安徽省來安2021-2022學(xué)年高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回2答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用05毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置3請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符4作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效5如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

2、要求的。1如圖所示程序框圖，若判斷框內(nèi)為“”，則輸出（ ）A2B10C34D982明代數(shù)學(xué)家程大位（15331606年），有感于當(dāng)時籌算方法的不便，用其畢生心血寫出算法統(tǒng)宗，可謂集成計算的鼻祖如圖所示的程序框圖的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”問題執(zhí)行該程序框圖，若輸出的的值為，則輸入的的值為（ ）ABCD3若不等式在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )ABCD4已知集合，ByN|yx1，xA，則AB（ ）A1，0，1，2，3B1，0，1，2C0，1，2Dx1x25復(fù)數(shù)的虛部是 ( )ABCD6集合，則( )ABCD7已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則的值是( )ABCD

3、8已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（ ）ABCD9已知命題p：“”是“”的充要條件；，則（ ）A為真命題B為真命題C為真命題D為假命題10若函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則函數(shù)圖象的一條對稱軸的方程可以為( )ABCD11已知點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，若點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD212如圖是來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊，直角邊.已知以直角邊為直徑的半圓的面積之比為，記，則（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13某中學(xué)舉行了一次消防知識競賽，將參賽學(xué)生的成績進(jìn)行整理后分為5組，繪制

4、如圖所示的頻率分布直方圖，記圖中從左到右依次為第一、第二、第三、第四、第五組，已知第二組的頻數(shù)是80，則成績在區(qū)間的學(xué)生人數(shù)是_14若點(diǎn)在直線上，則的值等于_ .15函數(shù)的定義域是 16如圖，在等腰三角形中，已知，分別是邊上的點(diǎn)，且,其中且，若線段的中點(diǎn)分別為，則的最小值是_. 三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知橢圓：的四個頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為，原點(diǎn)到直線的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）已知定點(diǎn)，是否存在過的直線，使與橢圓交于，兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過橢圓的左頂點(diǎn)？若存在，求出的方程：若不存在，請說明理由.18（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy

5、中，曲線C1的參數(shù)方程為 （為參數(shù)），在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2是圓心為（2，），半徑為1的圓（1）求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)M為曲線C1上的點(diǎn)，N為曲線C2上的點(diǎn)，求|MN|的取值范圍19（12分）已知矩陣,二階矩陣滿足.（1）求矩陣;（2）求矩陣的特征值20（12分）設(shè)點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，且的最小值為1（1）求橢圓的方程；（2）如圖，動直線與橢圓有且僅有一個公共點(diǎn)，點(diǎn)，是直線上的兩點(diǎn)，且，求四邊形面積的最大值21（12分）已知，不等式恒成立.（1）求證:（2）求證:.22（10分）如圖，在四棱柱中，平面，底面AB

6、CD滿足BC，且()求證:平面;()求直線與平面所成角的正弦值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1C【解析】由題意，逐步分析循環(huán)中各變量的值的變化情況，即可得解.【詳解】由題意運(yùn)行程序可得：，；，；，；不成立，此時輸出.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖，只需在理解程序框圖的前提下細(xì)心計算即可，屬于基礎(chǔ)題.2C【解析】根據(jù)程序框圖依次計算得到答案.【詳解】，；，；，；，；，此時不滿足，跳出循環(huán)，輸出結(jié)果為，由題意，得故選:【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的計算，意在考查學(xué)生的理解能力和計算能力.3C【解析】由題可知，設(shè)函

7、數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出的極值點(diǎn)，得出單調(diào)性，根據(jù)在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，結(jié)合圖象，可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)函數(shù)，因?yàn)?，所以，或，因?yàn)?時，或時，其圖象如下：當(dāng)時，至多一個整數(shù)根；當(dāng)時，在內(nèi)的解集中僅有三個整數(shù)，只需，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的解法和應(yīng)用問題，還涉及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)圖象，同時考查數(shù)形結(jié)合思想和解題能力.4A【解析】解出集合A和B即可求得兩個集合的并集.【詳解】集合xZ|2x31，0，1，2，3，ByN|yx1，xA2，1，0，1，2，AB2，1，0，1，2，3故選：A【點(diǎn)睛】此題考查求集合的并集，關(guān)鍵在于

