固體物理17講習題參考答案

1、第三講3.1證明：體心立方晶格的倒格子是面心立方，而心立方的倒格子是體心立方。證：體心立方基矢取為N=yC+萬2=(一亍+了+心&3=尹-j+Q其中a為晶格常數r2力一、2兀肚尹41G2/r一一b_1=-(/+；)=-(/+7)a21其倒格子基欠，按定義fl-l1TOC o 1-5 h z2兀hb2=r_(a3xa1)=L(j+k)一2b-一b3=xN)=(i+k)3Qi2可見，體心立方的倒格子是晶格常數為b=的面心立方。a同理可證，面心立方的倒格子是晶格常數為的體心立方。a3.2證明：倒格子原胞的體積為(2刃3/Q,其中Q為正格子原胞的體積證：正格子原胞體積!Q=&(萬2X3)倒格子原胞體積

2、:Q*=百(玄X)=石血x音(%xa2)利用矢量公式Ax(BxC)=(AC)B-(AB)-C并利用性質5=2叫,可得木廠_In_83G=Sci、2/r=11QQ3.3倒格子欠量為Kh=h1bi+h2b2+h3b3,證明布里淵區(qū)邊界方程為:-1-225-捫|=0證：布里淵區(qū)邊界垂直且平分倒格欠斤/故該邊界面上任一矢量滿足(k-Kh)Kh=0即邊界方程為2-r-l|2=03.4畫圖作出二維正方格子和二維簡單六方晶格的前三個布里淵區(qū)。解：正方格子的倒格子仍是正方格子，六角格子的倒格子仍是六角格子。首先根據正格子原胞基欠計算倒格子原胞基欠（略），根據倒格子原胞基欠畫出倒格子點陣,然后畫出前三個布里淵區(qū)

3、。Tn/mZnIJn/uiK/ni正方格子的布里淵區(qū)六角格子的布里淵區(qū)3.5寫出體心立方第一布里淵區(qū)圖上點的倒格子空間坐標。布里淵區(qū)中心用I、表示，表示100軸，A表示111軸，工表示110軸。r（oo0）H（o-o）2（o-o）4NG掃Z88111P（）A（444888131第四講4.1倒格子矢量為Kft=h1b1+h2b2+h3b3,證明布里淵區(qū)邊界方程為:1221瓦-日瓦=0證明此方程就是波在晶體中(A1A2/23)晶面族上發(fā)生全反射的布喇格方程。證：布里淵區(qū)邊界垂直且平分倒格矢斤“，故該邊界面上任一欠嵬滿足(斤押.心=0即邊界方程為2-|,|2=0取斤方向最短的倒格矢為斤,Kh=nK0

4、將而間距公式d=In代入邊界方程，有InInnCOS(p-=0其中，卩為斤與斤/，的夾角。取其余角，0=-(p，上式化為22dsin&=/以即Bragg公式。4.2.討論KC1晶體的兒何結構因子及消光條件。提示,疋和C有相同的電子殼層結構和相同的原子形狀因子。解：KC廠電子殼層結構相同，具有相同的原子形狀因子，fK+=fcr=f單胞中4個K”，4個C，各自排為面心結構，設其坐標分別為K:(0,0,0)(y,y,O)(y,O,y)(O,y,y)Cl：C，0,0)+Kg幾何結構因子厲紅=丈/嚴=/a+einH)1+e-，Xw+K)+e-H+Q+eK+L);=1消光時,HKL=0o條件:(1)H為奇

5、數或G1)H+K,H+L,K+L中有兩奇一偶,即衍射面指數中H,K丄不能為全奇或全偶。因此，只需HKL中存在一個奇數，即會消光。注:由于/點=廣，故對X射線衍射而言也可將晶體視為簡單立方結構但此時晶格常數減小一倍，相應倒格子基矢擴大一倍。因此簡單立方中(才K厶)所表示的晶面，如(111),在原系統(tǒng)中為(HKL)=(2H2K2厶)，即(222)。盡管對簡單立方而言，不存在消光，HK1L可任取正整數值，但厶卻只能取偶數，這丁前而的結果一致。43.證明対立方晶系進行X射線粉末衍射照和時，如果衍射面指數為(HKL),出現的衍射線GT+K+Z?的值如下：簡單立方：1,2,3,4,5,6,8,9,10,1

6、1,12,.體心立方：2,4,6,8,10,12,.面心立方:3,4,8,11,12,.金剛石:3,8,11,.解：(1)簡單立方不存在消光，厶可任取非負整數(但不同時為0)(HKL)(001)(Oil)(111)(002)(012)(112)(222)(003)(122)(013)3)g=h2+k2+i2)體心立方幾何結構因子Fhkl=/1+廠+訊)衍射條件H+K+L=偶數，由J：此限制，在簡單立方的列表中去除了G=l,3,5,9-Gbcc=2,4,6,8-面心立方幾何結構因子Fhkl=/1+eH+K+廠心+Q+廠曲+。根據上一道題的討論，衍射條件要求HKL奇偶性相

7、同故列表中只取Gfcc=3,4,8,11金剛石幾何結構因子尸盹=/卩+列面心立方因子即除乩K,厶奇偶性相同外，還須要求(H+K+L)/2不能為奇數，由此1)H,K,L全為奇數或it)H,K,L全為偶數，且三者之和是4的整數倍4.4原子氫的形狀因子。對基態(tài)的氫原子，（電子）數目密度是（r）=（肌Chexp（-2/q）此處a。是玻爾半徑。證明形狀因子是屁=16/（4+K；詬尸nl8提示：利用積分公式卜嚴dx=0(1)由題意知（r）=（加；尸exp（-2廠/勺）代入（1）式，得屁=總劇心P(-2g)sinKM，=斤”rexP(2r/4)exp(jK”)一exp(-iKhr)dr28CO=TT-fre

