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1、專題07射線法、設(shè)點(diǎn)法在圓錐曲線中的應(yīng)用解析幾何題的解題思路一般很容易覓得,實(shí)際操作時(shí),往往不是因?yàn)殡y于實(shí)施,就是因?yàn)閷?shí)施起來(lái)運(yùn) 算繁瑣而被卡住,最終放棄此解法,因此方法的選擇特別重要從思想方法層面講,解決解析幾何問(wèn)題主 要有兩種方法:一般的,設(shè)線法是比較順應(yīng)題意的一種解法,它的參變量較少,目標(biāo)集中,思路明確;而 設(shè)點(diǎn)法要用好點(diǎn)在曲線上的條件,技巧性較強(qiáng),但運(yùn)用的好,解題過(guò)程往往會(huì)顯得很簡(jiǎn)捷對(duì)于這道題, 這兩種解法差別不是很大,但對(duì)于有些題目,方法選擇的不同,差別會(huì)很大,因此要注意從此題的解法中 體會(huì)設(shè)點(diǎn)法和設(shè)線法的不同一、題型選講題型一圓錐曲線中的線段的關(guān)系x2 y22 一例1、(2019南
2、京學(xué)情調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓E: + 2=1(ab0)的離心率為寸,且 a2 b22直線l: x=2被橢圓E截得的弦長(zhǎng)為2.與坐標(biāo)軸不垂直的直線交橢圓E于P, Q兩點(diǎn),且PQ的中點(diǎn)R在直 線l上.點(diǎn)M(1, 0).(1)求橢圓E的方程;(2)求證:MRXPQ.x2 y2一 、.2一 .c2b2 1 一一、規(guī)范解答(1)因?yàn)闄E圓3+=1360)的離心率e=3,所以e2=1=1一=2,即a2=2b2. (2分)因?yàn)橹本€l: x=2被橢圓E截得的弦長(zhǎng)為2,所以點(diǎn)(2, 1)在橢圓上,即2+(=1.解得 a2=6, b2=3,x2 y2所以橢圓E的方程為/+yT =1.(6分)63(2)
3、解法1(設(shè)線法)因?yàn)橹本€PQ與坐標(biāo)軸不垂直,故設(shè)PQ所在直線的方程為y=kx+m.設(shè) P(x1,y1),Q(x2,y2).因?yàn)镻Q的中點(diǎn)R在直線l: x=2上,故R(2, 2k+m).聯(lián)立方程組錯(cuò)誤!消去 y,并化簡(jiǎn)得(1+2k2)x2+4kmx+2m26 = 0, (9 分)4km所以 A+x2=E.4km由 x, +x,=7T72=4,得 1+2k2=km.(12 分)12 12k22k+m,因?yàn)?M(1, 0),故 kMR=j-=2k+m,所以 kMR kpQ=(2k+m)k=2k2+km=2k2(1+2k2)= 1,所以 MRPQ.(16 分)解法 2(設(shè)點(diǎn)法)設(shè) P(x1,y1),
4、Q(x2 y2).因?yàn)镻Q的中點(diǎn)R在直線l: x=2上,故設(shè)R(2, t).因?yàn)辄c(diǎn)P, Q在橢圓E:x62+y2=1上,所以錯(cuò)誤!兩式相減得(x1+x2) (x1x2)+2(y1+y2) (y1y2) = 0.(9 分)因?yàn)榫€段PQ的中點(diǎn)為R,所以x1+x2=4, y1+y2=2t.代入上式并化簡(jiǎn)得(x1x2)+t (y1y2) = 0.(12分)又 M(1, 0),所以疝 PQ = (21)X(x2x1) + (t0)X(y2y1) = 0,因止匕MRPQ.(16分)用代數(shù)法處理圓錐曲線綜合題的常見方法有兩種:設(shè)點(diǎn)法、設(shè)線法.對(duì)于本題而言,兩種方法都可以, 解題時(shí)把“設(shè)線法”與“直線斜率乘積
5、為1”結(jié)合,把“設(shè)點(diǎn)法”與“向量的數(shù)量積為0”結(jié)合,其實(shí)顛 倒一下也可行.x22例2、(2016南京三模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xQy中,已知橢圓C:左十b =1(ab0)的離心率為,點(diǎn)(2,1)在橢圓C上.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)直線l與圓0: *+j2=2相切,與橢圓C相交于P, Q兩點(diǎn).若直線l過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)孔求0PQ的面積;求證:0P 0Q.思路分析 由e=c= 得a:b:c=0:1:1,用b表示a更方便; a 2 設(shè)直線l的方程為y=k(x由),由直線l與圓O相切可先求出k,再求出PQ的長(zhǎng)即可.設(shè)l: y=kx+m,則只要證OP -g=x1x2+y1y2=x1x2+ (kx1
