新課標(biāo)人教版高中(必修3)《23變量間的相關(guān)關(guān)系》

1、變量間的相關(guān)關(guān)系2.3.1-2復(fù)習(xí)回顧前面我們學(xué)習(xí)了怎樣對(duì)收集來(lái)的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析:頻率分布圖離散程度集中趨勢(shì)下面我們來(lái)介紹一中更為常見(jiàn)的分析方法:變量間的相關(guān)關(guān)系小明,你數(shù)學(xué)成績(jī)不太好,物理怎么樣?也不太好啊.學(xué)不好數(shù)學(xué),物理也是學(xué)不好的?.你認(rèn)為老師的說(shuō)法對(duì)嗎?事實(shí)上,我們?cè)诳疾鞌?shù)學(xué)成績(jī)對(duì)物理成績(jī)影響的同時(shí),還必須考慮到其他的因素:愛(ài)好,努力程度。如果單純從數(shù)學(xué)對(duì)物理的影響來(lái)考慮,就是考慮這兩者之間的相關(guān)關(guān)系我們?cè)谏钪?碰到很多相關(guān)關(guān)系的問(wèn)題:物理成績(jī)數(shù)學(xué)成績(jī)學(xué)習(xí)興趣花費(fèi)時(shí)間其他因素商品銷(xiāo)售收入廣告支出經(jīng)費(fèi)?糧食產(chǎn)量施肥量?付出收入?人體脂肪含量年齡? 以上幾種問(wèn)題中的兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系

2、,我們都可以根據(jù)自己的生活,學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)作出相應(yīng)的判斷,“規(guī)律是經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)”,不管你多有經(jīng)驗(yàn),只憑經(jīng)驗(yàn)辦事,還是很容易出錯(cuò)的,在尋找變量間的相關(guān)關(guān)系時(shí),我們需要一些更為科學(xué)的方法來(lái)說(shuō)明問(wèn)題. 在尋找變量間的相關(guān)關(guān)系時(shí),統(tǒng)計(jì)同樣發(fā)揮了非常重要的作用,我們是通過(guò)收集大量的數(shù)據(jù),對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的基礎(chǔ)上,發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律,才能對(duì)它們之間的關(guān)系作出判斷.下面我們通過(guò)具體的例子來(lái)分析在一次對(duì)人體脂肪含量和年齡的關(guān)系研究中,研究人員獲得了一份樣本數(shù)據(jù):根據(jù)上述數(shù)據(jù),人體的脂肪含量與年齡之間有什么樣的關(guān)系?說(shuō)明:各個(gè)年齡階段的脂肪數(shù)據(jù)是這個(gè)年齡樣本的平均數(shù)年齡脂肪239.52717.83921.24125.94

3、54927.526.35028.25329.65430.25631.45730.8年齡脂肪5833.56035.26134.6 從上表發(fā)現(xiàn)，對(duì)某個(gè)人不一定有此規(guī)律，但對(duì)很多個(gè)體放在一起，就體現(xiàn)出“人體脂肪隨年齡增長(zhǎng)而增加”這一規(guī)律.而表中各年齡對(duì)應(yīng)的脂肪數(shù)是這個(gè)年齡人群的樣本平均數(shù).我們也可以對(duì)它們作統(tǒng)計(jì)圖、表，對(duì)這兩個(gè)變量有一個(gè)直觀上的印象和判斷. 下面我們以年齡為橫軸，脂肪含量為縱軸建立直角坐標(biāo)系，作出各個(gè)點(diǎn)，稱(chēng)該圖為散點(diǎn)圖。如圖：O20253035404550556065年齡脂肪含量510152025303540通過(guò)分析、觀察可以看到：隨著年齡的增長(zhǎng)，人體脂肪含量越高，這表明兩個(gè)變量之間

