第一講數(shù)學(xué)建模基本要素-ppt課件

1、 第一講: 數(shù)學(xué)建模基本要素 -水鵬朗雷達信號處理國防科技重點實驗室數(shù)學(xué)建?；A(chǔ)第一章 建立數(shù)學(xué)模型1.1 從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型1.2 數(shù)學(xué)建模的重要意義1.3 數(shù)學(xué)建模示例1.4 數(shù)學(xué)建模的方法和步驟1.5 數(shù)學(xué)模型的特點和分類1.6 怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模玩具、照片、飛機、火箭模型 實物模型水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機 物理模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖 符號模型模型是為一定目的，對客觀事物進行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物, 而不是原型本身.模型集中反映了原型中需要的那一部分特征.1.1 從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型什么是模型 ?1.1 從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型從實物到模型交通部門：網(wǎng)狀圖模型行政部門：C

2、artoon模型航空部門：賦值圖(Graph)模型1.1 從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型雷達探測：飛機被看做有多個具有一定空間分布的散射點構(gòu)成-散射點模型-雷達成像紅外探測：飛機具有不同溫度分布的幾何對象-溫度場(輻射場)模型-紅外成像不是對象在變，是我們的手段和需求在變！你碰到過的數(shù)學(xué)模型“航行問題”用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：答：船速每小時20千米/小時.甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少?x =20y =5求解航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟: 簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）； 符號表示（x, y表示船速和水速）； 用物理定

3、律（勻速運動的距離等于速度乘以 時間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）； 求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20, y=5）； 回答原問題（船速每小時20千米/小時）。解剖“麻雀” 數(shù)學(xué)模型-Mathematical Model數(shù)學(xué)建模-Mathematical Modeling一個現(xiàn)實對象，一個特定目的，據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要假設(shè)，適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和描述。數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）3W規(guī)則數(shù)學(xué)建模What實際問題的數(shù)學(xué)描述How數(shù)學(xué)問題如何求解Why解釋與檢驗搞楚是什么探討如何做多問為什么1.2 數(shù)學(xué)建模的意義 電子計算機的出現(xiàn)及飛速發(fā)展； 數(shù)學(xué)以空前的廣度和

4、深度向一切領(lǐng)域滲透。數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的第一步，越來越受到人們的重視。 工程技術(shù)領(lǐng)域, 數(shù)學(xué)建模無處不在； 高新技術(shù)領(lǐng)域, 數(shù)學(xué)建模必不可少； 數(shù)學(xué)是一種通用語言, 跨越語種溝通障礙.數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用 分析與設(shè)計 預(yù)報與決策 控制與優(yōu)化 規(guī)劃與管理數(shù)學(xué)建模計算機技術(shù)知識經(jīng)濟如虎添翼數(shù)學(xué)建模不是萬能的，但對于從事理工科研究的人，不會數(shù)學(xué)建模是“萬萬不能的”！1.3 數(shù)學(xué)建模示例1.3.1 椅子能在不平的地面上放平穩(wěn)嗎 ?問題分析模型假設(shè)通常 -三只腳著地放穩(wěn) -四只腳著地 四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形; 地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面; 地面相對平

5、坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來 椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對稱性xBADCODC B A 用(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置 四只腳著地距離是 的函數(shù)四個距離(四只腳)A,C 兩腳與地面距離之和f()B,D 兩腳與地面距離之和 g()兩個距離椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點旋轉(zhuǎn)正方形對稱性用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來f() , g()是連續(xù)函數(shù)對任意, f(), g()至少一個為0數(shù)學(xué)問題已知： f() , g()是連續(xù)函數(shù) ; 對任意， f() g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) 0.

6、證明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面椅子在任意位置至少三只腳著地模型求解給出一種簡單、粗糙的證明方法將椅子旋轉(zhuǎn)900，對角線AC和BD互換。由g(0)=0， f(0) 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)0.令h()= f()g(), 則h(0)0和h(/2)0.由 f, g的連續(xù)性知 h為連續(xù)函數(shù), 據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì), 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) .因為f() g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.評注和思考建模的關(guān)鍵 :假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì) 考察四腳呈長方形的椅子和f(), g()的確定解決問題的另一個數(shù)學(xué)

7、模型基本假定: 1. 地面描述為連續(xù)曲面 ; 2. 椅子圍繞坐標(biāo)原點水平旋轉(zhuǎn); 3. 轉(zhuǎn)角規(guī)定為椅子對角連線與X軸的夾角, 記為; 4. 椅子四個腳在x-y平面上的坐標(biāo)分別為xBADCODC B A 問題分析: 椅子四腳著地等價于四個腳都落在曲面上,并且四個落點共面數(shù)學(xué)模型: 設(shè) 是一個連續(xù)曲面, 則存在角度使得曲面上的四個點共面.模型求解: 基本定理: 空間中四點 共面 行列式 引進函數(shù) 是的連續(xù)函數(shù) 如果 , 表明 如果 , 由介值定理,存在 使得因此, 總是存在一個旋轉(zhuǎn)角度, 使得椅子的四腳水平落在曲面上(即放平穩(wěn))1.3.2 商人們安全過河問題?問題(智力游戲) 3名商人 3名隨從隨從