6、+m)(kx2+m) =0.聯(lián)列直線與橢圓方程可得 x1+x2, x1x2均可用k, m表示.由直線l與圓O相切,可得k與m的關(guān)系式.C 2!241規(guī)范解答(1)由題意,得c=岸,-42+a=1,解得a2=6, b2=3.a2 ab所以橢圓的方程為62+與=1.(2分)(2)解法1橢圓C的右焦點(diǎn)F(-.;3, 0).設(shè)切線方程為y=k (%43),即kx y43k=0,所以W3k|=也,解得k=2所以切線方程為y=近(x).當(dāng)k =;5時(shí),(4分) :k2+1y =2(% T),由方程組1%2+y2=1 解得4第+ 36 % =5V6+6 1y=54,3 亞% =5,V66I尸5.所以點(diǎn)P,
7、Q的坐標(biāo)分別為4V3 + 3、./5%+65,4b3 v25-%;665,6:6、所以PQ =不一.(6分)因?yàn)镺到直線PQ的距離為、立,所以4OP。的面積為653.因?yàn)闄E圓的對(duì)稱性,當(dāng)切線方程為y =X&xn)時(shí),OPQ的面積也為653.綜上所述,OP。的面積為用.(8分)解法2橢圓C的右焦點(diǎn)F(-3, 0).設(shè)切線方程為y=k(%-,3),即kx y飛3k=0,所以3k1 fQ,解得k=g,所以切線方程為y = */2(% /).當(dāng)k =也時(shí),(4分) k2+1把切線方程y =陽(yáng)%小)代入橢圓C的方程,消去y得5%28V3%+6=0.一.8-J3設(shè) P(% 1, y 1), Q(%2, y
8、2),則有 % 1 + %2= 5 .由橢圓定義可得,PQ=PF+FQ=2ae(% 1 + %2) = 2X-.,.,62X853=66.(6 分)因?yàn)镺到直線PQ的距離為-五,所以4OPQ的面積為竽.因?yàn)闄E圓的對(duì)稱性,當(dāng)切線方程為y=-n(x時(shí), OPQ的面積吟3綜上所述,0?。的面積為.優(yōu)分)解法1 (i)若直線PQ的斜率不存在,則直線PQ的方程為 =:5或 =f12.當(dāng) =歷時(shí),P (-.;2, 行),。他,一6因?yàn)镺 Oq=0,所以 OPOQ.當(dāng)x =一時(shí),同理可得OPOQ.(10分)(ii)若直線PQ的斜率存在,設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m,即kxy+m=0.因?yàn)橹本€與圓相切,所以
9、;7=2=,2即m 2=2 k 2+2.將直線PQ方程代入橢圓方程,得(1+2k2) x2+4kmx+2m26=0.4km設(shè) P(x 1,y 1),Q(x2,y2),則有 x 1+ x2= 1+2k2,2m26% 1 % 2= 1+2 k2.(12分)O O2m26因?yàn)镺P OQ=x x + y y = x x + (kx + m)(kx + m) = (1+ k2)x x + km(x + x ) + m2 = (1+ k2)X , O72 + 1 21 21 2121 2121+2k2km X4 km 1+2 k2J+m 2.將m2=2k2+2代入上式可得0P 0Q=0,所以O(shè)P0Q.綜上
10、所述,OP OQ.(14分)解法2設(shè)切點(diǎn)T(x0, y0),則其切線方程為x0 x+y0y2 = 0,且x2+y0=2.當(dāng)y0=0時(shí),則直線PQ的直線方程為=血或x =當(dāng) x=歷時(shí),P (2, 2), Q(0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)“3, 2),卜,鼻),點(diǎn)A是橢圓的下頂點(diǎn)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過(guò)點(diǎn)A且互相垂直的兩直線11, 12與直線y=x分別相交于E, F兩點(diǎn),已知OE=OF,求直線11的斜率思路分析(1)由兩點(diǎn)在橢圓上,列方程組解出a2, b2; (2)設(shè)E(t, t),則11的斜率kAE=tZt1.規(guī)范解答(1)由Q反2),(1,坐)兩點(diǎn)在橢圓C上,得b0)的左、右頂點(diǎn)分別為A, :8,離心
11、率為1 a2 b22點(diǎn)P(1, 為橢圓上一點(diǎn).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)如圖,過(guò)點(diǎn)C(0, 1)且斜率大于1的直線1與橢圓交于M, N兩點(diǎn),記直線AM的斜率為k1,直線BN的斜率為k2,若k1=2k2,求直線1斜率的值.思路分析(1)根據(jù)已知條件,建立方程組,求出a, b,即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)設(shè)出直線l方程為y=kx+1, M(x1, y1), N(x2, y2),將直線l方程與橢圓方程聯(lián)立,求出x1+x2和 xF2,根據(jù)條件求出k1和凈代入k1 = 2k2化簡(jiǎn)計(jì)算,得到關(guān)于k的方程,解方程求出k的值.規(guī)范解答(1)因?yàn)闄E圓的離心率為2,所以a=2c.又因?yàn)?a2=b2+c2,
