基于主成分分析法的遠(yuǎn)處燃燒體物質(zhì)元素含量的測(cè)定模型(共10頁(yè))

1、2015大學(xué)生數(shù)學(xué)(shxu)建模競(jìng)賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了中國(guó)(zhn u)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則.我們完全明白，在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)(yugun)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們授權(quán)全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組委會(huì)，可將我們的論文以任何形式進(jìn)行

2、公開展示（包括進(jìn)行網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和其他媒體進(jìn)行正式或非正式發(fā)表等）。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B中選擇一項(xiàng)填寫）： B 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（報(bào)名編號(hào)）： 133 所屬學(xué)院（請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜?參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 日期： 2015 年 5 月 18 日評(píng)閱編號(hào)（由組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）： 基于主成分分析法的遠(yuǎn)處燃燒(rnsho)體物質(zhì)元素含量的測(cè)定模型摘要(zhiyo)：利用主成分分析法對(duì)遠(yuǎn)處燃燒體物質(zhì)元素含量進(jìn)行分析，將得到的綜合主成分指標(biāo)(zhbio)代替原先較多的評(píng)價(jià)指標(biāo)建立數(shù)學(xué)模型，從而對(duì)各物質(zhì)元素含量測(cè)定進(jìn)行評(píng)價(jià)分析。結(jié)果表明，該方法能用降維的思想

3、將問題簡(jiǎn)化，來(lái)得到可信客觀的結(jié)論。關(guān)鍵詞：主成分分析法；碳元素含量；綜合評(píng)價(jià)；指標(biāo)0 引 言 對(duì)于燃燒體而言，若其碳元素含量不同，則各個(gè)光波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的光強(qiáng)度也不同。因此，建立碳元素的含量與各個(gè)光波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的光強(qiáng)度之間的關(guān)系模型，對(duì)研究不同光強(qiáng)時(shí)的元素含量有著(yu zhe)重要的意義。然而在研究此問題的時(shí)候，總會(huì)借助于有一定相關(guān)性的多個(gè)指標(biāo)，這樣便增加了分析此問題的復(fù)雜性，而我們可以利用主成分分析法將這些多個(gè)相關(guān)的指標(biāo)轉(zhuǎn)換為少數(shù)互相無(wú)關(guān)的綜合指標(biāo)進(jìn)行更方便的研究。1 主成分(chng fn)分析法的原理主成分分析法是利用一種降維的方法，用較少的新變量指標(biāo)來(lái)代替眾多的原變量，使這些新變量能盡可能的代

4、表原變量所蘊(yùn)含的信息，且彼此之間互不相關(guān)。這種將多個(gè)(du )變量用較少的互不相關(guān)的變量來(lái)表示的統(tǒng)計(jì)分析方法叫做主成分分析法。定義：記為原變量指標(biāo)，為新變量指標(biāo)，與互不相關(guān)；是的一切線性組合中方差最大者，是與不相關(guān)的所有線性組合中方差最大者。所以新變量分別稱為原變量指標(biāo)的第1，第2，第m主成分。2 主成分分析法的計(jì)算步驟計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣 （i，j=1，2，p）為原變量與的相關(guān)系數(shù)， ，其計(jì)算公式為 計(jì)算(j sun)特征值和特征向量 特征方程用雅可比法求出特征值，并排序(pi x)而特征向量可用公式(gngsh)計(jì)算主成分貢獻(xiàn)率和累計(jì)貢獻(xiàn)率 貢獻(xiàn)率： 累積貢獻(xiàn)率：計(jì)算主成分載荷 各主成分得分

