數(shù)學(xué)文化概述-PPT課件

1、歡迎大家！7/17/2022歡迎老師們參加數(shù)學(xué)文化修養(yǎng)提高培訓(xùn)班祝愿大家度過愉快的一周7/17/2022數(shù)學(xué)文化思考：1.數(shù)學(xué)是什么？2.數(shù)學(xué)是文化嗎？3.為什么說數(shù)學(xué)是一種文化？4.什么是數(shù)學(xué)文化？5.數(shù)學(xué)文化具有哪些特征？思考與體會(huì)數(shù)學(xué)作為一種文化所具有的文化教育價(jià)值，數(shù)學(xué)作為一種文化是如何對(duì)人們的行為方式發(fā)生越來越重要的影響的。7/17/20222011版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于數(shù)學(xué)文化的論述：前言： 數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會(huì)每一個(gè)公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)。作為促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展教育的重要組成部分，數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，更要發(fā)揮

2、數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用。 7/17/2022教材編寫建議中指出：（P63） 數(shù)學(xué)文化作為教材的組成部分，應(yīng)滲透在整套教材中。為此，教材可以適時(shí)地介紹有關(guān)背景知識(shí)，包括數(shù)學(xué)在自然與社會(huì)中的應(yīng)用，以及數(shù)學(xué)發(fā)展史的有關(guān)材料，幫助學(xué)生了解在人類文明發(fā)展中數(shù)學(xué)的作用，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，感受數(shù)學(xué)家治學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，欣賞數(shù)學(xué)的優(yōu)美。例如，可以介紹九章算術(shù)、珠算、幾何原本、機(jī)器證明、黃金分割、CT技術(shù)、布豐投針等。7/17/202262003年，“數(shù)學(xué)文化”一詞首次進(jìn)入官方文件7/17/202277/17/202287/17/2022數(shù)學(xué)文化概述講座提綱一、數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)課程、數(shù)學(xué)家二、

3、幾個(gè)引題三、欣賞四、幾個(gè)企業(yè)招聘的真題給數(shù)學(xué)教育的啟示五、數(shù)學(xué)文化六、數(shù)學(xué)文化中的美學(xué)觀7/17/2022一、數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)家1.數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史非常悠久，大約在一萬多年前，人類從生產(chǎn)實(shí)踐中逐漸形成了“數(shù)”和“形”的概念，但真正形成數(shù)學(xué)理論還是從古希臘人開始的。公元前300多年以前，希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得寫了幾何原本一書，這是自古以來所有科學(xué)著作中發(fā)行最廣、沿用時(shí)間最長的巨著。兩千多年來，數(shù)學(xué)的發(fā)展大體可以分為三個(gè)階段：17世紀(jì)以前的初級(jí)階段：常量數(shù)學(xué)，如初等幾何，初等代數(shù)；文藝復(fù)興時(shí)期，進(jìn)入第二階段，即變量數(shù)學(xué)階段：微積分、解析幾何、高等代數(shù)；19世紀(jì)開始，數(shù)學(xué)獲得巨大發(fā)展，形成近代數(shù)

4、學(xué)階段，產(chǎn)生了實(shí)變函數(shù)、泛函分析、非歐幾何、拓?fù)鋵W(xué)、近世代數(shù)、計(jì)算數(shù)學(xué)、數(shù)理邏輯等新的數(shù)學(xué)分支。7/17/2022數(shù)學(xué)科學(xué)按其內(nèi)容可分成五個(gè)大學(xué)科：純粹（基礎(chǔ)）數(shù)學(xué)；應(yīng)用數(shù)學(xué)；計(jì)算數(shù)學(xué)；運(yùn)籌于控制；概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)。7/17/2022近半個(gè)多世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)科學(xué)產(chǎn)生了新的研究領(lǐng)域和方法，如混沌；（如蝴蝶效應(yīng)）分形幾何；（如雪花曲線、海岸線長度問題）小波變換。數(shù)學(xué)發(fā)展至今，已經(jīng)成為擁有100多個(gè)分支的科學(xué)體系，盡管如此，其核心領(lǐng)域還是：代數(shù)學(xué)研究數(shù)的理論；幾何學(xué)研究形的理論；分析學(xué)溝通形與數(shù)且涉及極限運(yùn)算的部分。7/17/2022 數(shù)學(xué)并不是一串枯燥乏味的數(shù)字符號(hào)、難以理解的概念堆積和故弄玄虛的雜

5、技魔術(shù)，更不是有人主觀臆造出來的無根無基的空中樓閣。 數(shù)學(xué)源于實(shí)際，運(yùn)用人類的智慧和努力，經(jīng)過理論的精煉和升華，在更高層次上指導(dǎo)實(shí)際，并有所創(chuàng)造。 但是，我們在教學(xué)中應(yīng)注意弗賴登塔爾曾這樣描述過數(shù)學(xué)的表現(xiàn)形式：“沒有一種數(shù)學(xué)思想，以它被發(fā)現(xiàn)時(shí)的那個(gè)樣子公開發(fā)表出來，一個(gè)問題被解決后，相應(yīng)地發(fā)展為一種形式化技巧，結(jié)果把求解過程丟在一邊，使得火熱的發(fā)明變成冰冷的美麗?！?/17/2022數(shù)學(xué)是科學(xué)之王，數(shù)論是數(shù)學(xué)之王高斯數(shù)學(xué)是科學(xué)大門的鑰匙 培根任何人的研究，沒有經(jīng)過數(shù)學(xué)的證明，就不能認(rèn)為是真正的科學(xué) 達(dá).芬奇數(shù)學(xué)是科學(xué)和技術(shù)的基礎(chǔ)，沒有強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)，就不可能有強(qiáng)有力的科學(xué) 1989年美國報(bào)告人人

6、關(guān)心數(shù)學(xué)教育的未來7/17/2022 數(shù)學(xué)界有國際數(shù)學(xué)家大會(huì)。第一屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)于1897年在瑞士蘇黎世召開。4年舉行一次，之間有3屆大會(huì)因第一、二次世界大戰(zhàn)未如期舉行。2002年8月下旬，第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京舉行，這是自1897年舉行的第一屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)以來首次在中國舉行，也是第一次在發(fā)展中國家舉行。第24屆“國際數(shù)學(xué)家大會(huì)”（ICM）International Congress of Mathematicians7/17/2022世界上的數(shù)學(xué)獎(jiǎng)項(xiàng)共有50余項(xiàng)，其中最受人關(guān)注的是：菲爾茲獎(jiǎng)。只授予40歲以下的數(shù)學(xué)家，四年頒發(fā)一次，每次至多4名。雖只獎(jiǎng)勵(lì)一枚金質(zhì)獎(jiǎng)?wù)潞?500美元。

7、但地位可與諾貝爾獎(jiǎng)相提并論。美籍華裔數(shù)學(xué)家丘成桐于1983年獲得了此獎(jiǎng)。沃爾夫獎(jiǎng)。每次獎(jiǎng)勵(lì)10萬美元，授予當(dāng)代最有影響的數(shù)學(xué)家，每年頒發(fā)一次，1983年旅美中國數(shù)學(xué)家陳省身榮獲此獎(jiǎng)。奈望林納獎(jiǎng)。1982年首次頒發(fā)。7/17/2022中國數(shù)學(xué)獎(jiǎng)：國家級(jí)科技獎(jiǎng)（含數(shù)學(xué)）（1）國家最高科技獎(jiǎng)，2000年開始，吳文俊獲首屆獎(jiǎng)。（2）國家自然科學(xué)獎(jiǎng)，1956年開始。以個(gè)人名義設(shè)置數(shù)學(xué)獎(jiǎng)：許寶騄統(tǒng)計(jì)獎(jiǎng)；陳省身數(shù)學(xué)獎(jiǎng)；華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)；鐘家慶數(shù)學(xué)獎(jiǎng)；馮康科學(xué)計(jì)算獎(jiǎng)；邵逸夫數(shù)學(xué)科學(xué)獎(jiǎng)（2004年陳省身獲首屆獎(jiǎng)，2005年吳文俊獲獎(jiǎng)，每年一次，獎(jiǎng)金100萬美元）；何梁何利基金獎(jiǎng)（陳景潤，王元，柯召等獲過）7/17/

