焦占八、八、焦線對稱軸橢圓22(x-h)(y-k)2+=1ab(c+h,k)2ax=+hcx=hy=k22(x-h)丄(y-k)2+2=1ba(h,c+

10、k)2ay=+kcx=hy=k雙曲線22(x-h)(y-k)一2.21ab(c+h,k)2ax=+kcx=hy=k22(y-k)(x-h)一2.21ab(h,c+h)2ay=+kcx=hy=k拋物線(y-k)2=2p(x-h)pV+h,k)2px=+h2y=k(y-k)2=-2p(x-h)p(-上+h,k)2px=+h2y=k(x-h)2=2p(y-k)p(h,-+k)2py=-一+k2x=h(x-h)2=-2p(y-k)p(h,-+k)2py=+k2x=h六、橢圓的常用結(jié)論：點P處的切線PT平分PF1F2在點P處的外角.PT平分PF1F2在點P處的外角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以

11、長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相離.以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切22若P0(xo,yo)在橢圓篤吿=1上，則過Po的橢圓的切線方程是X2abab22若F0(xo,y)在橢圓-yr=1外，則過Po作橢圓的兩條切線切點為pi、P2,則切點弦P1P2的直線方程是ab22ab22橢圓二比=1(abo)的左右焦點分別為F1,F2，點P為橢圓上任意一點RPF?二，則橢圓的焦點角ab2V形的面積為SfpF2=bta.22橢圓令g=1(abo)的焦半徑公式|MF1|=aexo,|MF2|=a_ex)(吒(弋,0),F2(c,0)M(xo,yo).a

12、b設(shè)過橢圓焦點F作直線與橢圓相交P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點F的橢圓準(zhǔn)線于M、N兩點，貝UMF丄NF.過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點P、Q,A1、A2為橢圓長軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M,A2P和A1Q交于點N，貝UMF丄NF.2八yAB是橢圓2=1的不平行于對稱軸的弦，M(X,y。)為AB的中點，貝UkoMkABabb22，即KABab2Xo。ayox若P)(x,y。)在橢圓二2=1內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是2abaxxyoy2_2Xo2y0a2【推論】：【推論】：2xyx1、若P)(x0,y0)在橢圓一22-1內(nèi)，則過Po的弦中點的

13、軌跡方程是2abab22xy12.2ab(abo)的兩個頂點為A(a,0),A2(a,0)，與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌22跡方程是冷一再=1.ab222、過橢圓芻+每=1(a0,b0)上任一點A(x0,y)任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B,C兩點，貝U直線abBC有定向且kBcBC有定向且kBcbx0（常數(shù)）2ay。223、若P為橢圓篤每=1(ab0)上異于長軸端點的任一點,F1,F2是焦點,卩卩人工PF2R二,ab則aY=tan-cot.ac224、設(shè)橢圓xy廠1(ab0)的兩個焦點為F1、F2,P(異于長軸端點)為橢圓上任意一點，在PF1F2中,記.

14、F1PF2，PF1F2，F(xiàn)1F2P二，則有空de.sinP+sina225、若橢圓篤與=1(ab0)的左、右焦點分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為L,則當(dāng)0vew、2-1時，可在橢圓ab上求一點P,使得PF1是P到對應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項.22xy6、P為橢圓一22=1(ab0)上任一點,F1,F2為二焦點，A為橢圓內(nèi)一定點，則ab2a-1AF21-|PAIPF1匸2a|AF1|，當(dāng)且僅當(dāng)AF?,P三點共線時，等號成立22橢圓口1=1與直線axabBy0C有公共點的充要條件是A2a2B2b2一化By。C）2.8、已知橢圓2=1(ab0),O為坐標(biāo)原點，P、Q為橢圓上兩動點，且OP_OQ.(1)

15、ab丄.丄|OP|2|OQ|211；(2)|OP|2+|OQ|2的最大值為ab4a2b2a2b2(3)2b2SOPQ的最小值是a2Ja+b22xy9、過橢圓2=1(ab0)的右焦點F作直線交該橢圓右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于abP,則P,則|PF|MN|22Xy10、已知橢圓2=1(ab0),A、B、是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點P(Xo,O),aba2-b2a2-b2:x2211、設(shè)P點是橢圓2=1(ab0)上異于長軸端點的任一點，F(xiàn)1、F2為其焦點記FfF?-，則ab(1)|PF1|PF2|=2b.(2)S勒F2=b2ta1+COS廿22x12、設(shè)A、B

16、是橢圓pa2爲(wèi)=1(ab0)的長軸兩端點，P是橢圓上的一點，PAB=，bPBA=：,BPA二,PBA=：,BPA二,c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1)|PA|二22ab|cos：|222a-ccos22tan：tan：=1-e2.(3)SPtan：tan：=1-e2.(3)SP2ab丄AB22cOtb-a22xy13、已知橢圓2=1(ab0)的右準(zhǔn)線I與x軸相交于點E,過橢圓右焦點F的直線與橢圓相交于A、abB兩點，點C在右準(zhǔn)線l上，且BCx軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點.14、過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直15、過橢圓

17、焦半徑的端點作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直16、橢圓焦三角形中，內(nèi)點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).(注:在橢圓焦三角形中，非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點)17、橢圓焦三角形中，內(nèi)心將內(nèi)點與非焦頂點連線段分成定比e.18、橢圓焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外點到橢圓中心的比例中項七、雙曲線的常用結(jié)論：1、點P處的切線PT平分PF1F2在點P處的內(nèi)角.2、PT平分PF1F2在點P處的內(nèi)角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點3、以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相交.4、以焦點半

