彈性力學(xué)-平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答課件

1、平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答4-1 極坐標(biāo)中的平衡微分方程4-9 圓孔的孔邊應(yīng)力集中4-4 應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式4-3 極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程4-2 極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程4-5 軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移4-6 圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫?。壓力隧?-7 曲梁的純彎曲4-8 圓盤在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)中的應(yīng)力及位移4-10 楔形體在楔頂或楔面受力4-11 半平面體在邊界上受法向集中力習(xí)題課4-1 極坐標(biāo)中的平衡微分方程 在處理彈性力學(xué)問(wèn)題時(shí)，選擇什么形式的坐標(biāo)系統(tǒng)，雖不會(huì)影響對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的描繪，但卻直接關(guān)系到解決問(wèn)題的難易程度。如坐標(biāo)選得合適，可使問(wèn)題大為簡(jiǎn)化。例如對(duì)于圓形、楔形、扇

2、形等物體，采用極坐標(biāo)求解比用直角坐標(biāo)方便的多。圖41 考慮平面上的一個(gè)微分體 ，沿 方向的正應(yīng)力稱為徑向正應(yīng)力，用 表示，沿 方向的正應(yīng)力稱為切向正應(yīng)力，用 表示，剪應(yīng)力用 表示，各應(yīng)力分量的正負(fù)號(hào)的規(guī)定和直角坐標(biāo)中一樣。徑向及環(huán)向的體力分量分別用 及 表示。如圖4-1。平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 考慮圖示單元體的平衡，有三個(gè)平衡方程：由 ，可以得出剪應(yīng)力互等關(guān)系：由 ，有：由 ，有：平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答因?yàn)?很微小，所以取 ， ，并用 代替 ，整理以上兩式，得：這就是極坐標(biāo)的平衡微分方程。 兩個(gè)平衡微分方程中包含三個(gè)未知函數(shù) 、 和 ，所以問(wèn)題是靜不定的。因此必須考慮變形條件和物理關(guān)系。 上述方程

3、和直角坐標(biāo)系下的平衡方程有所不同，直角坐標(biāo)系中，應(yīng)力分量?jī)H以偏導(dǎo)數(shù)的形式出現(xiàn)，在極坐標(biāo)系中，由于微元體垂直于半徑的兩面面積不等，而且半徑愈小差值愈大，這些反映在方程里帶下劃線的項(xiàng)中。平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答一、幾何方程位移與形變間的微分關(guān)系4-2 極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答在極坐標(biāo)中規(guī)定: -徑向正應(yīng)變-環(huán)向正應(yīng)變-剪應(yīng)變(徑向與環(huán)向兩線段之間的直角的改變)-徑向位移-環(huán)向位移用疊加法討論極坐標(biāo)中的形變與位移間的微分關(guān)系。圖4-2（1）假定只有徑向位移，而無(wú)環(huán)向位移。如圖4-2所示。平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答徑向線段 的正應(yīng)變?yōu)椋涵h(huán)向線段 的正應(yīng)變?yōu)椋簭较蚓€段 的轉(zhuǎn)角為：環(huán)向線段

4、的轉(zhuǎn)角為：可見(jiàn)剪應(yīng)變?yōu)椋浩矫鎲?wèn)題的極坐標(biāo)解答（2）假定只有環(huán)向位移，而無(wú)徑向位移。如圖4-3所示。圖4-3徑向線段 的正應(yīng)變?yōu)椋涵h(huán)向線段 的正應(yīng)變?yōu)椋簭较蚓€段 的轉(zhuǎn)角為：環(huán)向線段 的轉(zhuǎn)角為：可見(jiàn)剪應(yīng)變?yōu)椋浩矫鎲?wèn)題的極坐標(biāo)解答 如果同時(shí)存在徑向和環(huán)向位移，則由疊加法得：這就是極坐標(biāo)中的幾何方程。二、物理方程（1）平面應(yīng)力情況：平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答（2）平面應(yīng)變情況： 將上式中的 換為 ， 換為 。4-3 極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 為了得到極坐標(biāo)中用應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力和相容方程，利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系：得到：平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 在=0時(shí)，極坐標(biāo)的各分量和直角坐標(biāo)各分量