8、20222. 數(shù)學(xué)教育 數(shù)學(xué)作為一門課程進(jìn)入學(xué)校是在公元前就開始了的，柏拉圖時(shí)期就已開始，至今已2400年左右。 柏拉圖甚至認(rèn)為：“如果說不知道正方形的對(duì)角線和邊是不能用同一單位度量的，那他就不值得人的稱號(hào)。”他甚至規(guī)定不懂幾何學(xué)不得進(jìn)他的哲學(xué)學(xué)校。那時(shí)就把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教育、與做人聯(lián)系起來了。歐幾里得說：“在幾何學(xué)里，沒有專為國王鋪設(shè)的大道” 。 中國數(shù)學(xué)有悠久的歷史，也曾達(dá)到極高的水平，但有偏于應(yīng)用的一面，與古希臘數(shù)學(xué)強(qiáng)烈的理性色彩不同。 古希臘數(shù)學(xué)，更接近世界觀，接近哲學(xué)，接近人生。數(shù)學(xué)被作為人類思想的產(chǎn)品，在那里，它也更靠近人文學(xué)，因而也具有獨(dú)特的地位。7/17/20221908年，在羅馬

9、舉行的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上決定建立“國際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)，簡稱ICMI.”克萊因被選為第一任主席。 ICMI主要是交流各國的數(shù)學(xué)教育情況，包括數(shù)學(xué)教學(xué)大綱的制定，教學(xué)方法的改進(jìn)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平的評(píng)價(jià)等。第二次世界大戰(zhàn)后，各國普遍實(shí)行9-12年的義務(wù)教育制度，這種轉(zhuǎn)變要求數(shù)學(xué)教育要面對(duì)全體民眾，“大眾數(shù)學(xué)”的口號(hào)也就應(yīng)運(yùn)而生。20世紀(jì)60年代“新數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)?！?0世紀(jì)80年代，美國率先提出：“回到基礎(chǔ)”，后又提出“數(shù)學(xué)問題解決?！钡目谔?hào)。中國數(shù)學(xué)教育，建國后約分為四個(gè)時(shí)期：創(chuàng)建時(shí)期（1949-1957），全面學(xué)習(xí)蘇聯(lián)，冷落西方，改革舊教育制度；改革初期（1958-1965）冷落蘇聯(lián)，建立自己教育；破壞時(shí)期

10、（1966-1976）；復(fù)興改革時(shí)期（1977至今），建立有中國特色的教育。7/17/2022研究表明：只有1%的學(xué)生將來會(huì)需要研究數(shù)學(xué)，29%的學(xué)生將來會(huì)使用數(shù)學(xué)，70%的人在離開學(xué)校后不會(huì)再用小學(xué)以上的數(shù)學(xué)知識(shí) 。我們的數(shù)學(xué)教育意義何在？7/17/2022從中國古代的“六藝”教育、希臘古代的“七藝”教育，直到當(dāng)代，數(shù)學(xué)都是教育的核心內(nèi)容之一。人們早已意識(shí)到數(shù)學(xué)不只是讓人學(xué)會(huì)生活和生活得更好的知識(shí)或工具，（教育首先是滿足人的生存和發(fā)展的需要）它還能使人自身得到發(fā)展和完善。有產(chǎn)品的開發(fā)，科技的開發(fā)，可是，人們已認(rèn)識(shí)到，還有人（或人類）自身的開發(fā)。從根本上說，應(yīng)當(dāng)把數(shù)學(xué)教育視為文化素質(zhì)教育，或者

11、說它本應(yīng)當(dāng)是一種文化素質(zhì)教育或人文素質(zhì)教育。數(shù)學(xué)教育一定不僅僅是知識(shí)的教育，更重要的是智慧的教育！要展現(xiàn)數(shù)學(xué)思維和實(shí)踐的過程，要展現(xiàn)數(shù)學(xué)的基本思想。（抽象的思想；推理的思想；模型的思想）史寧中。7/17/2022為什么會(huì)有一些青少年，對(duì)數(shù)學(xué)“望而生畏，望而卻步”？有“恐?jǐn)?shù)癥”？1.不適應(yīng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的特殊要求：抽象的思維方法；嚴(yán)密的邏輯推理；謹(jǐn)慎的計(jì)算過程等。2.對(duì)數(shù)學(xué)缺乏了解和興趣在入門之前或之初就心存恐懼，缺乏斗志，稍受挫折就退卻放棄。7/17/2022事實(shí)上，只要知難而進(jìn)，堅(jiān)持不懈，再配以科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，是可以在廣袤的數(shù)學(xué)園地內(nèi)暢游的，而且不斷地會(huì)感受到樂而忘返，甚至其樂無窮！因?yàn)檫@是一座富

12、麗堂皇的數(shù)學(xué)宮殿！不要站在花園外面，還說花園枯燥無味！7/17/2022群星璀璨（一） 泰勒斯 歐幾里得 畢達(dá)哥拉斯 丟番圖 笛卡爾 韋達(dá) 牛頓 高斯 歐拉 費(fèi)馬 柯西 康托3.數(shù)學(xué)家7/17/2022群星璀璨（二）伽羅華 羅巴契夫斯基 哈密頓 羅素 布勞威爾 希爾伯特 伯努利 阿貝爾 龐加萊 柯爾莫哥洛夫 波利亞 芒德勃羅7/17/2022群星璀璨（三）阿基米德 柏拉圖 拉普拉斯 萊布尼茲 閔可夫斯基 黎曼魏爾斯特拉斯 達(dá)朗貝爾 維納 拉馬努金 馮諾依曼 懷爾斯7/17/2022群星璀璨（四） 劉徽 祖沖之 趙爽 楊輝 秦九韶 朱世杰華羅庚 陳景潤 蘇步青 丘成桐 陳省身 吳文俊7/17/2

13、022二、幾個(gè)引題1.有消息說，香蕉有艾滋病，不能吃。2.另一則消息說： “洋快餐用的雞有4個(gè)腿8個(gè)翅膀。 ”3.周長一定面積最大的平面圖形是什么？為什么？用數(shù)學(xué)的眼光看世界，進(jìn)行數(shù)學(xué)方式地理性思維（ 直覺與理性；說不清道不明與邏輯推理 ）7/17/2022三、欣賞你會(huì)從什么角度欣賞？7/17/20227/17/20227/17/20227/17/20227/17/20227/17/20227/17/20227/17/2022幾何世界知多少平面幾何、立體幾何；解析幾何、微分幾何、高等幾何；歐幾里得幾何；非歐幾何；射影幾何；仿射幾何；曲面上的內(nèi)蘊(yùn)幾何；黎曼幾何7/17/2022分形幾何并不難。認(rèn)

14、識(shí)世界的復(fù)雜性、多樣性、自相似性和對(duì)稱性，體驗(yàn)世界之美妙的同時(shí)，更好地理解數(shù)學(xué)、喜愛數(shù)學(xué)。 畫分形樹 1）畫分形樹：畫樹干；畫兩個(gè)樹枝，注意樹干的角度是120度，長度是樹干的1/2;繼續(xù)在樹枝上畫小樹枝，要求同上。并討論：1）新的樹枝的數(shù)量；2）全部樹枝的數(shù)量；3）新的樹枝的長度；4）全部樹枝的長度，5）設(shè)計(jì)你自己的分形樹。7/17/202239四、幾個(gè)企業(yè)招聘的真題給數(shù)學(xué)教育的啟示試題1 某企業(yè)招聘員工的一道題 有兩個(gè)人賽跑。甲到達(dá)100米終點(diǎn)線時(shí)，乙才跑到90米?，F(xiàn)在如果讓甲的起跑線退后10米，這時(shí)兩人再同時(shí)起跑比賽，問比賽結(jié)果將怎樣？為什么？ 關(guān)注：學(xué)生的思維定勢與思維的靈活性7/17/

15、2022解決方法1：甲的速度比乙的快，問題相當(dāng)于甲多跑10米（后退10米起跑）所化的時(shí)間少于乙再跑10米（從90米處跑到100米終點(diǎn)）的時(shí)間，當(dāng)然還是甲勝出。解決方法2：甲退后10米與乙同時(shí)跑，則同時(shí)跑到90米處（甲追及乙），剩下的10米無疑甲先跑完，故甲勝出。 解決方法3：甲跑完110米時(shí)，乙才跑完99米。7/17/2022試題2 某外企招考員工的一道題 有三個(gè)筐，一個(gè)筐裝著柑子，一個(gè)筐裝著蘋果，一個(gè)筐混裝著柑子和蘋果。裝完后封好了。 然后做了“柑子”、“蘋果”、“混裝”三個(gè)標(biāo)簽，分別往上述三個(gè)筐上貼。由于馬虎，結(jié)果全都貼錯(cuò)了。 請(qǐng)你想一個(gè)辦法，只有一次機(jī)會(huì)，從某一個(gè)筐中拿出一個(gè)水果查看，就