12、所以 b=、./3c.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為W+總=1.(3分)4c 3c9又因?yàn)辄c(diǎn)P(1, 3)為橢圓上一點(diǎn),所以白+白=1,解得c=L(5分)24c 3cx2 y2所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為了+y3 =1.(6分)(2)由橢圓的對(duì)稱性可知直線l的斜率一定存在,設(shè)其方程為y=kx+1.設(shè) M(x1, yj, N(x2,y2).聯(lián)立方程組錯(cuò)誤!消去y可得(3+4k2)x2+8kx8 = 0. TOC o 1-5 h z 8k8所以由根與系數(shù)關(guān)系可知x +x = 2/,x x = .(8分)234k21 234k2因?yàn)?k = y1, k = y2,且 k=2號(hào),所以 y =-空。分)x22 x 212
13、 x2 x 2212即y2=4y2即 (x1+2) 2(x22) 2.又因?yàn)镸(x1, y1), N(x2, y2)在橢圓上,33所以 y2=4(4x2), 丫2=4(4x2),x 4(2x)將代入可得:=T=;一J,即 3xx9 + 10(x, +xj+12 = 0.(12 分)2x2x1 21212所以 3(384k2) + 10(3:84 + 12 = 0,即 12k220k+3 = 0.(14 分)133解得k=Z或k=J,又因?yàn)閗1,所以k=7.(16分) 622x2例5、(2019通州、海門、啟東期末)如圖,A是橢圓J+y2=1的左頂點(diǎn),點(diǎn)P, Q在橢圓上且均在x 軸上方,(1)若
14、直線AP與OP垂直,求點(diǎn)P的坐標(biāo);3(2)若直線AP, AQ的斜率之積為3,求直線PQ的斜率的取值范圍.思路分析第1問(wèn),由于點(diǎn)A, O已知,且APLPO,由此可得點(diǎn)P所滿足的軌跡方程,再根據(jù)點(diǎn)P 在橢圓上,就可以通過(guò)兩個(gè)方程所組成的方程組求得點(diǎn)P的坐標(biāo).第2問(wèn),要研究直線PQ的斜率的取值范圍,由于點(diǎn)P、Q與直線AP,AQ有關(guān),因此,利用解方程組 的方法可以將點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)表示為直線AP,AQ的斜率的形式,進(jìn)而將直線PQ的斜率表示為直線AP,3AQ的斜率的形式,利用kA -k八=4就可以利用基本不等式或利用消元法轉(zhuǎn)化為單個(gè)變量的函數(shù)形式,通 AP AQ 4過(guò)函數(shù)求得它的取值范圍(1)設(shè) P(x0
15、, y0), A(2, 0),則AP=(x0, y0), (OP=(x0, y0),因?yàn)橹本€ AP 與 OP 垂直,所以AP-OP=0,即 x0(x0+2)+y2=0.(3 分)得 x0+2x0+y0=0.x2又點(diǎn)P在橢圓上,所以?+y0=1.由得x0=3或一2(舍去),代入得y0=手.因?yàn)辄c(diǎn)P在x軸上方,所以P(2,斗)(6分)3(2)由于直線AP, AQ的斜率之積為4,點(diǎn)P, Q在橢圓上且均在x軸上萬(wàn).3所以可設(shè)直線AP, AQ的斜率分別為k1, k2,則k1k2=3, k10,k20.所以直線AP的方程為y=k1(x JL4J. 4 *1 11JL4,L2)x2+y2=1聯(lián)立j 4得(4
16、耳+1)x2+16k;x+16k24=0.(8 分)0, k20.所以k1+k2三2:kk2=:3注意到,點(diǎn)P, Q不重合,所以重號(hào)不成立.所以 02 (k2+k1) b0)的離心率為卓, a2 b22兩條準(zhǔn)線之間的距離為42.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;8(2)已知橢圓的左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)M在圓x2+y2=9上,直線AM與橢圓相交于另一點(diǎn)B,且AOB的面積是4AOM的面積的2倍,求直線AB的方程.思路分析(1)基本量建立方程組,求出a, b的值,得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)由面積關(guān)系,分析出M為AB的中點(diǎn),這里有兩種思路,解法1,設(shè)出M(x0, y0),得出B的坐標(biāo), 分別代入橢圓與圓的方程,建立方程組,求
17、出M的坐標(biāo);解法2,設(shè)出直線的方程y=k(x+2),由直線與 橢圓聯(lián)立,得出M的坐標(biāo),代入圓的方程,得到一個(gè)關(guān)于k的方程,解得k的值. 一,一、.一_. 、 ,一c X.12 2a2i規(guī)范解答(1)設(shè)橢圓的焦距為2c,由題意得=牛 2a=4、:2, (2分)a 2 c解得 a=2, c=、:2 所以 b=2.所以橢圓的方程喏+y2=1.(4分)(2)解法1(設(shè)點(diǎn)法)因?yàn)镾aAn =2SaAc 所以AB = 2AM,所以M為AB的中點(diǎn).(6分) AOBAOM因?yàn)闄E圓的方程為?+5=1,所以A(2, 0).設(shè) M(x0, y0)(一2b 0)的離心率為W,上頂點(diǎn)A到右焦點(diǎn)的距離為、;過(guò)點(diǎn)D(0,m