5、相同。將上面各式代入應(yīng)力分量的表達(dá)式（常體力）：（a）（b）（c）平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答得到：可以證明，當(dāng)體力為零時(shí)，這些應(yīng)力分量確能滿足平衡微分方程。由（a）+（b），得：于是由直角坐標(biāo)的相容方程：得到極坐標(biāo)中的相容方程：平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 用極坐標(biāo)求解平面問(wèn)題時(shí)（體力不計(jì)），就只須從相容方程求解應(yīng)力函數(shù) ，然后求出應(yīng)力分量，再考察應(yīng)力分量是否滿足邊界條件，多連體還要滿足位移單值條件。4-4 應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 在一定的應(yīng)力狀態(tài)下，如果已知極坐標(biāo)中的應(yīng)力分量，就可以利用簡(jiǎn)單的關(guān)系式求得直角坐標(biāo)中的應(yīng)力分量。反之，如果已知直角坐標(biāo)中的應(yīng)力分量，也可以利用簡(jiǎn)單的關(guān)系式求得極

6、坐標(biāo)中的應(yīng)力分量。 設(shè)已知極坐標(biāo)中的應(yīng)力分量 、 、 。試求直角坐標(biāo)中的應(yīng)力分量 、 、 。圖4-4 如圖4-4，在彈性體中取微小三角板 ，各邊上的應(yīng)力如圖所示。三角板的厚度取為一個(gè)單位。令 邊的長(zhǎng)度為 ，則 邊及 邊的長(zhǎng)度分別為 及 。 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 根據(jù)三角板 的平衡條件 ，可得平衡方程：用 代替 ，得：同理，由平衡條件 ，可得：另取微小三角板 ，如圖4-4，根據(jù)平衡條件 ，得到： 綜合以上結(jié)果，得出應(yīng)力分量由極坐標(biāo)向直角坐標(biāo)的變換式為：平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答利用簡(jiǎn)單的三角公式，上式可改寫為：4-5 軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 如果應(yīng)力分量?jī)H是半徑的函數(shù)，如受內(nèi)外壓的

7、圓環(huán)，稱為軸對(duì)稱問(wèn)題。 采用逆解法，假定應(yīng)力函數(shù) 僅是徑向坐標(biāo) 的函數(shù):相容方程簡(jiǎn)化為:這是一個(gè)四階常微分方程，它的通解為: 這時(shí)，應(yīng)力的表達(dá)式為:平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 正應(yīng)力分量?jī)H是 的函數(shù)，與 無(wú)關(guān)，并且剪應(yīng)力為零，應(yīng)力分量對(duì)稱于通過(guò)z軸的任一平面，稱為軸對(duì)稱應(yīng)力。 將上述應(yīng)力的表達(dá)式代入應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式中，可以得到應(yīng)變的表達(dá)式,再代入位移與應(yīng)變積分后的幾何方程,得到軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)下的位移分量:平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，須將上面公式 換為 ， 換為 。4-6 圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫?。壓力隧洞平面?wèn)題的極坐標(biāo)解答 如圖4-5，圓環(huán)的內(nèi)半徑為a，外半徑為b，受內(nèi)壓力qa，外壓力qb。

8、為軸對(duì)稱問(wèn)題。根據(jù)上節(jié)有解為:圖4-5邊界條件為:一、圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫ζ矫鎲?wèn)題的極坐標(biāo)解答 在這里只有兩個(gè)方程，而有三個(gè)待定常數(shù)，需要從多連體的位移單值條件補(bǔ)充一個(gè)方程。在環(huán)向位移表達(dá)式：中，第一項(xiàng)是多值的，在同一r處， =1和=1+2時(shí)，環(huán)向位移成為多值，這是不可能的，因此，從位移單值條件必須有B=0。 這樣從上面兩個(gè)方程中可解出A和C，代入應(yīng)力分量表達(dá)式，得到拉密解答：于是:由邊界條件得到:平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 下面分別討論內(nèi)壓力和外壓力單獨(dú)作用的情況。（1）只作用均勻內(nèi)壓時(shí)（ ），例如液壓缸，上面解答化為：圖4-6平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答應(yīng)力分布大致如圖4-6所示。當(dāng) 時(shí)，得到具有圓孔的

9、無(wú)限大薄板，或具有圓形孔道的無(wú)限大彈性體，這時(shí)上面的解答成為：（2）只有外壓時(shí)（ ），例如液壓柱塞，上面解答化為：應(yīng)力分布大致如圖4-7所示。圖4-7平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答二、壓力隧洞圖4-8 如圖4-8所示，受均勻內(nèi)壓力 作用的圓筒埋在無(wú)限大彈性體中，圓筒和無(wú)限大彈性體的材料不同。試分別討論兩者的應(yīng)力和位移情況。 兩者都屬于軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題，采用半逆解法。設(shè)圓筒的應(yīng)力表達(dá)式為：平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答設(shè)無(wú)限大彈性體的應(yīng)力表達(dá)式為：由應(yīng)力邊界條件求待定常數(shù) 、 、 、 。（1）在圓筒的內(nèi)表面：由此得：（2）在無(wú)限大彈性體內(nèi)距離圓筒很遠(yuǎn)處幾乎沒(méi)有應(yīng)力。由此得：（3）在圓筒和無(wú)限大彈性體的接觸面上，應(yīng)當(dāng)有