16、能夠糾正所有的標(biāo)簽。7/17/2022思考：1. 是用數(shù)學(xué)解決的問題嗎？2. 1）怎么把握機(jī)會(huì)？從哪筐下手？ 2）怎么推理？7/17/2022貼錯(cuò)標(biāo)簽蘋果柑子混裝（蘋果與柑子）混裝蘋果 若為柑子，則為柑子（因?yàn)椴皇腔煅b?。└套踊煅b蘋果與柑子 若為蘋果，則為蘋果（因?yàn)椴皇腔煅b！） 從混裝筐下手2）糾正“混裝筐”后呢？7/17/2022貼錯(cuò)標(biāo)簽蘋果柑子混裝（蘋果與柑子）可能1若摸出蘋果則是混裝則為蘋果 則為柑子可能2若摸出柑子，則可能是柑子也可能是混裝？ ？ 若從貼著標(biāo)簽是蘋果的筐下手同理， 若從貼著標(biāo)簽是柑子的筐下手也不能保證一次糾正。7/17/2022招聘題實(shí)際上是測試應(yīng)聘者的邏輯推理能力演繹

17、推理。事實(shí)上，這樣的推理能力在小學(xué)就開始培養(yǎng)了。如北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)就有“生活中的推理”問題。7/17/2022實(shí)際上是訓(xùn)練邏輯推理演繹推理7/17/2022試題3 某外企招考員工的又一道題 老師讓6名學(xué)生圍坐成一圈，另讓一名學(xué)生坐在中央，并拿出七頂帽子，其中四頂白色，三頂黑色。然后讓七名學(xué)生都戴上眼罩，并給每個(gè)學(xué)生戴一頂帽子；再只解開坐在圈上的六名學(xué)生的眼罩。這時(shí)，由于坐在中央的學(xué)生的阻擋，每個(gè)人只能看到五個(gè)人的帽子。老師說：“現(xiàn)在，你們七人猜一猜自己戴的帽子顏色?！贝蠹异o靜地思索了好大一會(huì)。最后，坐在中央的、被蒙住雙眼的學(xué)生說：“我猜到了。” 問：中央的被蒙住雙眼的學(xué)生帶的是什么顏色的

18、帽子？他是怎樣猜到的?7/17/202248注意：有遮擋7/17/2022提示：1.嘗試用數(shù)學(xué)思維方法特殊到一般，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。（由簡至繁，3頂帽子、5頂帽子到7頂帽子）2.邊上人猜不到是因?yàn)閮煞N顏色沒有看盡，只看見3白2黑（不可能是4白1黑或2白3黑），自己頭上及對(duì)面被遮擋人頭上的帽子顏色看不見。3.嘗試能否用上數(shù)學(xué)思想方法反證法。假設(shè)中間學(xué)生帶的是黑色帽子，則邊上還有2頂黑色帽子，總有一個(gè)學(xué)生能看到3頂黑色帽子，從而猜到自己戴什么顏色的帽子。7/17/2022思考：1.如果用2015頂帽子（1012頂黑色，1013頂白色）做同樣規(guī)則的游戲呢？2. 能否利用數(shù)學(xué)的一般化精神，將帽子游戲一般化？3

19、. 上述案例說明什么？7/17/2022體現(xiàn)用人單位對(duì)“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的重視用數(shù)學(xué)解決問題體現(xiàn)用人單位重視員工的數(shù)學(xué)文化7/17/202252 數(shù)學(xué)素養(yǎng)才使人終身受益 一個(gè)人的學(xué)歷教育中，從小學(xué)一年級(jí)到大學(xué)一年級(jí)，一般要學(xué)十三年的數(shù)學(xué)課程，只有語文課能與之相比；但許多人并未因?yàn)閷W(xué)的時(shí)間長就掌握了數(shù)學(xué)的精髓。相反，大多數(shù)學(xué)生仍然對(duì)數(shù)學(xué)的思想、精神了解得較膚淺，對(duì)數(shù)學(xué)的宏觀認(rèn)識(shí)和總體把握較差，數(shù)學(xué)素養(yǎng)較差；甚至誤以為學(xué)數(shù)學(xué)就是為了會(huì)做題、能應(yīng)付考試，不知道“數(shù)學(xué)方式的理性思維”的重大價(jià)值，不了解數(shù)學(xué)在生產(chǎn)、生活實(shí)踐中的重要作用，不理解數(shù)學(xué)文化與諸多文化的交匯。7/17/202253 實(shí)際上 ，學(xué)生畢業(yè)

20、后走入社會(huì)，如果不是在與數(shù)學(xué)相關(guān)的領(lǐng)域工作，他們學(xué)過的具體的數(shù)學(xué)定理、公式和解題方法可能大多用不上，以至很快就忘記了；而他們有所欠缺的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，反而是數(shù)學(xué)讓人終生受益的精華。 一位數(shù)學(xué)教育家說，不管人們從事什么工作，深深銘刻在頭腦中的數(shù)學(xué)的思想精神、數(shù)學(xué)的思維方法和看問題的著眼點(diǎn)等，都會(huì)隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使人們終生受益。 7/17/2022重視數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)三句耐人尋味的話：1）一個(gè)人不識(shí)字可以生活，但是若不識(shí)數(shù)，就很難生活了 。2）一個(gè)學(xué)科，只有當(dāng)它成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)的時(shí)候，才算達(dá)到了成熟的程度。（馬克思講過，一門科學(xué)只有當(dāng)它達(dá)到了能夠成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才算真正發(fā)展了 ）3）一個(gè)國家科學(xué)

21、的進(jìn)步，可以用它消耗的數(shù)學(xué)來度量 。 7/17/2022數(shù)學(xué)定位： 1）數(shù)學(xué)不僅是一種重要的“工具” ，也是一種思維模式， 即“數(shù)學(xué)方式的理性思維”； 2）數(shù)學(xué)不僅是一門科學(xué)，也是一種文化，即“數(shù)學(xué)文化”； 3）數(shù)學(xué)不僅是一些知識(shí)，也是一種素質(zhì)，即“數(shù)學(xué)素質(zhì)”。 在提高一個(gè)人的推理能力、抽象能力、分析能力和創(chuàng)造能力方面，數(shù)學(xué)訓(xùn)練的作用，是其他訓(xùn)練難以替代的。 7/17/202256“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的通俗說法把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)都排除或忘掉后，剩下的東西從數(shù)學(xué)角度看問題的出發(fā)點(diǎn)；有條理地理性思維，嚴(yán)密地思考、求證，簡潔、清晰、 準(zhǔn)確地表達(dá)；在解決問題時(shí)、總結(jié)工作時(shí)，邏輯推理的意識(shí)和能力；對(duì)所從事的工作，

22、合理地量化和簡化，周到地運(yùn)籌帷幄，等等。7/17/202257“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的專業(yè)說法摘自“數(shù)學(xué)學(xué)科專業(yè)發(fā)展戰(zhàn)略研究報(bào)告”教育部高等學(xué)?！皵?shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)” 1） 主動(dòng)探尋并善于抓住數(shù)學(xué)問題的背景和本質(zhì)的素養(yǎng)； 2） 熟練地用準(zhǔn)確、簡明、規(guī)范的數(shù)學(xué)語言表達(dá)自己數(shù)學(xué)思想的素養(yǎng)； 3）具有良好的科學(xué)態(tài)度和創(chuàng)新精神，合理地提出新思想、新概念、新方法的素養(yǎng)； 7/17/20224）對(duì)各種問題以“數(shù)學(xué)方式”的理性思維，從多角度探尋解決問題的方法的素養(yǎng)；5）善于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象和過程進(jìn)行合理的簡化和量化，建立數(shù)學(xué)模型的素養(yǎng)。7/17/202259著力提高數(shù)學(xué)素養(yǎng) 數(shù)學(xué)素養(yǎng)不是與生俱來的，是在學(xué)習(xí)

23、和實(shí)踐中培養(yǎng)的。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，不但要掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，更要體會(huì)知識(shí)中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)文化，了解“數(shù)學(xué)方式的理性思維”，提高自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。7/17/202260“數(shù)學(xué)文化”一詞的使用“類似該詞”的使用已有二、三十年;在中國，較早使用的是1990年 鄧東皋、孫小禮、張祖貴編寫 的數(shù)學(xué)與文化及齊民友寫 的數(shù)學(xué)與文化;近十年“數(shù)學(xué)文化”一詞用得多起來。這個(gè)詞的使用頻率近年大大增加，說明它是有生命力的，說明許多人為著某種需要更愿意從文化這一角度來關(guān)注數(shù)學(xué)，更愿意強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值。五、數(shù)學(xué)文化7/17/202220世紀(jì)60年代，西方學(xué)者率先提出了數(shù)學(xué)文化觀，從新的立場為數(shù)學(xué)哲學(xué)研究提出新的觀點(diǎn)和方法。近20