18、)(mW0)作不垂直于x軸,y軸的直線l交橢 圓E于P, Q兩點(diǎn),C為線段PQ的中點(diǎn),且ACXOC.(1)求橢圓E的方程;(2)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;S8(3)延長(zhǎng)AC交橢圓E于點(diǎn)B,記AOB與AOC的面積分別為S, S,,若S1=3,求直線l的萬(wàn)程.12 S3思路分析用代數(shù)法處理圓錐曲線綜合題的常見方法有兩種:設(shè)點(diǎn)法、設(shè)線法,本題第(2),(3)問(wèn)都分 別采用設(shè)線法和設(shè)點(diǎn)法解題.第(2)問(wèn),欲求實(shí)數(shù)m的取值范圍,則需建立m與其他參數(shù)的關(guān)系,進(jìn)而借助 其他參數(shù)的取值范圍求解.解法1是設(shè)線法,先建立m與直線l斜率k的等式關(guān)系,再由直線與橢圓相交 得到的k的取值范圍來(lái)求解m的取值范圍;解法2是設(shè)點(diǎn)法
19、,先建立m與點(diǎn)C(x0, y0)坐標(biāo)間的等式關(guān)系, 再借助線段PQ的中點(diǎn)C在橢圓內(nèi)部求解m的取值范圍.第(3)問(wèn),選取面積的表示形式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵,本題選擇S =1AOX|x|, S =1AOX|x|時(shí),S1= xB,進(jìn)而在第問(wèn)的基礎(chǔ)上分別用k或m表示x , x 12B 22CS xB C2C求解c_,x2規(guī)范解答(1)因?yàn)?a 2 所以c1, b2a2c21,所以橢圓E的方程為2+y21.(2分)la-啦,(2)解法 1(設(shè)線法)由得 A(0, 1).設(shè) P(x1,y1),Q(x2,y2), C(x0, y0).設(shè)直線 l 方程為 ykx+m(kW0),4km TOC o 1-5 h z
20、HYPERLINK l bookmark78 o Current Document 將其與橢圓E的萬(wàn)程聯(lián)立,消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m22 0 (*),所以x, +x? -2, (41212k2分)x1+x22km _,m(_ 2km m )所以 x0 2 1+2k2, y0kx0+m1+2卜2,即 Cl 1+2k2,1+2k2_J, HYPERLINK l bookmark84 o Current Document m 1,所以kAC HYPERLINK l bookmark86 o Current Document 1+2k22k2+1m、2km 2km .(6 分 )1+
21、2k2mr yl+2k21又因?yàn)?koc=y0=2k,且 ACOC,012k2crtsI2k2+1m ( 1所以 kAC koc=2km l2kJ= 1,整理得m=4k2+1.(8分)一 .2k2+1 4k2+12k22k21(1 .因?yàn)?kWO,則 m=2k;X7=1=1 ;2T7 =1T(1,1 ),此時(shí) A=8(2k2+1m)0,4k2 十 14k2 十 14k2 十 11V2J/2 + 2k2所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為,1).(10分)解法2(設(shè)點(diǎn)法)由(1)得A(0, 1).設(shè) P(x1,y1),Q(x2,y2), C(x0,y0),其中 x0,y0均不為 0,且 x1Wx2.因?yàn)镻,Q
22、兩點(diǎn)都在橢圓E上,所以x2+2y2=2且x2+2y2=2,兩式相減得乙乂卜二一1.(4分)x2x1 x02又 kpQ=%,即=,所以 1xy0=2,(6 分)PQ CDx2x1x0 x0 x02即 x2=2y0(my0).又 ACLOC,所以y0*/: 1,(8 分)x0 x0即 x2=y0(1y0).由得 y0=2m1, xO=(12m) (2m2)(0, 2), 所以 1Vm1.(10 分) 解法1設(shè)B(x3, y3),由(2)解法1知kOC=2k.kAB=1-=2k,所以直線AB的方程為y=2kx+1, kOC8k與橢圓E方程聯(lián)立解得x=E或x=0(舍),8k即 x3=1+k2.(12