5、3 遠(yuǎn)處燃燒體物質(zhì)含量的測(cè)定 問題（1）：針對(duì)data0.csv包含的數(shù)據(jù)建立變量data由變量x1-x3648計(jì)算或者估計(jì)的數(shù)據(jù)模型: A對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行主成分分析： 本題所給的data0.csv數(shù)據(jù)中為第一行為格式數(shù)據(jù)，其中no，data，x1，x2，x3648分別為數(shù)據(jù)的序號(hào)，碳元素的含量，245nm光強(qiáng)度，1044nm光強(qiáng)度。此處光強(qiáng)度值是某一種固定參考強(qiáng)度的倍數(shù)，且x1-x3648變量的光波長(zhǎng)差是一個(gè)常數(shù)。 在原數(shù)據(jù)中，每一次的樣本包含3648個(gè)變量，要從19次的樣本中直接得出碳含量與3648個(gè)變量的關(guān)系是不合實(shí)際的，故需要采用主成分分析法對(duì)3048個(gè)變量進(jìn)行降維處理。 在實(shí)際的操作中，我

6、們先使用matlab讀入csv文件中的數(shù)據(jù)，再使用zscore函數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)矩陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，然后使用matlab自帶的主成分分析法的函數(shù)princomp得出從原始數(shù)據(jù)到各主成分的變換矩陣、降序排列的各成分的貢獻(xiàn)率及變換后得出的各成分所構(gòu)成的19*3548矩陣。 在對(duì)此數(shù)據(jù)的分析中我們得出第一主成分的貢獻(xiàn)率達(dá)到了85.82%，故我們?cè)谥蟮臄?shù)據(jù)擬合中只采用(ciyng)19個(gè)樣本的第一主成分作為自變量。 B擬合(n h) 得到了十九個(gè)樣本對(duì)應(yīng)的第一主成分與碳含量之后(zhhu)，我們對(duì)這十九個(gè)點(diǎn)進(jìn)行了擬合。有兩種方案， a多項(xiàng)式擬合 f(x) = p1*x8 + p2*x7 + p3*x6 + p4

7、*x5 + p5*x4 + p6*x3 + p7*x2 + p8*x + p9其中：p1 = 6.55e-14-1.115e-13,p2 = -3.935e-12 p3 = -1.212e-09 p4 = 1.507e-08p5 = 4.738e-06 p6 = -9.252e-06 p7 = -0.004504 p8 = -0.001392 p9 = 21.69 bfourier擬合f(x) = a0 + a1*cos(x*w) + b1*sin(x*w) + a2*cos(2*x*w) + b2*sin(2*x*w) + a3*cos(3*x*w) + b3*sin(3*x*w) + a4

8、*cos(4*x*w) + b4*sin(4*x*w) + a5*cos(5*x*w) + b5*sin(5*x*w) + a6*cos(6*x*w) + b6*sin(6*x*w)其中(qzhng)：a0 = 697.6 ，a1 = -1230 ，b1 = 292.1 ，a2 = 922.8 ，b2 = -460.4 ，a3 = -564.6 ，b3 = 463.9 ，a4 = 270.5 ，b4 = -339.7 ，a5 = -88.85 ，b5 = 176.9 ，a6 = 12.92 ，b6 = -53.95 ，w = 0.02808。 問題(wnt)（2）：預(yù)測(cè)(yc)data1.cs

9、v包含的碳元素的含量data A采用（1）中多項(xiàng)式擬合得到的模型，記x為第一主成分，則data = p1*x8 + p2*x7 + p3*x6 + p4*x5 + p5*x4 + p6*x3 + p7*x2 + p8*x + p9其中：p1 = 6.55e-14-1.115e-13,，p2 = -3.935e-12 ，p3 = -1.212e-09 ，p4 = 1.507e-08 ，p5 = 4.738e-06 ，p6 = -9.252e-06 ，p7 = -0.004504 ，p8 = -0.001392 ，p9 = 21.69。 我們對(duì)data1.csv中的數(shù)據(jù)進(jìn)行主成分分析時(shí)的變換得到另

10、一組所需坐標(biāo)下的數(shù)據(jù)，將第一列的數(shù)據(jù)代入上式進(jìn)行驗(yàn)證：Data =21.319341123557221.056422032612820.915675317877621.099133140008819.470466194121821.222448784109120.587937000369720.860610451489621.090756253215220.499589341361521.034845183817821.3032179740113-181.85930332933813.342843313235220.615844304797221.140122007246520.3668406

11、319181-9157.46356359878-16350.4653108800而data1.csv中Data =35.390000000000020.100000000000012.480000000000014.270000000000017.720000000000034.900000000000012.890000000000022.510000000000012.580000000000021.140000000000029.620000000000023.910000000000022.600000000000023.680000000000062.530000000000035.