8、準(zhǔn)確求解不等式，根據(jù)描述法表示的集合，準(zhǔn)確寫出集合中的元素.5C【解析】因?yàn)?，所以的虛部是 ，故選C.6A【解析】解一元二次不等式化簡集合A，再根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零化簡集合B，求交集運(yùn)算即可.【詳解】由可得，所以，由可得,所以,所以，故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交集運(yùn)算，涉及一元二次不等式解法及對數(shù)的概念，屬于中檔題.7C【解析】利用先求出，然后計算出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)時，,故當(dāng)時，,數(shù)列是等比數(shù)列,則，故,解得,故選.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列前項(xiàng)和的表達(dá)形式，只要求出數(shù)列中的項(xiàng)即可得到結(jié)果，較為基礎(chǔ).8B【解析】對分類討論，代入解析式求出，解不等式，即可求解.【詳解】函

9、數(shù)，由得或解得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用分段函數(shù)性質(zhì)解不等式，屬于基礎(chǔ)題.9B【解析】由的單調(diào)性，可判斷p是真命題；分類討論打開絕對值，可得q是假命題，依次分析即得解【詳解】由函數(shù)是R上的增函數(shù)，知命題p是真命題對于命題q，當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，由，得，無解，因此命題q是假命題所以為假命題，A錯誤；為真命題，B正確；為假命題，C錯誤；為真命題，D錯誤故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了命題的邏輯連接詞，考查了學(xué)生邏輯推理，分類討論，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.10B【解析】由點(diǎn)求得的值，化簡解析式，根據(jù)三角函數(shù)對稱軸的求法，求得的對稱軸，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】由題可知.所以令，得令，得故選：B

10、【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)求參數(shù)，考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)對稱軸的求法，屬于中檔題.11A【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入橢圓方程可得，然后分別求出點(diǎn)到兩條漸近線的距離，由距離之積為，并結(jié)合，可得到的齊次方程，進(jìn)而可求出離心率的值.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，有，得.雙曲線的兩條漸近線方程為和，則點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為，所以，則，即，故，即，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率，構(gòu)造的齊次方程是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.12D【解析】由半圓面積之比，可求出兩個直角邊 的長度之比，從而可知，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，即可求出，由二倍角公式即可求出.【詳解

11、】解：由題意知 ，以 為直徑的半圓面積，以 為直徑的半圓面積，則，即.由 ，得 ，所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查了二倍角公式.本題的關(guān)鍵是由面積比求出角的正切值.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。1330【解析】根據(jù)頻率直方圖中數(shù)據(jù)先計算樣本容量，再計算成績在80100分的頻率，繼而得解.【詳解】根據(jù)直方圖知第二組的頻率是，則樣本容量是，又成績在80100分的頻率是，則成績在區(qū)間的學(xué)生人數(shù)是故答案為：30【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)據(jù)處理，數(shù)形運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.14【解析】根據(jù)題意可得，再由，即可得到結(jié)論.【

12、詳解】由題意，得，又，解得，當(dāng)時，則，此時；當(dāng)時，則，此時，綜上，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式和同角的三角函數(shù)的關(guān)系，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.15【解析】解：因?yàn)?，故定義域?yàn)?6【解析】根據(jù)條件及向量數(shù)量積運(yùn)算求得,連接,由三角形中線的性質(zhì)表示出.根據(jù)向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積公式表示出,結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可求得最小值.【詳解】根據(jù)題意,連接,如下圖所示:在等腰三角形中,已知,則由向量數(shù)量積運(yùn)算可知線段的中點(diǎn)分別為則由向量減法的線性運(yùn)算可得所以因?yàn)?代入化簡可得因?yàn)樗援?dāng)時, 取得最小值因而故答案為: 【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用,向量的線性運(yùn)算及模的求法,二次函數(shù)最值的