23、分)2km 2k 2k2十1又因?yàn)?x0= 1 +2k2= 1 +2k2X4k2+12k 1+4k2,v 2aOXIx3I所以胱=12 2AO x ix i8k I1 + 8k2l4+16k2、M l= 1+Q(14 分) 1+4k2!HdS 8 m4+16k2 8 即,日 I 1 因?yàn)镾1=3,所以1+8卜2 =3,解得k=2,此時(shí)m:2:3,點(diǎn)D坐標(biāo)為I。,3), 4k21 4413所以直線l的方程為y=2x+4.(16分)解法2設(shè)B(x3, y3),點(diǎn)B在橢圓E上,所以x2+2y2=2.又 Adoc,所以 y3xy:T,即 y3:x0 x +1,y0 3代入上式消去y3,得x3=y4yx
24、2(x3 = 0舍),(12分)v 2AOX|x3l所以S1:12 2AO X |x Ix3x0由(2)解法 2 知 y0=2m1, x0:(1 2m) (2m2)2Vmn0)的左、右焦點(diǎn)分別為F 1, F2, P是以橢圓短軸為直徑 的圓上任意一點(diǎn),則PF 1. PF2: 答案: 2 nm 解法 1 PF1PF2=( PO+OFJ( PO+OF2) = ( PO+OFJ( PO OF 1) : I PO |2I OF 1|2:n (mn ) = 2 nm.解法 2 設(shè) F 1(c, 0), F2(c, 0), P(x, y),則 x2+y2=n, PF 1。PF2=(x+c)(xc)+y2=x
25、2+y2c2:n (m n)=2nm.x2 y2例9、(2018南京、鹽城一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)Oy中,橢圓C:公+ 2=1(ab0)的下頂點(diǎn)為B,a2 b2點(diǎn)M, N是橢圓上異于點(diǎn)B的動(dòng)點(diǎn),直線BM, BN分別與x軸交于點(diǎn)P, Q,且點(diǎn)Q是線段OP的中點(diǎn).當(dāng)卑)處時(shí),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為四,(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線MN交y軸于點(diǎn)D,當(dāng)點(diǎn)M, N均在y軸右側(cè),且DN=2NM時(shí),求直線BM的方程.思路分析 第(2)問(wèn)中由DN=2NM,可得2xM=3xN.可以用直線BM, BN的方程,與橢圓聯(lián)立得到橫 坐標(biāo),即可求出直線BM的斜率k;也可以用點(diǎn)M, N表示直線方程得出點(diǎn)P, Q坐標(biāo),再利
26、用向量關(guān)系得 出坐標(biāo)之間的關(guān)系,最后回代橢圓求解規(guī)范解答 由nQs,由,Q呼,0),得直線NQ的方程為y=2x小.(2分)令x=0,得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,一,).所以橢圓的方程為x2+y2=1.(4分)(一行(、舟2 (即2將點(diǎn)N的坐標(biāo)(小,期代入,得(|)+、一 =1,解得a2=4. 2 Ja3所以橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程喏+y2=1.(8分)(2)解法1(設(shè)線法)設(shè)直線BM的斜率為k(k0),則直線BM的方程為y=kx-.;3.在 y=kx/3中,令 y=0,得xp=乎,而點(diǎn)Q是線段OP的中點(diǎn),所以xn=23.所以直線BN的斜率k N=k0-3)= P kQ 2kBN BQ一02k-02k.(10
27、分)(注:由kBM=OB =OP,k =OBkBN OQ,及 OP=2OQ 也可得到 kBN=2kBM.)fy=kx-.3, 聯(lián)立 x2 , y2匕 + 3=1,消去 y,得(3+4k2)x2-8/3kx=0,解得xM=*k2 用 2k代替 k,得y =J3k (12xN=316k2 .(12分)又DN=2NM,所以 xN=2(xM-xN),得 2xM=3xN.(14 分)故2*嚼=3*號(hào),又20,解得k=乎所以直線BM的方程為y=乎x-(16分)3解法2(設(shè)點(diǎn)法)設(shè)點(diǎn)P, Q的坐標(biāo)分別為(2t, 0), (t, 0), t0,則直線BM的萬(wàn)程為y=;x:J3, (10 乙t分)0,解得t=W
28、,所以k=羋所以直線BM的方程為y=半x、回(16分) 1 十 t24 十 t2222解法3(設(shè)點(diǎn)法)設(shè)點(diǎn)M, N的坐標(biāo)分別為(x1, y1), (x2, y2).由B(0,門),得直線BM的方程為y= y13一x1.同理,得 xQ=yft23.令y=0,得xp而點(diǎn)Q是線段OP的中點(diǎn),所以xp=2xQ, =2X 3x .(10 分)3x2又DN=2NM,所以 x2=2(x1乂2),得 *2=鏟0,從而:y1+-y2+丁,“4v13、解得 y2=3yl+V.(12 分)=2“2 鏟1, 工 ,x2(4y + V3) 2心代入橢圓C的方程,得x1+421一=1.4 山9275=3丫1+ 3又 x2