18、徑PF1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切.(內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支)225、若PXxny。)在雙曲線xy=1(a0,b0)上,則過F0的雙曲線的切線方程是彎-馬=1.abab6、若P0(Xo,yo)在雙曲線2=1(a0,b0)夕卜，則過Po作雙曲線的兩條切線切點為P1、P2，則切點ab弦P1P2的直線方程是XX一與=1.a2b2227、雙曲線篤爲(wèi)=1(a0,bo)的左右焦點分別為abF1,F2,點P為雙曲線上任意一點RPF2二，則雙曲線的焦點角形的面積為曲線的焦點角形的面積為SF1PF222Xy8、雙曲線2=1(a0,bo)的焦半徑公式：(F1(-c,0),F2(c,0)當(dāng)M(Xo，

19、y)在右支上時,ab|MF|=ex)a,|MF2|=ex3-a；當(dāng)M(Xd,y0)在左支上時，|MR卜-exja,|MF2卜-exj-a。9、設(shè)過雙曲線焦點F作直線與雙曲線相交P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點，連結(jié)應(yīng)于焦點F的雙曲線準(zhǔn)線于M、N兩點，貝UMF丄NF.10、過雙曲線一個焦點F的直線與雙曲線交于兩點P、Q,A1、A2為雙曲線實軸上的頂點,M,A2P和A1Q交于點N，貝UMF丄NF.2Xa11、AB是雙曲線2y2-1(a0,b0)的不平行于對稱軸的弦，M(x,y)bAP和AQ分別交相A1P和A2Q交于點AB的中點，則KKbkOMAB2ay，即KABb2xa2y12、若P0X0Y0

20、)在雙曲線2yx0 x2=1(a0,b0)內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是-0rbayy22X0互2_以ab2x13、若F0(x0,y0)在雙曲線a22yx2=1(a0,b0)內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡方程是2ba2yX0Xyy.2-2-bab2【推論】：22P1、P2P1、P21、雙曲線篤-=1(a0,b0)的兩個頂點為A(-a,0)A(a,0)，與y軸平行的直線交雙曲線于ab22時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是篤每=1.ab22xy2、過雙曲線2=1(a0,bo)上任一點A(x,y)任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于B,C兩點，abb2X則直線BC有定向且kBC2(常數(shù)).ay22

21、3、若P為雙曲線2$=1(a0,b0)右(或左)支上除頂點外的任一點,F1,F2是焦點，-PRF?二,abc_aapc-aPaf則盯ro巧(或)4、設(shè)雙曲線2T(a0,b0)的兩個焦點為F1、F2,P(異于長軸端點)為雙曲線上任意一點，在厶PF1F2abTOCo1-5hzsinac中，記.F1PF2二：，.PF1F2二、F1F2P二，則有e.士(sinYsin0)a225、若雙曲線篤-爲(wèi)=1(a0,b0)的左、右焦點分別為F1、F2,左準(zhǔn)線為L,則當(dāng)1vew、,2-1時，可在ab雙曲線上求一點P,使得PF1是P到對應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項.226、P為雙曲線冷-與=1(a0,b0)上任一

22、點,F1,F2為二焦點，A為雙曲線內(nèi)一定點，則ab|AF2|-2a0,b0)與直線AxByC=0有公共點的充要條件是Aa-Bba0),O為坐標(biāo)原點，P、Q為雙曲線上兩動點，且OP丄OQ.ab(1)(1)111|OP|2|OQ|2_a2；(2)|OP|2+|OQ|2的最小值為4a2b2b2-a2(3)2b2SoPQ的最小值是-4-2b-a229、過雙曲線篤-每=1(a0,b0)的右焦點F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線ab交x軸于P,貝UPFe.|MN|222xy10、已知雙曲線2=1(a0,b0),A、B是雙曲線上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點P(x),0),

23、ab2222則ababTOCo1-5hz則x或x.aa22xy11、設(shè)P點是雙曲線2=1(a0,b0)上異于實軸端點的任一點，F(xiàn)1、F2為其焦點記7，則ab(1)|PF1|PF2|=12b.(2)SF2=b2cotf.2x12、設(shè)A、B是雙曲線-a1-cos日222ab|cos：|22ab|cos：|P1(a0,b0)的長軸兩端點，P是雙曲線上的一點，PAB-,-PBA=2,BPA=Jc、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1)|PAF222.|a-ccos”|22匕2(2)tantanP=1e2.(3)S由ab=22cot戈b+a13、已知雙曲線2T（a0,b0）的右準(zhǔn)線I與x軸相交于點E，

24、過雙曲線右焦點F的直線與雙曲線相ab交于A、B兩點，點C在右準(zhǔn)線丨上，且BC_x軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點.14、過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直.TOCo1-5hz15、過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.16、雙曲線焦三角形中，外點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e（離心率）.（注:在雙曲線焦三角形中，非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點）.17、雙曲線焦三角形中，其焦點所對的旁心將外點與非焦頂點連線段分成定比e.18雙曲線焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外點到雙曲線中心的比例中項拋物線的常用結(jié)論：/4ac-b2b、2（）2y=2px（p）則焦點半徑PPF=x12PPF=y+_22y=2px（p）則焦點半徑ay加y+c=x頂點4a2a2;x=2py（p）則焦點半徑為通徑為2