24、年來，數(shù)學(xué)文化逐漸引起了國內(nèi)學(xué)者的關(guān)注，與數(shù)學(xué)文化相關(guān)的研究也轟轟烈烈地開展起來 數(shù)學(xué)是人類創(chuàng)造的非自然的產(chǎn)物，凝聚了人類的知識(shí)、意識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，在傳播、影響、融合的過程中發(fā)展，具有文化的所有特點(diǎn)，所以應(yīng)該被看作是一種文化。 7/17/2022數(shù)學(xué)文化是什么？數(shù)學(xué)=邏輯？；數(shù)學(xué)=中考數(shù)學(xué)？ 數(shù)學(xué)=高考數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)是不是文化？數(shù)學(xué)文化，文化數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)與文化，數(shù)學(xué)文化=數(shù)學(xué)+文化？數(shù)學(xué)文化=數(shù)學(xué)+數(shù)學(xué)史？數(shù)學(xué)文化= “你知道嗎？”+“生活中的數(shù)學(xué)”+“數(shù)學(xué)游戲”等。數(shù)學(xué)文化=“閱讀材料”或“讀一讀”？7/17/2022文一：淺談數(shù)學(xué)文化在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透一、重視發(fā)揮數(shù)學(xué)教材的文化特性；二、切實(shí)加強(qiáng)數(shù)

25、學(xué)教師教師的文化修養(yǎng)；三、注意凸顯數(shù)學(xué)課堂的文化屬性；四、注重加強(qiáng)數(shù)學(xué)活動(dòng)的文化滲透文二：淺談小學(xué)數(shù)學(xué)文化的培養(yǎng)一什么是數(shù)學(xué)文化？數(shù)學(xué)文化對(duì)數(shù)學(xué)教育有何作用？二新課程中數(shù)學(xué)文化的開發(fā)1數(shù)學(xué)的理性精神；2數(shù)學(xué)思想與方法； 3數(shù)學(xué)的美； 4數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；5數(shù)學(xué)的歷史文化三數(shù)學(xué)文化在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂滲透1注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)理性精神的培養(yǎng)獨(dú)立思考，大膽質(zhì)疑，勇于批判； 2. 及時(shí)滲透數(shù)學(xué)思想方法； 3. 體現(xiàn)數(shù)學(xué)的美感價(jià)值； 4. 注重?cái)?shù)學(xué)人文價(jià)值的滲透； 5. 有效引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)學(xué)現(xiàn)象；6. 將相關(guān)的數(shù)學(xué)史適時(shí)引入課堂 關(guān)于數(shù)學(xué)文化的一些觀點(diǎn)7/17/2022文三：初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透“數(shù)學(xué)文化”的幾種方法

26、 1進(jìn)行學(xué)科整合 ； 2開展數(shù)學(xué)美學(xué)教育 ；3進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與游戲； 4學(xué)生撰寫數(shù)學(xué)周記文四：初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)文化的滲透的實(shí)踐研究 1.追本溯源，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣2.展示數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造力，讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想；3.感受前人嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度，增強(qiáng)學(xué)生探索精神；4. 數(shù)學(xué)史中的美育資源，可以培養(yǎng)學(xué)生的審美能力和創(chuàng)造能力你認(rèn)為數(shù)學(xué)文化是什么？如何將數(shù)學(xué)文化貫穿于數(shù)學(xué)教育的始終？7/17/2022（一）數(shù)學(xué)文化教育名人名言1. 國際、國內(nèi)數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家對(duì)研究“數(shù)學(xué)文化”的貢獻(xiàn)國際：德國大數(shù)學(xué)家F.克萊因與著名美國數(shù)學(xué)史家M.克萊因在數(shù)學(xué)文化研究方面做出了巨大貢獻(xiàn)。國內(nèi)：1. 教育數(shù)學(xué)家張景中

27、院士2. 著名數(shù)學(xué)教育學(xué)家張奠宙先生3. 著名數(shù)學(xué)家徐利治先生4.著名數(shù)學(xué)家武漢大學(xué)教授齊民友先生5.北京大學(xué)張順燕教授6.南開大學(xué)顧沛教授7.南京大學(xué)鄭毓信教授等都在數(shù)學(xué)文化建設(shè)方面有很深的造詣。8.湖南師范大學(xué)校長張楚廷教授。7/17/20222. 名家觀點(diǎn) 數(shù)學(xué)文化必須走進(jìn)課堂，在實(shí)際數(shù)學(xué)教學(xué)中使得學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中真正受到文化感染，產(chǎn)生文化共鳴，體會(huì)數(shù)學(xué)的文化品位和世俗的人情味。這就是從微觀的角度進(jìn)行分析，將數(shù)學(xué)文化滲入到課程標(biāo)準(zhǔn)、教科書，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程之中。 數(shù)學(xué)文化的一些新視角張奠宙7/17/2022數(shù)學(xué)文化可以說是一種世界文化.數(shù)學(xué)文化可以說是一種歷史文化.數(shù)學(xué)文化是

28、一種思維文化.數(shù)學(xué)文化是一種高度抽象文化.數(shù)學(xué)文化是一種應(yīng)用文化數(shù)學(xué)文化還是一種經(jīng)濟(jì)文化.數(shù)學(xué)文化還是一種全息文化.7/17/2022 如果您的教學(xué)始終只是停留于知識(shí)與技能的層面，您恐怕就只能算是一個(gè)教書匠；如果您的教學(xué)能夠很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思維，您就是一個(gè)智者，您給學(xué)生帶來了真正的智慧；然而，如果您的數(shù)學(xué)教學(xué)能給學(xué)生無形的文化熏陶，那么，即使您只是一個(gè)小學(xué)教師，即使您身處偏僻的深山或邊遠(yuǎn)地區(qū)，您卻是一個(gè)真正的大師，您的生命也因此而充滿了真正的價(jià)值。 漫談數(shù)學(xué)文化鄭毓信7/17/2022（二）2011版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于數(shù)學(xué)文化的論述：前言： 數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社

29、會(huì)每一個(gè)公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)。作為促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展教育的重要組成部分，數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用。 7/17/2022教材編寫建議中指出：（P63） 數(shù)學(xué)文化作為教材的組成部分，應(yīng)滲透在整套教材中。為此，教材可以適時(shí)地介紹有關(guān)背景知識(shí)，包括數(shù)學(xué)在自然與社會(huì)中的應(yīng)用，以及數(shù)學(xué)發(fā)展史的有關(guān)材料，幫助學(xué)生了解在人類文明發(fā)展中數(shù)學(xué)的作用，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，感受數(shù)學(xué)家治學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，欣賞數(shù)學(xué)的優(yōu)美。例如，可以介紹九章算術(shù)、珠算、幾何原本、機(jī)器證明、黃金分割、CT技術(shù)、布豐投針等。7/17/2022九章算術(shù)九章

30、算術(shù)集中國古代數(shù)學(xué)大成于一體，突出地表現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實(shí)用性、計(jì)算性、歸納性及模型化的特點(diǎn)。尤其是實(shí)用性，表現(xiàn)在以算籌為工具，步步都與具體的現(xiàn)實(shí)問題和需要相連。對(duì)中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展有很大影響，這種影響一直持續(xù)到清朝中葉。九章算術(shù)的敘述方式以歸納為主，先給出若干例題，再給出結(jié)果，但卻很少給出具體的解決問題的過程，因此歷代數(shù)學(xué)家有不少人曾經(jīng)注釋過這本書，其中以劉徽和李淳風(fēng)的注釋最有影響。不同于西方以演繹為主的敘述方式，中國回來的數(shù)學(xué)著作也都是采用歸納為主的敘述方式。7/17/2022九章算術(shù)特點(diǎn)：1）是一個(gè)應(yīng)用數(shù)學(xué)體系，全書表述為應(yīng)用問題集的形式；2）以算法為主要內(nèi)容，全書以問、答、術(shù)構(gòu)成，“術(shù)”是主要需