29、=4(1y2),所以+(y=1, (14 分)即、;13y2+2y1;3 = 0,解得y1 = (舍)或y1=彳又乂1 0,所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為故直線BM的方程為y=x一,.13.(16分)x 2Y 22例10、(2018蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)如圖,橢圓益味=1( b 0)的離心率為-,焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1,點(diǎn)A , B , C分別為橢圓的左頂點(diǎn)、右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C的直線/交橢圓于點(diǎn)D,交x軸y2)于點(diǎn)M (,0),直線AC與直線BD交于點(diǎn)N(x2,(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若CM = 2 MD,求直線/的方程;規(guī)范解答(1)由橢圓的離心率為巨,焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1.2c_a 2,解得V
30、正-c 1, V、ca b0,且點(diǎn)P(乎,乎)是橢圓C1,C2位于第一象限的交點(diǎn).(1)求橢圓C1, C2的標(biāo)準(zhǔn)方程; 過(guò)y軸上一點(diǎn)Q的直線l與橢圓C2相切,與橢圓C1交于點(diǎn)A, 8,已知6=5而,求直線l的斜率再將點(diǎn)規(guī)范解答(1)橢圓C: X2+y2=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(土c, 0),代入橢圓C,的方程有c2=1. 1 a2 b22b222的坐標(biāo)代入橢圓C1, C2的方程有C1: 3a2+京=1,更nb2-1,所以 a2=b2+c2,解得 a2=2, b2=c2=1.(3 分)V2 2、-k= 1.3a2 十 3b2 1,所以橢圓C1,C2的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為2f+y2=1,三+x2=1.(5 分)
31、(2)由題意直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=kx+m, A(X1, y1), B(x2, y2), P(0, m).y22+x2=1,乙消去y得(kx+m) 2、y=kx+m,+x2=1,即(1+ 與jx2+kmx+m 1=0,A =k2m24(1+覆愕一1) = 0,即 k2+2m2=0.(7 分)由12 消去 y 得,+(kx+m)2=1,即(2+k2)x2+2kmx+m21=0.、y=kx+m,因?yàn)镼A=5qB,即(x/y1m)=3(x2,y2m),有 5x1 = 3x2,所以2km+2 +k22 佶+k22 佶+k2化簡(jiǎn),得揄=4-人2輸2+2或 km=4;k2m2+2,即 k2
32、m2= 16(k22m2+2).(12 分),k2=2,fk2=4,又因?yàn)閗2+2m2=0,解得或m2=41m2=6,所以直線l的斜率為虱5或2.(14分)均符合(*)式,故k=%舊或2.、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1、(2019宿遷期末)如圖所示,橢圓M:x2 y22裝+ 2=1(ab0)的離心率為六-, a b2右準(zhǔn)線方程為x=4,過(guò)點(diǎn)P(0,4)作關(guān)于y軸對(duì)稱的兩條直線L,l2,且l1與橢圓交于不同兩點(diǎn)A, B, l2與橢圓交于不同兩點(diǎn)D, C.(1)求橢圓M的方程;(2)證明:直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q(0, 1);(3)求線段AC長(zhǎng)的取值范圍.思路分析對(duì)于(2),要求證明交于一點(diǎn)Q(0, 1),角度一
33、:根據(jù)圖形的對(duì)稱性可設(shè)A(a,yj, B(x2,y2),則 D(Xj y1), C(x2, y2),再設(shè)11方程為y=kx+4,則可由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系判斷出點(diǎn)B, D,Q三點(diǎn)共線,同理有點(diǎn)A,C,Q三點(diǎn)共線,這個(gè)角度的邏輯是借助了給出的定點(diǎn)(0,1),然后驗(yàn)證,有些不嚴(yán)謹(jǐn);角度二:直接求直線AC和直線BD的方程,聯(lián)立求解坐標(biāo),這個(gè)方法是邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)氖走x,不過(guò)計(jì)算量稍大.對(duì)于(3),可由兩點(diǎn)間的距離公式表示出AC的長(zhǎng)度,將表達(dá)式的關(guān)于x1, x2的結(jié)構(gòu)用含有k的式子代換掉,回歸一元變量,求解最值,可直接求導(dǎo). 但是解析幾何中的最值,直接求導(dǎo),暴力求解最值的較少,更多的是化簡(jiǎn)函數(shù)表達(dá)式,根