10、：（1）（2）平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答由此得：三個(gè)方程不足以確定四個(gè)常數(shù)，下面來(lái)考慮位移。 由于圓筒和無(wú)限大彈性體都是多連體，并屬于平面應(yīng)變問(wèn)題，可以寫出兩者的徑向位移的表達(dá)式。圓筒：無(wú)限大彈性體：將以上兩式簡(jiǎn)化后得：（3）平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答在接觸面上，兩者應(yīng)具有相同的位移，即：因此有：因?yàn)檫@一方程在接觸面上的任意一點(diǎn)都應(yīng)當(dāng)成立，也就是在 取任何數(shù)值時(shí)都應(yīng)當(dāng)成立，所以方程兩邊的自由項(xiàng)必須相等。于是有：簡(jiǎn)化后，得：其中：（4）平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答聯(lián)立方程（1）、（2）、（3）、（4）求出 、 、 、 ，代入應(yīng)力分量的表達(dá)式，得： 當(dāng) 時(shí)，應(yīng)力分布大致如圖4-8所示。4-7 曲梁的純彎曲平面問(wèn)題的極

11、坐標(biāo)解答 內(nèi)半徑為a，外半徑為b的狹矩形截面的圓軸曲梁，在兩端受大小相等、方向相反的彎矩，為軸對(duì)稱問(wèn)題。有：邊界剪應(yīng)力都為零：圖4-9平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 在梁的內(nèi)外兩面，正應(yīng)力要求:從而可得：在梁端的邊界條件要求:則：平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答將 的表達(dá)式：代入，并由邊界條件得： 在這里有三個(gè)方程和三個(gè)待定常數(shù)，解出A、B和C，代入應(yīng)力分量表達(dá)式，得到郭洛文解答:其中：4-8 圓盤在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)中的應(yīng)力及位移平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答一、等厚度圓盤在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)中的應(yīng)力及位移 設(shè)有等厚度圓盤，繞其回轉(zhuǎn)軸以勻角速度 旋轉(zhuǎn)。圓盤可以認(rèn)為是在下面的體力作用下處于平衡狀態(tài)： 由于這里是軸對(duì)稱的物體受軸對(duì)稱的體力，所以應(yīng)

12、力分布也是軸對(duì)稱的。 即：應(yīng)力分量 及 都只是 的函數(shù)，而 。所以有平衡微分方程：令：(1)平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 在這里，由于圓盤只受回轉(zhuǎn)軸的約束，而這種約束是軸對(duì)稱的，所以它的彈性位移也是軸對(duì)稱的。即：徑向位移 ，而環(huán)向位移 。于是幾何方程簡(jiǎn)化為：消去 ，得到相容方程：解方程得到：將物理方程代入，再聯(lián)立式(1)，得到由應(yīng)力函數(shù) 表示的相容方程：聯(lián)立式（1），得：(2)平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答其中 和 是任意常數(shù)。 盤邊的邊界條件：其中 是圓盤的半徑。代入式（2），得：取 ，代入式（2）得應(yīng)力分量的表達(dá)式為：最大應(yīng)力在圓盤的中心：徑向位移：平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答在圓盤的中心（ ）， 。最大彈性位移發(fā)

13、生在圓盤的邊緣（ ）：二、變厚度圓盤在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)中的應(yīng)力及位移 假定圓盤的厚度為 ，而應(yīng)力不沿厚度變化，則等厚度圓盤的微分方程可以近似地應(yīng)用于每單位厚度的圓盤。于是可得全厚度內(nèi)的平衡微分方程為：令：可得： 取厚度的變化規(guī)律為：其中 是常數(shù)， 為任意正數(shù)。則上式成為：平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答解方程，得：其中 和 是任意常數(shù)，而：由此可得出應(yīng)力分量：由邊界條件 ，求得： 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答為了應(yīng)力在圓盤的中心（ ）處不成為無(wú)限大，取 。從而得應(yīng)力分量為：且，有：4-9 圓孔的孔邊應(yīng)力集中平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 板中開(kāi)有小孔，孔邊的應(yīng)力遠(yuǎn)大于無(wú)孔時(shí)的應(yīng)力，也遠(yuǎn)大于距孔稍遠(yuǎn)處的應(yīng)力，稱為孔邊應(yīng)力集中。 應(yīng)力

