第七章-粒子在電磁場中運(yùn)動課件

1、第七章 電磁場中粒子的運(yùn)動教學(xué)內(nèi)容第1頁1 電磁場中荷電粒子的運(yùn)動，兩類動量2 正常Zeeman效應(yīng)3 Landau 能級1 電磁場中荷電粒子的運(yùn)動，兩類動量考慮質(zhì)量為, 荷電q的粒子在電磁場中的運(yùn)動。在經(jīng)典力學(xué)中, 其Hamilton量為:第2頁A為矢勢， 為標(biāo)勢, P為正則動量。 理由如下：正則方程N(yùn)ewton 方程Lorentz 力證明：第3頁在有磁場的情況下，帶電粒子的正則動量并不等于機(jī)械動量。第4頁按照量子力學(xué)中的正則量子化程序，在坐標(biāo)表象中，把正則動量換成算符，第5頁則電磁場中荷電q的粒子的Hamilton算符為Schrdinger 方程為第6頁一般說來，P和A不對易但若利用庫侖規(guī)

2、范，討論1. 定域的概率守恒與流密度 取復(fù)共軛 （A, 為實(shí)，坐標(biāo)表象中 ）第7頁（1）（2）*（1） - （2）第8頁速度算符流密度算符2. 規(guī)范不變性電磁場具有規(guī)范不變性，第9頁E, B 均不變，其中 是時(shí)間和空間的任意函數(shù)。經(jīng)典牛頓方程中，只出現(xiàn)E, B 因此是規(guī)范不變的?？梢宰C明Schrdinger方程在規(guī)范變換式下，只需波函數(shù)也同時(shí)經(jīng)受如下定域相位變換則Schrdinger方程形式上不變。Schrdinger方程具有規(guī)范不變性。容易證明， j, 在規(guī)范變化下都不變。第10頁經(jīng)典力學(xué)中，矢勢和標(biāo)勢進(jìn)行規(guī)范變換后，場強(qiáng)不變。如果物理現(xiàn)象僅僅決定于場強(qiáng)而不決定于勢，則這個(gè)規(guī)范不變性在量子理

3、論中也必須成立?，F(xiàn)在如果我們簡單的將A,代入薛定諤方程，當(dāng)然會得到一些破壞薛定鄂方程規(guī)范不變性的附加項(xiàng)。為了消去這些項(xiàng)，只有讓波函數(shù)也參與規(guī)范變換，但是由于*有確定的物理意義，因此它和場強(qiáng)一樣不會由于變換而改變，唯一的可能是設(shè)第11頁 是 r, t 的任意適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)。帶入Schrdinger方程第12頁整理后可得第13頁令薛定鄂方程具有規(guī)范不變性2 正常Zeeman效應(yīng)原子中的電子，可近似看成在一個(gè)中心平均場中運(yùn)動，能級一般有簡并。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，如把原子置于強(qiáng)磁場中，原子發(fā)出的每條光譜線都分裂為三條，此即正常Zeeman效應(yīng)，光譜線的分裂反映原子的簡并能級發(fā)生分裂，即能級簡并被解除或部分解除。第1

4、4頁在原子大小范圍中，實(shí)驗(yàn)室里常用的磁場都可視為均勻磁場，記為B，不依賴于電子的坐標(biāo)，于是，相應(yīng)的矢勢A可寫為:不難驗(yàn)證取磁場方向?yàn)閦軸方向，則第15頁為計(jì)算簡單起見，考慮堿金屬原子。每個(gè)原子中只有一個(gè)價(jià)電子，在原子核及內(nèi)層滿殼電子所產(chǎn)生的屏蔽Coulomb場 V(r) 中運(yùn)動. 價(jià)電子的Hamilton量可以表示為:在原子中，x2+y2a2(10-8cm)2, 通常實(shí)驗(yàn)室中磁場強(qiáng)度B105Gs, 則有第16頁外加均勻磁場中，原子系統(tǒng)球?qū)ΨQ性被破壞，l不再為守恒量。但l2及l(fā)z仍為守恒量。能量本征函數(shù)仍然可以選為（H, l2, lz,）的共同本征函數(shù)，即最后一項(xiàng)可視為電子軌道磁矩 與外磁場相互

5、作用。相應(yīng)的能量本征值為第17頁Larmor 頻率為屏蔽Coulomb場V(r) 中粒子的能量本征值。屏蔽Coulomb場與純Coulomb場有所不同，其能級與徑向量子數(shù)和角動量l有關(guān)，簡并度為2l+1 (球?qū)ΨQ性).加上外磁場后，球?qū)ΨQ性被破壞，能級簡并度被全部解除，能量本征值和 均有關(guān)，原來的能級 分為2l+1條，分裂后的相鄰能級間距為光譜在外磁場中分裂的現(xiàn)象稱為塞曼效應(yīng)。鈉原子光譜黃線在強(qiáng)磁場中分裂為三條。外磁場B愈強(qiáng)，則Zeeman分裂愈大。第18頁3 Landau 能級電子（質(zhì)量為M, 電荷-e），均勻磁場B中運(yùn)動。矢勢取為A=1/2 Br，取磁場方向?yàn)閦軸方向，第19頁Hamilt

6、on量討論電子在xy平面中的運(yùn)動，z方向，自由運(yùn)動，平面波解。B的線性項(xiàng)表示電子的軌道磁矩與外磁場的相互作用，而B2項(xiàng)則為反磁項(xiàng)。在Zeeman效應(yīng)中，由于電子局限在原子內(nèi)部運(yùn)動，在通常實(shí)驗(yàn)室所用磁場強(qiáng)度下，反磁項(xiàng)很小，常忽略不計(jì)。對自由粒子，或在極端環(huán)境下，如白矮星，中子星上， B2項(xiàng)就必須考慮。第20頁Larmor頻率H0的形式與二維各項(xiàng)同性諧振子形式上相同。電子能量本征態(tài)可取為對易守恒量完全集（H, lz）的共同本征態(tài)，即（采用極坐標(biāo)）第21頁代入能量本征方程，可求出徑向方程:可解出能量本征值E（Laudau 能級）:F為合流超幾何函數(shù), n表示徑向波函數(shù)的節(jié)點(diǎn)數(shù).第22頁相應(yīng)的徑向能量

7、本征函數(shù)為對于二維各向同性諧振子, 能級簡并度對于均勻磁場中的電子，Hamilton量中出現(xiàn)了Llz項(xiàng)，此時(shí)盡管能量本征函數(shù)的形式未變，但能量本征值為所有m0的態(tài)所對應(yīng)的能量都相同，因而能級簡并度為,對于較低的幾條能級的簡并度的分析如下: 第23頁能量可以看成是電子在外磁場中感應(yīng)而產(chǎn)生的磁矩z與與外磁場的相互作用- z B, 第24頁負(fù)號表示自由電子在受到外磁場作用時(shí)具有反磁性。上述關(guān)于Laudau能級的討論不因規(guī)范選擇而異，例如，對于Landau選用過的規(guī)范相差一個(gè)規(guī)范變換：電子在xy平面內(nèi)運(yùn)動的Hamilton量為第25頁此時(shí), 的本征態(tài)可取為守恒量完全集（H, Px）的共同本征態(tài)，即令回旋頻率上式描述的是一個(gè)一維諧振子，平衡點(diǎn)y0，能量本征值為第26頁相應(yīng)的能量本征函數(shù)為依賴于n, y0, 而y0依賴于Px, 可以?。?，+）中的一切實(shí)數(shù)值。但能級En不依賴于y0,因而