13、應(yīng)用,屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）；（2）存在，且方程為或.【解析】（1）依題意列出關(guān)于a,b,c的方程組，求得a,b,進(jìn)而可得到橢圓方程；（2）聯(lián)立直線和橢圓得到，要使以為直徑的圓過橢圓的左頂點(diǎn)，則，結(jié)合韋達(dá)定理可得到參數(shù)值.【詳解】（1）直線的一般方程為.依題意，解得，故橢圓的方程式為.（2）假若存在這樣的直線，當(dāng)斜率不存在時，以為直徑的圓顯然不經(jīng)過橢圓的左頂點(diǎn)，所以可設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為.由，得.由，得.記，的坐標(biāo)分別為，則，而 .要使以為直徑的圓過橢圓的左頂點(diǎn)，則，即 ，所以 ，整理解得或，所以存在過的直線，使與橢圓交于

14、，兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過橢圓的左頂點(diǎn)，直線的方程為或.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達(dá)定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問題，弦長問題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用18（1）C1：y21，C2 ：x2+（y2）21；（2）0，1【解析】（）消去參數(shù)可得C1的直角坐標(biāo)方程，易得曲線C2的圓心的直角坐標(biāo)為（0，2），可得C2的直角坐標(biāo)方程；（）設(shè)M（3cos，sin），由三角函數(shù)和二次函數(shù)可

15、得|MC2|的取值范圍，結(jié)合圓的知識可得答案【詳解】（1）消去參數(shù)可得C1 的普通方程為y21，曲線C2 是圓心為（2，），半徑為1 的圓，曲線C2 的圓心的直角坐標(biāo)為（0，2），C2 的直角坐標(biāo)方程為x2+（y2）21； （2）設(shè)M（3cos，sin），則|MC2| ，1sin1，1|MC2|，由題意結(jié)合圖象可得|MN|的最小值為110，最大值為1，|MN|的取值范圍為0，1【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的參數(shù)方程，涉及圓的知識和極坐標(biāo)方程，屬中檔題19（1）（2）特征值為或【解析】（1）先設(shè)矩陣,根據(jù),按照運(yùn)算規(guī)律,即可求出矩陣.（2）令矩陣的特征多項(xiàng)式等于,即可求出矩陣的特征值【詳解】解：（1）設(shè)

16、矩陣由題意,因?yàn)?所以 ,即所以,（2）矩陣的特征多項(xiàng)式,令,解得或,所以矩陣的特征值為1或【點(diǎn)睛】本題主要考查矩陣的乘法和矩陣的特征值,考查學(xué)生的劃歸與轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算求解能力.20（1）；（2）2.【解析】（1）利用的最小值為1，可得，即可求橢圓的方程；（2）將直線的方程代入橢圓的方程中，得到關(guān)于的一元二次方程，由直線與橢圓僅有一個公共點(diǎn)知，即可得到，的關(guān)系式，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得到，當(dāng)時，設(shè)直線的傾斜角為，則，即可得到四邊形面積的表達(dá)式，利用基本不等式的性質(zhì)，結(jié)合當(dāng)時，四邊形是矩形，即可得出的最大值【詳解】（1）設(shè)，則，由題意得， 橢圓的方程為；（2）將直線的方程代入橢圓的方程中，

17、得由直線與橢圓僅有一個公共點(diǎn)知，化簡得：設(shè)， 當(dāng)時，設(shè)直線的傾斜角為，則， ，當(dāng)時，當(dāng)時，四邊形是矩形，所以四邊形面積的最大值為2【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的方程與性質(zhì)、直線方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、向量知識、二次函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想21（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）先根據(jù)絕對值不等式求得的最大值，從而得到，再利用基本不等式進(jìn)行證明；（2）利用基本不等式變形得，兩邊開平方得到新的不等式，利用同理可得另外兩個不等式，再進(jìn)行不等式相加，即可得答案.【詳解】（1），.，.（2），即兩邊開平