14、集中的程度與孔的形狀有關(guān)。一般說(shuō)來(lái)，圓孔孔邊的集中程度最低。這里簡(jiǎn)略討論圓孔孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題，較為復(fù)雜的孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題一般用復(fù)變函數(shù)方法，在第五章中進(jìn)行討論。圖4-10一、 矩形板左右兩邊受集度為q的均布拉力平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 設(shè)有矩形薄板，在離開(kāi)邊界較遠(yuǎn)處有半徑為 的小圓孔，在左右兩邊受均布拉力，其集度為 ，如圖4-10。 以遠(yuǎn)大于 的某一長(zhǎng)度 為半徑，以小孔中心為圓心作圓，根據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的變換公式，得到大圓的邊界條件：上述面力可以分解成兩部分，其中第一部分是：第二部分是：求面力（a）所引起的應(yīng)力。令： 。得： (a)(b)平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答由于 ，所以可近似地取 ，從而得到解答

15、：求面力（b）所引起的應(yīng)力。采用半逆解法：假設(shè) 為 的某一函數(shù)乘以 ，而 為 的另一函數(shù)乘以 。即：又應(yīng)力函數(shù)和應(yīng)力分量之間的關(guān)系為：因此可以假設(shè)：代入相容方程，得：平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答刪去 ，求解常微分方程，得：從而得應(yīng)力函數(shù)：從而得應(yīng)力分量： 對(duì)上式應(yīng)用邊界條件（b），并由邊界條件：得到方程：平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答求解 、 、 、 ，令 ，得：將各已知量代入應(yīng)力分量表達(dá)式，即得齊爾西的解答：平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答二、矩形板四邊受q的均布拉力 如果矩形薄板在左右兩邊受有均布拉力 ，并在上下兩邊受有均布拉力 ，如圖4-11，也可由前面解答得出應(yīng)力分量。首先命該解答中的 等于 ，然后命該解答中的 等

16、于 ，將 用 代替，最后將兩個(gè)結(jié)果相疊加。得到：圖4-114-10 楔形體在楔頂或楔面受力平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答圖4-12 楔形體的中心角為 ，下端為無(wú)限長(zhǎng)。1. 頂部受集中力P 設(shè)楔形體在楔頂受有集中力，與楔形體的中心線成角 。取單位寬度的部分來(lái)考慮，并令單位寬度上所受的力為 。 楔形體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力分量決定于、P、r、，因此，應(yīng)力分量的表達(dá)式中只包含這幾個(gè)量。其中、是無(wú)量綱的量，因此根據(jù)應(yīng)力分量的量綱，應(yīng)力分量的表達(dá)式應(yīng)取PN/r的形式，其中N是、組成的無(wú)量綱的量。由應(yīng)力函數(shù)的表達(dá)式可以看出應(yīng)力函數(shù)中r的冪次應(yīng)當(dāng)比各應(yīng)力分量的冪次高出兩次，因此可設(shè)： 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答代入相容方程后得：求解

17、這一微分方程，得：不影響應(yīng)力，取：其中于是得：平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答楔形體左右兩面的邊界條件： 上述應(yīng)力分量滿足該邊界條件。集中力P按圣維南原理處理，取出任一圓柱面ab，則該截面上的應(yīng)力和P合成平衡力系：將 的表達(dá)式代入，可求出C、D，最后得到密切爾解答：平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答2.頂部受有力偶M作用圖4-13 設(shè)楔形體在楔頂受有力偶，而每單位寬度內(nèi)的力偶矩為M ，如圖4-13。 根據(jù)和前面相似的分析，應(yīng)力分量應(yīng)為MN/r2的形式，而應(yīng)力函數(shù)應(yīng)與r無(wú)關(guān)。代入相容方程后，得：求解這一微分方程，得： 力偶可看成反對(duì)稱力，正應(yīng)力和應(yīng)力函數(shù)應(yīng)當(dāng)是 的奇函數(shù)，從而A=D=0,于是：平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答楔形體左