8、xp(iK_2r/aQ)dr-Jrexp(-z7C/zr-2/7ci0)dr心a。oo00利用積分公式jxneaxdx=0得屁=住K2-W-(-+)-2叫%aQ16(4+K：a訝第五講5.1由J：晶體周期性的限制，證明晶體旋轉對稱軸的轉角只能是2n/n;n=l,2,3,4,6,五種。證：設想有一個對稱軸垂直丁平而，平而內晶面的格點可以用/&+厶石來描述繞通過A的轉軸的任意對稱操作，轉過角度（）B點轉到3點（B，點必有一個格點）A和B兩點等價以通過B點的軸順時針轉過0A點轉到A點（A點必有一個格點）且有（n為整數）7（1-2cos（9）1-2cos0=ncosQ:-1+1n=1,0丄2,39=0

9、o,6090120180o因此晶體的宏觀対稱操作只能是旋轉以上五種角度，其轉軸分別稱為1,6,4,3,2重旋轉對稱軸。TOC o 1-5 h z缶00、1.11證明六角晶體的介電常數張量為0$20代入00，有-+Cg+”4V該操作也為六角晶體的対稱操作，根據D=D,必有因此，介電常數張最可寫為證2：設轉動操作的變換矩陣為八在該操作下二階張看的變換為若該操作為對稱操作，應滿足=因為繞x軸轉180度為對稱操作,0、0代入上式，有o冬S0、0代入上式，有_1丿0、00、-sin60,可得Jcos6010取對稱操作為繞X軸轉180度，T=0-1衛(wèi)再取對稱操作為繞y軸轉180度，T=0I。兄=0J101

10、0最后，取繞z軸轉120度，T=0cos600sin60第六講討論使離子電荷加倍所引起的對NaCl晶格常數及結合能得影響。（排斥勢看作不變）解：NaCl為離子晶體，系統(tǒng)內能可寫為=*羋+召）平衡位置由（讐）=0確定，有22%1當q-2q,=4rQ因為晶格常數aoc%,故晶格常數滿足相同的變化規(guī)律n結合能W=-/=4荷若一晶體的相互作用能可以表示為P_n試求（1）平衡間距m（2）結合能W（單個原子的）（3）體彈性模量（4）若1/1=2,11=10/o=3A,W=4eV,求a,卩值。解：（1）由平衡條件dUdrma嚴事=0,得平衡間距心=（2）將從）理解為晶體中所有其他原子対某一個原子的相互作用則

11、系統(tǒng)總的內能為對所有原子求和U,o,al（r）=-NU（r）2每個原子的結合能W=-U,o,al(r0)/N=一丄”4)=(1-)22r0mn（3）晶體總體積為V=cNr3,其中N為原子數，c是與晶格結構細節(jié)有關的常數體彈性模最j2rjtotal“心)1d1d,r（18c0drr2dr存名)1d218c7qdr2A+118%mQn+V）a十（72+1）0f0rna（n一ni）=18c嚴（4）將數據代入結論（2）,得0=90eV-A3,/?=1.18xl05eV-A102.4經過sp3雜化后形成的共價鍵，其方向沿立方體的四條對角線，求共價鍵之間的夾角。解:共價鍵之間的夾角與立方體的対角線之間的交

12、角相同。za.kc聯結位丁原點的格點和位體心的格點，立方體邊長以a表示a_4=沙+)7ZrZ7b=(-x+y+z)Zr一a廠一、c=丁()*)Cl=|5|=C=y/Cl/2四面體鍵之間的夾角盒,久為：cosoah=需=(x+y-Z)*(-A+y+z)=-iab33cos/=-(x+y_Z)(x_y+z)=-ac33cosOhc=-=(-x+y+zy(x-y+t)=-be33所以，髓“嚴弘=109286.1用中性組合法求二級近似卜的馬德隆常數。解：馬德隆常數0=工子(nm2n3)(001)(011)(111)(002)(012)(112)(022)(122)(222)離子數m6128624241

13、2248電荷因子z+-+-+-+-邊界因子71111/21/21/21/41/8距離d13y/12代入上表中的數值，可得a=1.752第七講7.1證明惰性氣體晶體中原子間的范德瓦爾斯一倫敦相互作用吸引勢和原子間距離成反比。證：相距為r的兩個惰性氣體原子，原子中電子是球對稱分布考慮偶極矩作用設原子1的瞬時電偶極矩耳，在r處產生的電場EP|/r原子2在電場的作用I、感應偶極矩P2=aE(ct原子的極化率)兩個電偶極子之間的相互作用能E=P1P2/r3=aP13/r626用Lennard-Jones勢計算Ne在體心立方和而心立方結構中的結合能Z比。解：Lennard-Jones勢為一訥4沁Zr其中N

14、為晶體中的總原子數。由平衡條件dUdr=0,可得結合能W=_)=丄N(4w)2代入書中給出的數據=0.0032,b=2744,免叱=12.13,碼“=14.45,A/cc=9.11,A/cc=11.25,得wBCCwffFCC=0.95727刈于恥從氣體的測量得到的林納德一瓊斯勢參數為e=50XlOerg,。=2.96A，計算結合成面心立方固體分子氫時的結合能(以仟焦耳每摩爾為單位)，每個氫分子可以當做球形來處理。結合能的實驗值為0.751kJ/mol,試與計算值比較。解：以H2為基團，組成fee結構的晶體，如略去動能，分子間按Lennard-Jones勢相互作用，則晶體的總相互作用能為：t/(r)=l(4)A2(-)12-4(-)62rr其中,Ai2=12.13,As=14.45,=50X10“erg,o=2.96A,N=6.022X1027mol平衡時（）廠2心條12.13弓）