31、闡述的內(nèi)容；3）以算籌為工具。中國古代數(shù)學(xué)具有明顯的機(jī)械化、算法化的特征。對(duì)比：幾何原本也是古代西方數(shù)學(xué)的集大成于一體者，其思維特點(diǎn)是一種演繹的、抽象化的、公理化的思維創(chuàng)造。撇開具體的事實(shí)進(jìn)行抽象的演繹，進(jìn)入一個(gè)與現(xiàn)實(shí)沒有直接聯(lián)系的數(shù)學(xué)觀念世界。只要符合數(shù)學(xué)推理本身的邏輯，即使其正確性在短時(shí)期難以驗(yàn)證，但隨著現(xiàn)實(shí)條件的逐漸成熟，遲早一定會(huì)在現(xiàn)實(shí)中得到證實(shí)。7/17/2022九章算術(shù)的數(shù)學(xué)成就：分?jǐn)?shù)運(yùn)算、比例問題、面積體積計(jì)算、一次方程組解法、負(fù)數(shù)概念引入及負(fù)數(shù)加減法則、開平方、開立方、一般二次方程解法等。例 在方程術(shù)中第1題為：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，

32、下禾一秉；實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉；實(shí)二十六斗。問上、中、下禾實(shí)一秉各幾何？問題相當(dāng)于解方程組 3x+2y+z=39 2x+3y+z=34解法如下： x +2y+3z=261 2 3 2 3 23 1 126 34 390 0 3 4 5 28 1 139 24 390 0 3 0 5 24 1 111 24 390 0 4 0 4 04 0 011 17 37XYzX=37/4,y=17/4; z=11/4參見：浙教版七下P91閱讀材料7/17/2022這一算法已經(jīng)接近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的矩陣解法，說明中國籌算方法在古代具有領(lǐng)先地位，但這一算法卻未能將其推廣到一般情況，得出一般結(jié)論。這

33、是中國古代數(shù)學(xué)缺乏抽象和概括，并上升到一般理論的必修，也是中國古代數(shù)學(xué)的不足。從這個(gè)例子中我們能得到什么啟發(fā)？數(shù)學(xué)中特殊問題一般化的重要性。數(shù)學(xué)教學(xué)中重視抽象與概括。7/17/2022數(shù)學(xué)教學(xué)不只是知識(shí)結(jié)論的教學(xué)，更應(yīng)重視數(shù)學(xué)思維的教學(xué)。當(dāng)然，中國古代也有很成功地一般化得到結(jié)論的例子南宋數(shù)學(xué)家秦九韶把孫子算經(jīng)中“物不知數(shù)”一題的方法推廣到一般的情況，得到稱為“大洐求一術(shù)”的方法，并將此方法寫入數(shù)書九章中，這個(gè)結(jié)論在歐洲直到18實(shí)際才由高斯和歐拉發(fā)現(xiàn)的，所以世界公認(rèn)這個(gè)定理是中國人最早發(fā)現(xiàn)的，特別稱之為“中國剩余定理”。7/17/2022762003年，“數(shù)學(xué)文化”一詞首次進(jìn)入官方文件7/17/

34、2022777/17/2022787/17/2022 （三） 數(shù)學(xué)文化教育現(xiàn)狀7/17/20221. 教材方面數(shù)學(xué)教材中的一些欄目用意？小學(xué)數(shù)學(xué)：1. 人教版：“你知道嗎？”“生活中的數(shù)學(xué)”“數(shù)學(xué)游戲”等。2.北師大版：“你知道嗎？”“數(shù)學(xué)萬花筒”等。初中數(shù)學(xué)：1.浙教版：“閱讀材料”等2.北師大版：“讀一讀”等7/17/20227/17/20227/17/20227/17/20222. 教師方面1）教師對(duì)數(shù)學(xué)文化價(jià)值的認(rèn)識(shí)7/17/20222）教師對(duì)教材中數(shù)學(xué)文化呈現(xiàn)方式的看法7/17/20223）教師對(duì)如何對(duì)待教材中數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容7/17/20224）教師教學(xué)數(shù)學(xué)文化的方式7/17/202

35、25）教師主動(dòng)搜集、增加數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容7/17/2022（四）數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵1. “文化” 狹義（說法很多，其一是 ： “文化”就是“知識(shí)”，說一個(gè)人“有文化”，就是說他“有知識(shí)”；其二是指社會(huì)意識(shí)形態(tài)或觀念形式，即人的精神生活領(lǐng)域。 廣義（說法比較一致） ：“文化”是指通過人的活動(dòng)對(duì)自然狀態(tài)的變革而創(chuàng)造的物質(zhì)財(cái)富和精神財(cái)富的總和、積淀，有相對(duì)的穩(wěn)定性。文化有兩個(gè)重要特征：一是群體性；二是傳統(tǒng)觀念，即價(jià)值系統(tǒng)，這種價(jià)值系統(tǒng)將通過群體特有的行為、觀念、態(tài)度、精神等決定群體的生活（行為）方式。7/17/2022通常認(rèn)為，文化包括三個(gè)層面：物質(zhì)層面、制度層面、精神層面。狹義文化則主要指精神層面的文化。

36、文化對(duì)人的塑造也就主要是指對(duì)人的精神的塑造，也就是使人形成一定的態(tài)度、價(jià)值觀、思維方式等，從而指導(dǎo)人的行為?！叭祟惥窕顒?dòng)的變量是被稱之為文化的超有機(jī)體傳統(tǒng)的函數(shù)?！保ㄎ幕瘜W(xué)家懷特）文化概括為意識(shí)形態(tài)領(lǐng)域的精神、思想、觀念等（數(shù)學(xué)中有：數(shù)學(xué)的一般化精神、歸納、類比的思想、對(duì)稱的觀點(diǎn)等）7/17/20222.為什么說數(shù)學(xué)是一種文化數(shù)學(xué)都具有文化的所有特征，所以，數(shù)學(xué)就是一種文化。廣義的文化概念強(qiáng)調(diào)的是文化對(duì)人類創(chuàng)造活動(dòng)的依賴性。數(shù)學(xué)對(duì)象終究不是物質(zhì)世界中的真實(shí)存在，而是人類抽象思維的產(chǎn)物，因此，從這個(gè)意義上說，數(shù)學(xué)就是一種文化。狹義的文化概念強(qiáng)調(diào)的是文化對(duì)人的行為、觀念、態(tài)度、精神等的影響。數(shù)學(xué)

37、除了在科學(xué)技術(shù)方面的應(yīng)用外，其在精神領(lǐng)域的功效，特別是在對(duì)人類理性精神方面的影響也是有目共睹的?！?/17/2022“作為一種人類的理性精神，作為理性精神最有力的倡導(dǎo)者和體現(xiàn)者，數(shù)學(xué)在今天已在一定程度上滲透到以前由權(quán)威、習(xí)慣、風(fēng)俗所統(tǒng)治的領(lǐng)域，成為人們思想和行動(dòng)的先導(dǎo)之一。某些數(shù)學(xué)成果，對(duì)人類社會(huì)所產(chǎn)生的精神方面的影響，并不亞于對(duì)數(shù)學(xué)的影響，它們對(duì)認(rèn)識(shí)觀、倫理觀乃至人生觀都產(chǎn)生了一定的作用”，因此，從這個(gè)意義上說數(shù)學(xué)還是一種文化。7/17/2022 現(xiàn)代文化學(xué)強(qiáng)調(diào)的是文化與群體、傳統(tǒng)等概念的密切關(guān)系，也即是文化的整體性。 數(shù)學(xué)家顯然構(gòu)成了一個(gè)特殊的群體數(shù)學(xué)共同體。 中國古代的數(shù)學(xué)家以其注重實(shí)用

38、和算法化的傳統(tǒng)，從而形成了以九章算術(shù)為代表的中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的整體特色； 古希臘的數(shù)學(xué)家則以其崇尚思辨和注重演繹的傳統(tǒng)，形成了以幾何原本為代表的古希臘數(shù)學(xué)文化的特色。因此，從這個(gè)意義上說，數(shù)學(xué)也構(gòu)成了一種文化。數(shù)學(xué)共同體和數(shù)學(xué)傳統(tǒng)正是數(shù)學(xué)文化整體性的體現(xiàn)。7/17/2022從文化的歷史性角度考慮。數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史既是一部文明史，也是一部文化的發(fā)展史。數(shù)學(xué)共同體和數(shù)學(xué)傳統(tǒng)也不乏帶有其歷史性成分。因而數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的不斷變革及數(shù)學(xué)知識(shí)的延續(xù)性，就可以看成數(shù)學(xué)發(fā)展的重要特點(diǎn)。這一特點(diǎn)也是數(shù)學(xué)之所以成為文化的一個(gè)重要特征。7/17/2022以上的分析，實(shí)際上也是從數(shù)學(xué)對(duì)象的人為性、數(shù)學(xué)活動(dòng)的整體性和數(shù)學(xué)發(fā)展的