34、據(jù)結(jié)構(gòu)采用基本不等式(無(wú)法取等的時(shí)候就求導(dǎo)來(lái)解決)來(lái)求解最終的最值(或者值域),必然要有定義域,所以尋找函數(shù)的定義域是非常重要的,而解析幾何中直線和曲線聯(lián)立(曲直聯(lián)立)以后的關(guān)于式或者y)的一元二次方程有解,判別式就是很重要的一個(gè)點(diǎn),也就是定義域的一個(gè)重要來(lái)源,有些題目甚至是唯一來(lái)源24 = 64k2960.、y=kx+4,24x1 * x2=1+2k2,(6分)直線AC的方程為y=直線BD的方程為y=y2 rx2y2yX2 + xx1)+kx1+4.y2 rx2y y1(x X2) + y2 = X2+1(X x2) + kx2 + 4.121聯(lián)立直線AC和直線BD的方程并化簡(jiǎn)得k(x1+x
35、2)=y2+y1,即 x2 x1k區(qū)一x,)2xx2 + x1x2 + x1k一1,即工2x=1= 1,解得 x=0. x2 + x1y y在直線AC的方程中,令乂=0,得y= 4工4(x )+kx +4= x-+x,1121kxkx2x2 + x11(x )+kx +4=2/X1+4.11X2 + X1曲 一16k將 x1+x2=1+2k2,24x1 * x2=1+2k2代入計(jì)算得y=2k+x1+4=48k1+2k2+4 = 3+4=1. 16k1+2k248k1+2k21+4=+4=3+4 = 1.116k1+2k22kx x同理可得,在直線BD的方程中,令x=0,得y=2kX2x x2+
36、x故直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q(0, 1).(3)由(2)可知 AC2=(x1+x2)2+(y1y2)2=(x1+x2)2+k2(x1 x2)2= (X+x2)2+k2 (x1+x2) 24x1 , x2162k2r162k2x 24 _4k4+10k2=(1+2k2) 2+k2L (1+2k2) 2- X1+2k2=16X4k4+4k2+1(,6k21 )、= 1611+4k4+4k2+J(12 分)t+1令 t=6k21,則 k2=.63又由 A= 162k24 X 24X (1+2k2)0 得 k22,所以 t8,. 9t,9、所以 AC2=16+ %= 16(1+t = 16(1+6)
37、. (14 分)t+Y+8因?yàn)?t+F+S);= 1 160 在 t(8,+8)上恒成立, tt2所以t+華+8在t(8,+8)上單調(diào)遞增,169193所以 t+,+818, 0V773, 11+ 77不t1161c 21161c 2t+ +8t+8所以16AC224, 4ACb0),若橢圓E2:;嬴+漆=1(ab0,m1),則稱橢圓E2與橢圓E1 “相似”.(1)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)(:2 1),且與橢圓Ej x2+y2=1 “相似”的橢圓E2的方程. 1 / 2(2)若橢圓E1與橢圓E2“相似”,且m=4,橢圓E1的離心率為號(hào),P在橢圓E2上,過(guò)P的直線l交橢圓E1于A, B兩點(diǎn),且AP=AB.若B的
38、坐標(biāo)為(0, 2),且為=2,求直線l的方程;若直線OP, OA的斜率之積為一上求實(shí)數(shù)為的值.規(guī)范解答(1)設(shè)橢圓E2的方程為/+y2=1,將點(diǎn)(;2 1)代入得m=2,所以橢圓E2的方程為X2+y2=1.(3分) 22 ”.(2)因?yàn)闄E圓E,的離心率為V,故a2=2b2,所以橢圓Ej x2+2y2=2b2.又橢圓 E2與橢圓E1“相似,且m=4,所以橢圓E2:x2+2y2=8b2.設(shè) A(xy1),B(x2,y2),P(x0,y0).解法1(設(shè)線法)由題意得b=2,所以橢圓E1: x2+2y2=8.當(dāng)直線l斜率不存在時(shí),B(0, 2), A(0,-2), P(0, 4),不滿足AP=2AB,
39、從而直線l斜率存在,可設(shè)直線l: y=kx+2,代入橢圓 E1: x2+2y2=8 得(1+2卜2、2+8卜乂=0,8k,24k2解得 x1=1+k2, x2=0 故 y1=i+k2, y2=2,I 一 8k24k21、所以 A11+2k2, 1+2kJ.(5 分)一.一 . ( 8k2+12k2)、又AP=2AB,即 B 為 AP 中點(diǎn),所以 P11+k2,1+2k2 ),(6 分)代入橢圓E2: x2+2y2=32得(8k 2(2+12k22(1+2k2J +2(1+2k2 ) =32,即20k4+4卜23 = 0,即(10卜23)(2卜2+1) = 0,所以k=答,所以直線l的方程為y=