12、950000000000030.220000000000012.250000000000032.4500000000000 B建立評(píng)估(pn )標(biāo)準(zhǔn) 記從模型(mxng)中得出的data為d，所給的實(shí)際(shj)data為D。 則我們記S = sum（dij-Dij）2為評(píng)估模型準(zhǔn)確性的參數(shù)。 對(duì)于通過主成分分析與多項(xiàng)式擬合得到的此模型，其在data1.csv中數(shù)據(jù)參考下的S為3.5253e+08；不難看出此模型在data1.csv中數(shù)據(jù)變換后的第一主成分下三個(gè)點(diǎn)處存在較大的瑕疵，對(duì)S有著很大影響，需在后面進(jìn)一步引入對(duì)信息的過濾和對(duì)模型的優(yōu)化。4 模型的修正 由于獲得光譜數(shù)據(jù)時(shí)會(huì)受到許多不確定

13、因素的影響，如樣品不同成分之間相互干擾導(dǎo)致的光譜譜線的重疊、信號(hào)噪聲等問題，因此可以對(duì)data0.csv所包含的數(shù)據(jù)進(jìn)行消除噪聲、波長(zhǎng)優(yōu)化選擇等處理后可以更好的提高模型的性能。 1）噪聲消除在實(shí)際問題中，通常使用小波變換進(jìn)行降噪消噪。小波變換通過伸縮平移運(yùn)算對(duì)信號(hào)進(jìn)行多尺度的變化，達(dá)到高頻處時(shí)間細(xì)分，低頻處頻率細(xì)分，并能自動(dòng)適應(yīng)時(shí)頻信號(hào)分析的要求，最終聚焦到信號(hào)的任意細(xì)節(jié)。小波變換具有時(shí)頻分析的優(yōu)勢(shì)，因此其在降噪消噪的同時(shí)也能很好地保留信號(hào)的突變部分；它也可以被看作低通濾波，很好地保留原始信號(hào)的特征；它還具有選基靈活性，針對(duì)不同的對(duì)象選取不同的小波基。目前常用的小波變換降噪消噪的方法主要有空域

14、相關(guān)消噪法、模極大值消噪法以及小波閾值消噪法。其中小波閾值消噪法將絕對(duì)值較小的系數(shù)置零，絕對(duì)值較大的保留，最后重新構(gòu)造出更理想的信號(hào)。該方法簡(jiǎn)單、計(jì)算量小，因此在實(shí)際中得到了很大的應(yīng)用。在當(dāng)前，小波變換也經(jīng)常被用于圖像去噪、地震數(shù)據(jù)處理等。波長(zhǎng)優(yōu)化選擇波長(zhǎng)優(yōu)化選擇是指對(duì)所獲得的波長(zhǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行一定的篩選之后得到較為理想的數(shù)據(jù)，然后再參與數(shù)學(xué)建模之中。與未經(jīng)過波長(zhǎng)優(yōu)化選擇而直接進(jìn)行建模相比，其更簡(jiǎn)單，且具有更高的穩(wěn)定性。目前常用到的波長(zhǎng)優(yōu)化選擇的方法主要有遺傳算法、逐步回歸分析法以及區(qū)間偏最小二乘法等。對(duì)于給出的數(shù)據(jù)，遺傳算法將波長(zhǎng)分布平均分為多個(gè)子空間，然后子空間進(jìn)行不同的組合，最后找到一個(gè)能夠反