4、的確存在一定的關(guān)系。從散點(diǎn)圖可以看出：所有的點(diǎn)大致在一條直線附近波動(dòng)，我們稱(chēng)這兩個(gè)變量間存在線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線(regression line)遞增我們叫它們正相關(guān)遞減我們叫它們負(fù)相關(guān)O20253035404550556065年齡脂肪含量510152025303540 從剛才的散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)：年齡越大，體內(nèi)脂肪含量越高，點(diǎn)的位置散布在從左下角到右上角的區(qū)域。稱(chēng)它們成正相關(guān)。但有的兩個(gè)變量的相關(guān)，如下圖所示：如高原含氧量與海拔高度的相關(guān)關(guān)系，海平面以上，海拔高度越高，含氧量越少。 作出散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)，它們散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)。又如汽車(chē)的載重和汽車(chē)每消耗1升汽油所行使的平均路程，

5、稱(chēng)它們成負(fù)相關(guān).O 如果可以求出這條直線的方程(回歸方程),那么我們就可以比較清楚的了解年齡與體內(nèi)脂肪含量的相關(guān)性.這條直線就可以作為兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系的代表怎樣求線性回歸方程呢?方案1、先畫(huà)出一條直線，測(cè)量出各點(diǎn)與它的距離，再移動(dòng)直線，到達(dá)一個(gè)使距離的 和最小時(shí)，測(cè)出它的斜率和截距，得回歸 方程。20253035404550556065年齡脂肪含量0510152025303540如圖 ： 方案2、在圖中選兩點(diǎn)作直線，使直線兩側(cè) 的點(diǎn)的個(gè)數(shù)基本相同。 20253035404550556065年齡脂肪含量0510152025303540方案3、如果多取幾對(duì)點(diǎn)，確定多條直線，再求出 這些直線

6、的斜率和截距的平均值作為回歸 直線的斜率和截距。而得回歸方程。 如圖我們還可以找到 更多的方法，但 這些方法都可行 嗎?科學(xué)嗎？ 準(zhǔn)確嗎？怎樣的 方法是最好的？20253035404550556065年齡脂肪含量0510152025303540我們把由一個(gè)變量的變化去推測(cè)另一個(gè)變量的方法稱(chēng)為回歸方法。（二）回歸直線 實(shí)際上,求回歸直線的關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法來(lái)刻畫(huà)”從整體上看,各點(diǎn)到此直線的距離最小”. 我們上面給出的幾種方案可靠性都不是很強(qiáng)，人們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的實(shí)踐與研究，已經(jīng)找到了計(jì)算回歸方程的斜率與截距的方法:以上公式的推導(dǎo)較復(fù)雜，故不作推導(dǎo)，但它的原理較為簡(jiǎn)單：即各點(diǎn)到該直線的距離的平方和最

7、小，這一方法叫最小二乘法。于是得計(jì)算回歸方程的斜率和截距的一般公式. 人體的脂肪含量與年齡的相關(guān)關(guān)系的線性回歸方程是：（1）預(yù)測(cè):一個(gè)人37歲時(shí)，他的體內(nèi)脂肪含量可能是多少？（2）比較前面表格中給出的數(shù)值，你有什么體會(huì)？例.下表是某小賣(mài)部6天賣(mài)出熱茶的杯數(shù)(y)與當(dāng)天氣溫(x)的對(duì)比表： (1)試用最小二乘法求出線性回歸方程；(2)如果某天的氣溫是-3，請(qǐng)預(yù)測(cè)這天可能會(huì)賣(mài)出熱茶多少杯 (1)作散點(diǎn)圖如圖所示 解由散點(diǎn)圖知兩個(gè)變量是線性相關(guān)的，計(jì)算各種數(shù)據(jù)如下表 于是：則：分步計(jì)算減少出錯(cuò)于是，線性回歸方程為 y=57.557-1.648x 2)由回歸方程知，當(dāng)某天的氣溫是-3時(shí)，賣(mài)出的熱茶杯數(shù)為 57.557-1.648(-3)63(杯） 練習(xí):根據(jù)下表