40、舞x+2.(8分)解法 2(設(shè)點(diǎn)法)由題意得 b = 2,所以橢圓 E1: x2+2y2=8, E2: x2+2y2=32.由 A(x1, y1), B(0, 2),則 P(x1, 4y1).代入橢圓得:2+2(=一;1) 2=32,解得2,故 x1 = 卑 (6 分)所以直線l的斜率k=答,所以直線l的方程為y=530 x+2.(8分)一2,即琳1+以丫1 = 0. 1由題意得 x0+2y0=8b2, x;+2y;=2b2, x2+2y2=2b2, 解法1(設(shè)點(diǎn)法)由直線OP,OA的斜率之積為一2,得x 一一 i r一,.一,一 又AP=AB,則儀0*1,丫0丫1)=入(*2x1, y2y1
41、),解得x2x0+(九-1) x1丫2 =人y0+(1)y11,(12分)所以x0+(為一1) x1人2+2y0+ (八 一1) y1人2= 2b2,則 x0+2(九一1)x0 x1+(X-1)2x2+2y0+4(九一1)y0y1+2(九-1)2y2=2X2b2,(x2+2y0)+2(九一1)(x0 x1+2y0y1)+(為一1)2(x;+2y2)=2為2b2,所以 8b2+(九-1)2 2b2=2入2b2,即 4+(九一1)2=入2,所以為=2.(16分)解法2(設(shè)線法)不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限,設(shè)直線OP: 丫=卜乂(40),代入橢圓E2: x2+2y2=8b2,解得x02;5b2 2bk1+
42、2k2,1+2k2,直線OP,OA的斜率之積為一1,則直線OA: y=4乂,代入橢圓E,: x2+2y2=2b2, 22k1解得 x = 一 ; 2bk :,則y =, =.1;1+2k21 1+2k2所以x0+(為-1) X1人2+2y0+(1)y1人2=2b2,x2_X0+(九一1) X1= 人 ,(12分)_y0+(1)y1一 人 ,一 f一 fI又AP=AB,則(x0 x1, y0y1)=入(x2-x1,y2y1),解得則 x0+2(九-1)x0 x1+(X-1)2x2+2y0+4(九-1)y0y1+2(九-1)2y2=2X2b2, 2、J2b2bk TOC o 1-5 h z (*2
43、+2丫2)+2(入-1)(x0 x1+2y0y1)+(九-1)2(x2+2y2)=2入2b2,所以 8b2+2(九-1) f ( f ) + 000 10 1111+2k21+2k22 2 bk b+(X-1)2 2b2=2入2b2, HYPERLINK l bookmark260 o Current Document 1+2k2 .1+2k2ip 8b2+(九-1)2 2b2=2入2b2,即口 4+(入-1)2=入2,所以為=2.(16 分)3、(2017南通、揚(yáng)州、淮安、宿遷、泰州、徐州六市二調(diào))如圖,在平面直角坐標(biāo)系Oy中,已知橢展+ a2y22尢=13b0)的離心率為2,C為橢圓上位于
44、第一象限內(nèi)的一點(diǎn).(1)若點(diǎn)C的坐標(biāo)為Q,3),求a,b的值;(2)設(shè)A為橢圓的左頂點(diǎn),B為橢圓上一點(diǎn),且宿=2OC,求直線AB的斜率.c2思路分析(1)由 e=1,得 a2 : b2 : c2=9 : 5 : 4.a3(2)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo),則能用C的坐標(biāo)表示B的坐標(biāo),由B, C兩點(diǎn)在橢圓上可解出點(diǎn)C的坐標(biāo).c 2x2y2規(guī)范解答(1)由e=a=3,得a2 : b2 : c2=9 : 5 : 4.設(shè)橢圓萬(wàn)程為文+5 =1(丸0). (3分)把C的坐標(biāo)代入,得是十/=1,解得丸2=1,所以a=3, b=-.;5.(5分)x2y2(2)由(1)可設(shè)橢圓萬(wàn)程為赤+左=1(丸0),此時(shí)A(-3九0).設(shè)
45、C(3國(guó)0,布為0),其中%0, y00,由AB=2OC,得B(-3丸+3m0,坐肛0).(8分)由點(diǎn)B,C均在橢圓上,得=+:2=4,解得%=4,取丫0等.A分)所以直線AB的斜率k = k = 尋=岳=乎.(14分)AB OC3 AX 0334、(2017無(wú)錫期末)已知橢圓X2+5=1,動(dòng)直線l與橢圓交于B, C兩點(diǎn)(點(diǎn)B在第一象限).(1)若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1, |),求4OBC的面積的最大值;(2)設(shè)B(x,y 1),C(x2,y2),且3y4y2=0,求當(dāng)OBC的面積最大時(shí)直線l的方程.33規(guī)范解答(1)直線OB方程為y=2x,即3x-2y=0,設(shè)過(guò)點(diǎn)C且平行于OB的直線l,方程為y =|x+b.(2 分)則當(dāng)l,與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),OBC的面積最大.xf+1,3消去 y 整理得 3x
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