15、映全部數(shù)據(jù)的最佳(zu ji)組合來(lái)參與我們的數(shù)學(xué)建模。經(jīng)查閱資料以及相關(guān)的基本計(jì)算可知，遺傳算法可以使波長(zhǎng)點(diǎn)數(shù)減少，縮短建模所需時(shí)間，并且去除噪聲比較大的區(qū)域，從而提高模型的性能。同時(shí)也可以在遺傳算法中加入一種可以進(jìn)行自我調(diào)節(jié)和交叉因子的值的算法，經(jīng)過交叉因子形成正反饋，提升了遺傳算法的運(yùn)算速度。這種方法在當(dāng)前有很大的應(yīng)用，如用于全光網(wǎng)中靜態(tài)路由與波長(zhǎng)分配的優(yōu)化、選擇近紅外光譜譜區(qū)等。 5 燃燒(rnsho)物體中鐵元素含量的研究 首先可以在網(wǎng)上查到鐵元素的特征譜線，然后和燃燒物體的各元素的特征譜線進(jìn)行比較，若燃燒物體的特征譜線不包含鐵元素的特征譜線，則燃燒物體中鐵元素含量為零；否則，燃燒物

16、體含有鐵元素。接著可通過在網(wǎng)上查閱資料得到當(dāng)燃燒物體含有不同含量的鐵元素時(shí)，其各個(gè)波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)(duyng)的光強(qiáng)度。參考（1）所建立的主成分分析模型，可建立基于主成分分析法的遠(yuǎn)處燃燒體物質(zhì)鐵元素含量的測(cè)定模型。然后便可根據(jù)所建立的模型預(yù)測(cè)data0.csv、data1.csv包含的碳元素的含量data。參考文獻(xiàn)：1 王鳳花,朱海龍,戈振楊，近紅外光譜數(shù)據(jù)建模方法的研究進(jìn)展，56-60， 2009。2 田兵，主成分分析的數(shù)學(xué)模型及實(shí)際應(yīng)用，18-21，2010。3 李蔚,何軍,劉德明,黃德修，改進(jìn)遺傳算法應(yīng)用于全光網(wǎng)中靜態(tài)路由與波長(zhǎng) 分配的優(yōu)化，133-136，2004。4胡良劍,孫曉君，MATL

17、AB數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，高等教育出版社，2008。附錄：mat文件中各變量的說明:M: data0.csv中包含碳元素含量的數(shù)據(jù)；X: data0.csv中不包含碳元素含量的數(shù)據(jù)；X1:data0.csv中不包含碳元素含量的數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化矩陣；a：data0.csv中不包含碳元素含量的數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化矩陣到另一坐標(biāo)下的變換矩陣；b：data0.csv中不包含碳元素含量的數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化矩陣在另一坐標(biāo)下的矩陣；c：b中各成分的貢獻(xiàn)率；data:根據(jù)已建立的模型從data1.csv中數(shù)據(jù)得出的19個(gè)樣本的碳含量；data1zhuchengfen：從data1.csv中數(shù)據(jù)得到的第一主成分的19個(gè)值；p19：模型中參數(shù)

18、；t：臨時(shí)變量;x：data0.csv中的第一主成分的19個(gè)值；x1：data1.csv中的第一(dy)主成分的19個(gè)值；y：data0.csv中的第一主成分的19個(gè)值對(duì)應(yīng)(duyng)的碳含量；y1：data1.csv中的第一主成分(chng fn)的19個(gè)值對(duì)應(yīng)的碳含量；yz：data1.csv中不包含碳元素含量的數(shù)據(jù)；yyz：data1.csv中不包含碳元素含量的數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化矩陣；yyyz：data1.csv中不包含碳元素含量的數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化矩陣在另一坐標(biāo)下的矩陣；程序代碼：M = csvread(data0.csv,1,1)X = csvread(data0.csv,1,2);X1 = zscore(X);a,b,c=princomp(X1);c=100.*c/sum(c)x=b(:,1)t=csvread(data0.csv,1,1)t=t(:,1)y=tyz=csvread(data1.csv,1,2)yyz=zscore(yz)yyyz=yyz*ax1=yyyz(:,1)y1=csvread(data1,1,1)y1=csvread(data1.csv,1,1)y1=y1(:,1)data1zhuchengfen=yyyz(:,1)p1 = 6.55e-14-1.115e-13,p2 = -3.935e-12p3 = -1.21