39、歷史性這三個(gè)不同層面上指出了數(shù)學(xué)文化的意義。所謂數(shù)學(xué)文化，是指以數(shù)學(xué)家為主導(dǎo)的數(shù)學(xué)共同體所特有的行為、觀念、態(tài)度和精神等，也即是指數(shù)學(xué)共同體所特有的生活（行為）方式，或者說是特定的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)。7/17/2022 東方文化、西方文化、古希臘文化、 ，中華文化 文化是一個(gè)與自然相對(duì)的概念，文化是人類的創(chuàng)造物，是人類的精神產(chǎn)品。 文化是一個(gè)相對(duì)于群體的概念。不同的國家、地區(qū)和民族有其不同的文化。 文化影響著人們的行為方式。那些言談舉止粗魯?shù)娜耍３１豢闯墒恰皼]文化”、“沒素養(yǎng)”的人。7/17/20223. 理性精神、數(shù)學(xué)精神數(shù)學(xué)文化是一種理性精神。來源于理性的思維方式和觀念形成的力量。數(shù)學(xué)文化是一種使

40、人，乃至使整個(gè)社會(huì)減少盲目和迷信，增強(qiáng)理智和文明的精神力量。數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分。思考：1.中國古代為什么沒有對(duì)頂角相等這樣的命題？2.船長年齡問題：“一條船上有75頭牛，32頭羊，問船長幾歲？”大多數(shù)學(xué)生能“算”出來，說明什么？反思什么？ 理性判斷、推理等活動(dòng)的理性認(rèn)識(shí)從理智上控制行為的能力7/17/2022數(shù)學(xué)精神是人們在數(shù)學(xué)活動(dòng)中形成的價(jià)值觀念和行為規(guī)范。內(nèi)涵十分豐富：主要有數(shù)學(xué)理性精神、數(shù)學(xué)求真精神、數(shù)學(xué)創(chuàng)新精神、數(shù)學(xué)合作與獨(dú)立思考精神等。數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)中的智巧、大膽的想象和猜測、豐富的直覺、奇特的構(gòu)思，與縝密的論證和推理一起構(gòu)成了數(shù)學(xué)的思想特質(zhì)。數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想

41、來源于數(shù)學(xué)知識(shí)的創(chuàng)造過程。數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)由物質(zhì)形態(tài)轉(zhuǎn)化為精神形態(tài)的產(chǎn)物，是數(shù)學(xué)發(fā)展的高級(jí)階段，這一階段的數(shù)學(xué)主要是一種精神，這種精神體現(xiàn)在人們行為上便是對(duì)理性的探索和對(duì)待事物的科學(xué)態(tài)度。7/17/20224. 數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)的關(guān)系有這樣一種觀點(diǎn)：數(shù)學(xué)文化特指意識(shí)形態(tài)中的數(shù)學(xué)的方法、思想、精神、觀念等，而不包括數(shù)學(xué)知識(shí)。由此，數(shù)學(xué)=數(shù)學(xué)知識(shí)+數(shù)學(xué)文化。數(shù)學(xué)知識(shí)主要是指數(shù)學(xué)中的公式、公理、法則等，它們以能夠看得見的物質(zhì)形式表現(xiàn)數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)文化以隱性的方式反映數(shù)學(xué)。文化數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)數(shù)學(xué)文化數(shù)學(xué)精神數(shù)學(xué)方法大眾文化文化、數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)文化三者的關(guān)系7/17/20225. 數(shù)學(xué)文化缺失原因數(shù)學(xué)往往給人一種物質(zhì)

42、的現(xiàn)象（人們將數(shù)學(xué)僅看成數(shù)學(xué)知識(shí)）而數(shù)學(xué)文化卻完全是一種非物質(zhì)的現(xiàn)象。意味著數(shù)學(xué)的發(fā)展并不能自然帶動(dòng)數(shù)學(xué)文化的普及。數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)既具有聯(lián)系，又具有相互獨(dú)立性。由此，在數(shù)學(xué)突飛猛進(jìn)發(fā)展的當(dāng)代，卻普遍存在社會(huì)文化中數(shù)學(xué)文化的缺失現(xiàn)象。7/17/2022研究表明，數(shù)學(xué)離開了數(shù)學(xué)文化的支撐，其研究就缺乏了源泉，這必將導(dǎo)致數(shù)學(xué)研究的枯竭，中國數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史已經(jīng)表明了這一點(diǎn)。對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)是知性思維，而對(duì)數(shù)學(xué)文化的認(rèn)識(shí)是理性思維。數(shù)學(xué)知識(shí)主要產(chǎn)生于數(shù)學(xué)研究之中，數(shù)學(xué)文化卻來源于人們對(duì)數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用的過程中。因而，對(duì)數(shù)學(xué)文化的認(rèn)識(shí)需要在對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，產(chǎn)生思維的飛躍。7/17/2022102

43、6. “數(shù)學(xué)文化”的內(nèi)涵狹義：數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點(diǎn)、語言，以及它們的形成和發(fā)展。 廣義：除上述內(nèi)涵以外，還包含數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分、數(shù)學(xué)與社會(huì)的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系，等等。 這里使用“數(shù)學(xué)文化” 一詞，更多地傾向于它的狹義解釋。 7/17/2022 按照現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究，數(shù)學(xué)文化可以表述為以數(shù)學(xué)科學(xué)為核心，以數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、內(nèi)容等所輻射的相關(guān)文化領(lǐng)域?yàn)橛袡C(jī)組成部分的一個(gè)具有特定功能的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，其基本要素是數(shù)學(xué)及與數(shù)學(xué)有關(guān)的各種文化現(xiàn)象。 數(shù)學(xué)文化研究開展以來，數(shù)學(xué)的抽象、確定、繼承、簡潔、統(tǒng)一的文化屬性和滲透、傳播、應(yīng)用、預(yù)見的功能特征被挖掘

44、出來，數(shù)學(xué)的藝術(shù)性也深深吸引了人們的眼球。然而這只是數(shù)學(xué)功能的外顯式表現(xiàn)，數(shù)學(xué)文化研究表明，數(shù)學(xué)的起源、發(fā)展、完善和應(yīng)用的過程對(duì)于人類產(chǎn)生重大的影響，既包括對(duì)于人的觀念、思想和思維方式的一種潛移默化的作用，也包括在人類認(rèn)識(shí)和發(fā)展數(shù)學(xué)的過程中體現(xiàn)出的探索精神。 7/17/2022104 陳省身先生題詞7/17/2022105第24屆“國際數(shù)學(xué)家大會(huì)”（ICM）International Congress of Mathematicians 7/17/2022106 數(shù)學(xué)本身也有無窮的美妙。認(rèn)為數(shù)學(xué)枯燥，沒有藝術(shù)性，這看法是不正確的，就像站在花園外面，說花園枯燥無味一樣，只要踏入了大門，你們隨時(shí)會(huì)

45、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)有許許多多趣味的東西。7/17/20221077/17/20221087.數(shù)學(xué)文化書籍7/17/20221097/17/20221107/17/20221117/17/20221127/17/20221137/17/20221147/17/20221157/17/20221167/17/2022 由此，我們看到，中國學(xué)者對(duì)于數(shù)學(xué)文化的教育價(jià)值體會(huì)之深，開設(shè)該課程的院校數(shù)量之多，相關(guān)教材和其他出版物的數(shù)量之大，數(shù)學(xué)文化的教育傳播之廣，恐怕在全世界都是少見的。 這與具有中國特色的教育理念素質(zhì)教育的思想，應(yīng)該有密切的關(guān)系。7/17/2022118耐人尋味的思考 在“數(shù)學(xué)文化”一詞被日益廣泛地

46、使用時(shí)，“物理文化”、“化學(xué)文化”這樣類似的詞匯，并沒有得到如此廣泛地使用。這表明，數(shù)學(xué)科學(xué)，的確在本質(zhì)上有不同于物理科學(xué)、化學(xué)科學(xué)等自然科學(xué)的地方。 數(shù)學(xué)科學(xué)的研究對(duì)象，并不是某種具體的物質(zhì)運(yùn)動(dòng)形態(tài)，而是從眾多的物質(zhì)運(yùn)動(dòng)形態(tài)中抽象出來的事物，是人腦的產(chǎn)物。數(shù)學(xué)，具有超越具體科學(xué)和普遍適用的特征，具有公共基礎(chǔ)的地位。例如：數(shù)學(xué)中研究的圓，客觀世界中有太陽，有月亮，有車輪，但并沒有數(shù)學(xué)中研究的圓；數(shù)學(xué)中研究的圓，是人腦的產(chǎn)物 7/17/2022119 特別是，不同的社會(huì)現(xiàn)象和自然現(xiàn)象，在某一方面可能遵循同樣的數(shù)學(xué)規(guī)律，這反映出社會(huì)現(xiàn)象與自然現(xiàn)象在數(shù)量關(guān)系上的某種共性。數(shù)學(xué)超越了具體的社會(huì)科學(xué)和自