18、右兩面邊界條件：上述應(yīng)力分量自動(dòng)滿足第一式，根據(jù)第二式，可得：于是：平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 集中力偶M按圣維南原理處理，取出任一圓柱面ab，則該截面上的應(yīng)力M成平衡力系：最后得到英格立斯的解答：3.一面受均布?jí)毫平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答圖4-14 設(shè)楔形體在一面受有均布?jí)毫?,如圖4-14。 應(yīng)力分量應(yīng)為qN的形式，而應(yīng)力函數(shù)應(yīng)為qNr2的形式：代入相容方程后，得：求解這一微分方程，得:平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答邊界條件為:求解常數(shù)，得應(yīng)力分量的李維解答：4-11 半平面體在邊界上受法向集中力平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答利用坐標(biāo)變換可得到直角坐標(biāo)中的應(yīng)力分量式（2）：（1）（2） 命楔形體的中心角等于一個(gè)平角，

19、這楔形體的兩個(gè)側(cè)邊就連成一個(gè)直邊，而楔形體就成為一個(gè)半平面體，如圖4-15。一、應(yīng)力分量 當(dāng)平面體在邊界上受有垂直于邊界的力 時(shí)，在密切爾解答中令 、 。于是得式（1）：圖4-15平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答或?qū)⑵渲械臉O坐標(biāo)改為直角坐標(biāo)而得：二、位移分量 假設(shè)是平面應(yīng)力情況。將應(yīng)力分量代入物理方程，得形變分量：再將形變分量代入幾何方程，得：平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答于是可以得出位移分量：其中 、 、 都是任意常數(shù)。 由對(duì)稱條件 ，得：代入式（3），得：（3）平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 如果半平面體不受鉛直方向的約束，則常數(shù) 不能確定。如果半平面體受有鉛直方向的約束，就可以根據(jù)這個(gè)約束條件來(lái)確定常數(shù) 。（4） 邊界

20、上任意一點(diǎn) 向下的鉛直位移，即所謂沉陷。由式（4）中的第二式可得 點(diǎn)的沉陷為： 如果常數(shù) 沒(méi)有確定，則沉陷也不能確定。這時(shí)只能求出相對(duì)沉陷。 在邊界上取定一個(gè)基點(diǎn) ，它距載荷作用點(diǎn)的水平距離為 。則邊界上一點(diǎn) 對(duì)于基點(diǎn) 的相對(duì)沉陷，等于 點(diǎn)的平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答沉陷減去 點(diǎn)的沉陷，如圖4-16：簡(jiǎn)化以后，得：圖4-16 半平面體在邊界上受法向分布力作用時(shí)的應(yīng)力和沉陷,可以由半平面體在邊界上受法向集中力用疊加法得出。平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答練習(xí)1 如圖1所示，由內(nèi)外筒組成的組合筒（長(zhǎng)度有限，兩端自由），裝配前內(nèi)筒的外半徑比外筒的內(nèi)半徑大 ，求接觸壓力 ，并導(dǎo)出環(huán)向預(yù)應(yīng)力的表達(dá)式。解：1.設(shè)裝配后接合

21、處的公共半徑為 ，接觸壓力 使內(nèi)筒的外半徑減小了 ，而使外筒的內(nèi)半徑增大了 ，按位移協(xié)調(diào)條件有：2.將 代入只受內(nèi)壓力作用圓環(huán)的位移公式，得：（1）（2）平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答習(xí)題課圖1平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答（3）將式（2）、（3）代入式（1），得：3.若內(nèi)、外筒為同一種材料，則 ，從上式可解得：4.內(nèi)、外筒的環(huán)向應(yīng)力為：內(nèi)外將 代入只受外壓力作用圓環(huán)的位移公式，得：解：平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答練習(xí)2楔形體頂端受集中力 作用， 與 軸的夾角為 ，如圖2所示。取單位厚度考慮，試確定楔形體內(nèi)的應(yīng)力分量。1.由于描述楔形體幾何特征的角度 是無(wú)量綱的，故可由量綱分析法得知，應(yīng)力函數(shù)中 只能以一次冪形式出現(xiàn)，即：2.由調(diào)和方程求出 后，即可求得應(yīng)力函數(shù)為： 由于 不影響應(yīng)力分量，故可刪去，因此有：（1）（2）（3）（4）圖2平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答3.楔形體兩側(cè)面的邊界條件能自然滿足：考慮半徑為 的楔形體上部的靜力平衡條件：由前兩式可解出 和 ，從而求出應(yīng)力分量（密切爾解）：平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答練習(xí)3求圖3所示問(wèn)題的截面m-n上的應(yīng)力 。解：（a）（