8、們密約, 在河的任一岸, 一旦隨從的人數(shù)比商人多, 就殺人越貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?問題分析多步?jīng)Q策過程決策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過河.河小船(至多2人)模型構(gòu)成xk第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk第k次渡河前此岸的隨從數(shù)xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, sk=(xk , yk)過程的狀態(tài)S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2S 允許狀態(tài)集合uk第k次渡船上的商人數(shù)vk第k次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk , v

9、k)決策D=(u , v) u+v=1, 2 允許決策集合uk, vk=0,1,2; k=1,2, sk+1=sk dk +(-1)k狀態(tài)轉(zhuǎn)移律求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按轉(zhuǎn)移律由 s1=(3,3)到達 sn+1=(0,0).多步?jīng)Q策問題模型求解 窮舉法 編程上機 圖解法狀態(tài)s=(x,y) 16個格點 10個 點允許決策 移動1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.d1, ，d11給出安全渡河方案評注和思考規(guī)格化方法,易于推廣xy3322110s1sn+1d1d11允許狀態(tài)S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2

10、數(shù)學(xué)建模的基本方法機理分析測試分析根據(jù)對客觀事物特性的認(rèn)識，找出反映內(nèi)部機理的數(shù)量規(guī)律將對象看作“黑箱”,通過對量測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型機理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實例研究 (Case Studies)來學(xué)習(xí)。以下建模主要指機理分析。二者結(jié)合用機理分析建立模型結(jié)構(gòu),用測試分析確定模型參數(shù)1.4 數(shù)學(xué)建模的方法和步驟 數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型求解模型分析模型檢驗?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型準(zhǔn)備了解實際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對象特征形成一個比較清晰的問題模型假設(shè)針對問題特點和建模目的作出合理的、簡化的假設(shè)在合理與簡化之間作出折中模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)的語言、符號描述

11、問題發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具 數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型求解各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計算機技術(shù)如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇浴⑦m用性模型應(yīng)用 數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的全過程現(xiàn)實對象的信息數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實對象的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述求解解釋驗證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗證根據(jù)建模目的和信息將實際問題“翻譯”成數(shù)學(xué)問題選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答將數(shù)學(xué)語言表述的解答“翻譯”回實際對象用現(xiàn)實對象的信息檢驗得到的解答實踐現(xiàn)實世界數(shù)學(xué)世界理論實踐歸納和演繹-在數(shù)學(xué)建模中的作用歸納就是從現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)事物本質(zhì)運行規(guī)律

12、的過程觀察到的現(xiàn)象: 數(shù)據(jù)記錄 常識與結(jié)論 .演繹就是從已知和證實的運行規(guī)律,通過合理的分析和推導(dǎo)得出新的結(jié)論和規(guī)律. 數(shù)學(xué)上的定理和推論都是從基本公理通過演繹得到的重要結(jié)論 工學(xué)中,同樣從電子線路的基本原理(定律)可以演繹出許多重要結(jié)論.歸納和演繹能力在科學(xué)發(fā)現(xiàn)中缺一不可.從第谷到萬有引力定律第谷(1546-1601),丹麥天文學(xué)家。自幼過繼給伯父約爾根布拉赫為子，受到良好的教育，曾先后在哥本哈根大學(xué)、萊比錫大學(xué)、羅斯托克大學(xué)、巴塞爾大學(xué)等多所大學(xué)求學(xué)。第谷對天文學(xué)的重大貢獻在于他通過長期觀測積累的有關(guān)行星運行的大量數(shù)據(jù)資料，成為那個時代罕見的天文觀測家，獲得“星學(xué)之王”的美稱。 數(shù)據(jù)積累大

13、量現(xiàn)象記錄-科學(xué)發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)從第谷到萬有引力定律(續(xù))開普勒(1571-1630), 德國天文學(xué)家, 第谷的學(xué)生。從現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)規(guī)律第一定律(橢圓定律): 每一個行星都沿各自的橢圓軌道環(huán)繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個焦點中. 第二定律(面積定律): 在相等時間內(nèi)，太陽和運動中行星的連線所掃過的面積都是相等的. 第三定律(調(diào)和定律): 各個行星繞太陽公轉(zhuǎn)周期的平方和它們的橢圓軌道半長軸的立方成正比. 從第谷到萬有引力定律(續(xù))牛頓爵士是歷史上曾出現(xiàn)過的最偉大、最有影響的科學(xué)家，同時也是物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家，晚年醉心于煉金術(shù)與神學(xué)。他在1687年發(fā)表的不朽著作自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理里用數(shù)學(xué)方法證明了宇宙

14、中最基本的法則-萬有引力定律和三大運動定律。這四條定律構(gòu)成了一個統(tǒng)一的體系，被認(rèn)為是“人類智慧史上最偉大的成就”，由此奠定了之后三個世紀(jì)中物理世界的科學(xué)觀點，并成為現(xiàn)代工程學(xué)的基礎(chǔ).萬有引力定律自然界總是以最簡單、最美的方式運行If I can see a bit farther than some others, it is because I am standing on the shoulders of giants.-Newton 如果說我比別人看得更遠(yuǎn)些，那是因為我站在了巨人的肩上. 自然界與數(shù)學(xué)的簡約1.5 數(shù)學(xué)模型的特點和分類模型的逼真性和可行性模型的漸進性模型的穩(wěn)健性模型的可轉(zhuǎn)移性模