47、然科學(xué)，也成為聯(lián)系社會(huì)科學(xué)和自然科學(xué)的紐帶。 有許多學(xué)者認(rèn)為，科學(xué)可以分類為：自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、數(shù)學(xué)科學(xué)、哲學(xué)。7/17/20228.數(shù)學(xué)文化的特征數(shù)學(xué)文化是傳播人類思想的一種基本形式。數(shù)學(xué)文化包含著人類所創(chuàng)造語言的特殊形式。數(shù)學(xué)文化是自然與人類社會(huì)相互聯(lián)系的一種工具。數(shù)學(xué)文化具有相對(duì)的穩(wěn)定性和連續(xù)性。數(shù)學(xué)文化具有高度的滲透性7/17/20229.數(shù)學(xué)的文化價(jià)值主要指數(shù)學(xué)對(duì)于人們觀念、精神以及思維方式的養(yǎng)成所起的重要影響。數(shù)學(xué)作為一種“看不見的文化”，其文化價(jià)值主要表現(xiàn)在：（1） 數(shù)學(xué)對(duì)于人類理性精神的養(yǎng)成與發(fā)展具有特別重要的意義，理性精神被看成人類文明、特別是西方文明的核心所在。克萊因指出

48、：“在最廣泛的意義上說，數(shù)學(xué)是一種精神，一種理性精神。正是這種精神，激發(fā)、促進(jìn)、鼓舞并驅(qū)使人類的思維得以運(yùn)用到最完善的程度，亦正是這種精神，試圖決定性地影響人類的物質(zhì)、道德和社會(huì)生活；試圖回答有關(guān)人類自身存在提出的問題；努力去理解和控制自然；盡力去探索和確立已經(jīng)獲得的知識(shí)的最深刻的和最完美的內(nèi)涵?！?/17/2022（2）數(shù)學(xué)文化具有獨(dú)特的教化功能數(shù)學(xué)作為一種文化，不僅具有傳承知識(shí)的功能，還有教化人的功能。從數(shù)學(xué)的探索、論證、發(fā)展等方面，可以充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)家優(yōu)良的精神品質(zhì)，以及數(shù)學(xué)內(nèi)容中所折射的一些社會(huì)優(yōu)良品德。在數(shù)學(xué)探索過程中，體會(huì)“勤奮與自強(qiáng)”的精神，堅(jiān)強(qiáng)的意志，鍥而不舍和奮勇向前的奮斗精神

49、。在數(shù)學(xué)論證過程中，體會(huì)“求實(shí)與誠信”精神。數(shù)學(xué)史上有一個(gè)令人肅然起敬的故事：托勒密王跟歐幾里得學(xué)幾何，問有沒有什么容易的方法，很快能掌握？歐幾里得說：“陛下，學(xué)習(xí)幾何沒有捷徑，即使陛下也一樣。”7/17/2022在數(shù)學(xué)規(guī)則的形式中，體會(huì)一種“理智與自律”的精神，數(shù)學(xué)是體現(xiàn)理性思維的最好的載體。在古希臘，數(shù)學(xué)不僅要回答“什么是數(shù)學(xué)真理”，還須回答“為什么”它是數(shù)學(xué)真理。例如，幾何原本中的命題15是“對(duì)頂角相等。”這一命題的證明的重要價(jià)值在于它提供了不憑直觀和實(shí)驗(yàn)的邏輯證明，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不僅要注意定義和定理的結(jié)論，最重要的是學(xué)習(xí)這種理性思維的方法。每一個(gè)數(shù)學(xué)問題的解決都必須遵循數(shù)學(xué)規(guī)則。在人類生活

50、中，人們也應(yīng)形成一種對(duì)社會(huì)公德、秩序、法律等內(nèi)在的約束力。7/17/2022在數(shù)學(xué)的思維的嚴(yán)密性中，體會(huì)一種“智慧與創(chuàng)新”的精神。例如，歐拉解決哥尼斯堡七橋問題。數(shù)學(xué)充分體現(xiàn)了人類的智慧與創(chuàng)新精神。（史寧中教授提出“智慧的教育”）數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不但可以發(fā)展智力，培養(yǎng)創(chuàng)造力，而且可以培養(yǎng)創(chuàng)新精神，這對(duì)學(xué)生以后的學(xué)習(xí)和生活都有重要意義。7/17/2022從學(xué)習(xí)、研究所需要的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度中，體會(huì)一種“敬業(yè)與責(zé)任”的精神。解決數(shù)學(xué)問題需要耐心、毅力和執(zhí)著精神；數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密、有條理需要一絲不茍的工作態(tài)度、敬業(yè)精神和強(qiáng)烈的責(zé)任感。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也應(yīng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)工作者的敬業(yè)精神與責(zé)任感，并運(yùn)用于我們的生活實(shí)踐中。7/17

51、/2022從數(shù)學(xué)的發(fā)展來看，可以體會(huì)一種“合作與民主”的精神。（3） 數(shù)學(xué)有著重要的思維訓(xùn)練功能數(shù)學(xué)并非對(duì)于客觀事物或現(xiàn)象量性的直接研究，而是通過相對(duì)獨(dú)立的“模式”的建構(gòu)、并以此為直接對(duì)象來從事研究，因此，作為“模式的科學(xué)”，數(shù)學(xué)對(duì)于人們抽象思維能力的培養(yǎng)就有著特別重要性。7/17/2022（4）數(shù)學(xué)對(duì)于創(chuàng)造性思維發(fā)展具有重要的作用由于數(shù)學(xué)研究對(duì)象并不一定具有明顯的直觀背景，而是各種可能的量化模式，因此，這也為人們創(chuàng)造性才能的充分發(fā)揮提供了最為理想的場所。特殊地，這顯然也就是美學(xué)的因素何以在數(shù)學(xué)研究中占有特別重要位置的一個(gè)直接的原因。7/17/2022128數(shù)學(xué)文化教育目的 體會(huì)數(shù)學(xué)精神 學(xué)會(huì)

52、數(shù)學(xué)思維 掌握數(shù)學(xué)方法 使用數(shù)學(xué)語言 理解數(shù)學(xué)思想 提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)7/17/2022六、數(shù)學(xué)文化中的美學(xué)觀 美學(xué)的鼻祖不是別人，而是古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯，第一個(gè)美得概念是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派從數(shù)學(xué)的角度提出來的。因此，作為一種文化，數(shù)學(xué)從一開始就與美結(jié)下了不解之緣。數(shù)學(xué)美是激勵(lì)數(shù)學(xué)家進(jìn)行數(shù)學(xué)創(chuàng)造的強(qiáng)大動(dòng)力；數(shù)學(xué)美是引導(dǎo)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的奇妙工具；數(shù)學(xué)美是評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)理論的重要標(biāo)準(zhǔn)之一。關(guān)于數(shù)學(xué)美，古今中外的哲學(xué)家、科學(xué)家，都曾對(duì)其作過不同程度的探討：畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為美來自于事物的數(shù)量關(guān)系，美在于數(shù)的適當(dāng)比例與和諧。7/17/2022亞里士多德指出：“雖然數(shù)學(xué)沒有明顯地提到善和美，但善和美也不能和數(shù)學(xué)完全分離。

53、因?yàn)槊赖弥饕问骄褪侵刃颉蚍Q和確定性，這些正是數(shù)學(xué)所研究的原則?！迸砑永照J(rèn)為：數(shù)學(xué)美在于“雅致”，雅致所研究的是“各部分之間的和諧、對(duì)稱、恰到好處的平衡?！币虼耍椭C、對(duì)稱、與巧妙的協(xié)調(diào)是數(shù)學(xué)美得特征。哈爾莫斯說：“在繪畫與數(shù)學(xué)中，美有客觀標(biāo)準(zhǔn)。畫家講究結(jié)構(gòu)、線條、造型、肌理，而數(shù)學(xué)家則講究真實(shí)、正確、新奇、普遍.?！?/17/2022我國數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)方法論的開拓者徐利治先生也曾論述過數(shù)學(xué)美得特征：“作為科學(xué)語言的數(shù)學(xué)，具有一般語言文學(xué)藝術(shù)所共有的美的特點(diǎn)，即數(shù)學(xué)在其內(nèi)容結(jié)構(gòu)上和方法上也都有其自身的某種美，即所謂數(shù)學(xué)美。數(shù)學(xué)美的含義是豐富的，如數(shù)學(xué)概念的簡單性、統(tǒng)一性、結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性、對(duì)稱

54、性、數(shù)學(xué)命題與數(shù)學(xué)模型的概括性、典型性和普遍性，還有數(shù)學(xué)中的奇異性等等都是數(shù)學(xué)美的具體內(nèi)容?！币虼?，數(shù)學(xué)之美，是數(shù)學(xué)固有的。7/17/2022數(shù)學(xué)美和諧性、簡單性、奇異性一、和諧性：統(tǒng)一性、對(duì)稱性等1.統(tǒng)一性統(tǒng)一性不僅是數(shù)學(xué)美的特征之一，而且也是數(shù)學(xué)家們所努力追求的目標(biāo)之一。對(duì)統(tǒng)一性的追求不但可以把我整體，而且也能把我細(xì)節(jié)，同時(shí)還可以在此基礎(chǔ)上產(chǎn)生偉大的發(fā)現(xiàn)。7/17/2022案例1 公理化方法的形成，就是追求整體與部分的統(tǒng)一性的結(jié)果。23個(gè)定義，5條公理，就將千頭萬緒的幾何素材組織統(tǒng)一起來，使之納入一個(gè)嚴(yán)密的邏輯體系之中，組成一個(gè)有機(jī)的整體，他的美妙的、和幾何原本是不可多得的科學(xué)和美學(xué)的范本

55、，它曾被一些大科學(xué)家贊為“雄偉的建筑”，“壯麗的結(jié)構(gòu)”，“巍峨的階梯。”7/17/2022希爾伯特的 幾何基礎(chǔ)一書彌補(bǔ)了幾何原本中的不足，提供了一個(gè)完善的歐氏公理系統(tǒng)。充分體現(xiàn)了幾何科學(xué)的完美統(tǒng)一。公理系統(tǒng)的相容性或無矛盾性就是和諧性的表現(xiàn)，而數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，也即是和諧性。7/17/2022中學(xué)數(shù)學(xué)中，統(tǒng)一性隨處可見。案例3 圓、橢圓、雙曲線、拋物線的統(tǒng)一性（1）方程的形式：所以又稱它們?yōu)槎吻€；（2）除圓外，從點(diǎn)的集合或軌跡的觀點(diǎn)看，它們都是與定點(diǎn)和定直線距離的比是常數(shù)（離心率）的點(diǎn)的集合或軌跡。（3）四種曲線又可以看做不同平面截圓錐嗎所得到的曲線。因此，它們又稱為圓錐曲線。（4）巧妙的是：

56、天體運(yùn)行的軌道是這四種曲線。7/17/2022（5）在極坐標(biāo)系中，它們可以統(tǒng)一為極坐標(biāo)方程：包含了把直線、圓依次看著是圓、橢圓的極限情形。案例4 立體幾何中的辛普松公式（其中， 依次為上、下底面和中截面面積），把棱錐、臺(tái)和球的體積求法統(tǒng)一了起來。而且，如果把 依次看成是上、下底和中線的長發(fā)，那么又可把平行四邊形、梯形和三角形的面積求法統(tǒng)一起來。7/17/2022由此可見，在數(shù)學(xué)當(dāng)中，追求統(tǒng)一性不但表現(xiàn)在對(duì)某類對(duì)象的高度概括上，而且表現(xiàn)在某個(gè)數(shù)學(xué)分支的統(tǒng)一性和幾個(gè)數(shù)學(xué)分支甚至整個(gè)數(shù)學(xué)大廈的統(tǒng)一性上。在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長河中，數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性的追求有三個(gè)里程碑：一是歐幾里德的幾何原本，它除了幾何

57、知識(shí)外，還包括算術(shù)、數(shù)論、代數(shù)等，囊括了當(dāng)時(shí)已經(jīng)積累的數(shù)學(xué)知識(shí)，并將幾何知識(shí)形成一個(gè)統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)。7/17/2022案例2 神妙的坐標(biāo)系。在十七世紀(jì)以前，代數(shù)與幾何是相互分離、彼此無關(guān)的。笛卡爾追求代數(shù)與幾何的統(tǒng)一，他引入神妙的坐標(biāo)系。點(diǎn)與二元數(shù)偶對(duì)應(yīng)；曲線與方程對(duì)應(yīng)；通過對(duì)曲線方程的研究來討論曲線的性質(zhì)，從而把代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)和邏輯學(xué)統(tǒng)一起來。（笛卡爾之夢；解析幾何與數(shù)學(xué)機(jī)械化；九章算術(shù)與數(shù)學(xué)機(jī)械化；吳文俊院士與數(shù)學(xué)機(jī)械化）7/17/2022思考：坐標(biāo)系的本質(zhì)是什么？用一對(duì)數(shù)確定點(diǎn)的位置？如果是這樣，那么應(yīng)該是地理課的任務(wù)，連語文課也能處理幾排幾座這樣的問題。平面坐標(biāo)系的本質(zhì)在于用“數(shù)”所滿足的

58、方程來表示點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，即“數(shù)形結(jié)合”的思想。要引導(dǎo)學(xué)生觀察和思考這樣的問題：兩個(gè)坐標(biāo)一樣的點(diǎn)是什么圖形？兩個(gè)坐標(biāo)都是正數(shù)的點(diǎn)構(gòu)成什么區(qū)域？橫坐標(biāo)都為0的點(diǎn)是什么圖形？這就有“數(shù)學(xué)味”了，更深層次地觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)了。7/17/2022二是羅素和懷德海的數(shù)學(xué)原理該書力圖從邏輯學(xué)的概念和原理出發(fā)，演繹出數(shù)學(xué)的基本概念和原理。三是法國布爾巴基學(xué)派的工作。該學(xué)派為了揭示數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性，引進(jìn)了結(jié)構(gòu)的概念。（代數(shù)結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和序結(jié)構(gòu)）7/17/2022和諧性的第二個(gè)特征是對(duì)稱性。對(duì)稱性是最能給人以美感的一種形式，從古希臘時(shí)代起，對(duì)稱性就被數(shù)學(xué)家看成是數(shù)學(xué)美得一個(gè)基本內(nèi)容。數(shù)學(xué)美學(xué)中的對(duì)稱性美并不局限于客觀事

59、物外形的對(duì)稱。正如魏爾所說：“對(duì)稱是一種思想。多少世紀(jì)以來，人們希望借助它來解釋和創(chuàng)造秩序、美和完善?！睌?shù)學(xué)概念、公式、運(yùn)算、方程式、結(jié)論甚至方法中，都蘊(yùn)含著奇妙的對(duì)稱性。 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派非常重視對(duì)稱性，他們認(rèn)為：一個(gè)圖形的對(duì)稱性越多，圖形越完美。“一切立體圖形中最美的是球形，一切平面圖形中最美的是圓形。”2.對(duì)稱性7/17/2022從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史來看，對(duì)稱性的考慮在一定程度上促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。例如，關(guān)于逆運(yùn)算的可能性的考慮，也是導(dǎo)致數(shù)系不斷擴(kuò)展的一個(gè)重要原因，而這種考慮事實(shí)上就是對(duì)于運(yùn)算與它的逆運(yùn)算的對(duì)稱性的一種追求。例如，在數(shù)學(xué)當(dāng)中，等式也具有對(duì)稱性。即兩邊的結(jié)果的相應(yīng)或相等。由此不難理

60、解方程的對(duì)稱性。7/17/2022利用對(duì)稱性解決數(shù)學(xué)問題，在數(shù)學(xué)中則是隨處可見。例如，歐幾里得曾證明了西帕索斯的發(fā)現(xiàn)無理數(shù)的存在。設(shè)正方形的對(duì)角線長為 則 中至少有一個(gè)是奇數(shù)。由畢達(dá)哥拉斯定理， 即 ，從而 為偶數(shù) 必為奇數(shù)，又設(shè)因而 是偶數(shù)，這便產(chǎn)生了矛盾，即對(duì)角線長不能用整數(shù)比來表示。7/17/2022又如，古希臘數(shù)學(xué)家海倫巧妙的運(yùn)用了“對(duì)稱變換”解決了幾何中著名的極值問題“A,B是直線CD同側(cè)兩點(diǎn)，試在CD上求一點(diǎn)P使PA+PB最短”。（光反射定理，又稱海倫定理。還有海倫公式：思考：怎樣求解？又如：德國幾何學(xué)家斯丹納在證明“周長一定的一切平面封閉圖形中，以圓的面積最大”時(shí)，由于靈活地運(yùn)用