北師大附屬2021-2022學(xué)年高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1考生要認真填寫考場號和座位序號。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1在中，“”是“”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件2已知，表示兩個不同的平面，l為內(nèi)的一條直線，則“是“l(fā)”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件3的展開式中有理項

2、有（ ）A項B項C項D項4已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，且滿足，當時，則函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù)為（ ）A9B10C18D205九章算術(shù)勾股章有一“引葭赴岸”問題“今有餅池徑丈，葭生其中，出水兩尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深，葭各幾何？”，其意思是：有一個直徑為一丈的圓柱形水池，池中心生有一顆類似蘆葦?shù)闹参?，露出水面兩尺，若把它引向岸邊，正好與岸邊齊，問水有多深，該植物有多高？其中一丈等于十尺，如圖若從該葭上隨機取一點，則該點取自水下的概率為（ ）ABCD6已知函數(shù)（，）的一個零點是，函數(shù)圖象的一條對稱軸是直線，則當取得最小值時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）A（）B（）C（）D（）7已知集合，定義集

3、合，則等于（ ）ABCD8執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為（ ）ABCD9某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為（ ）AB1CD10設(shè)，為非零向量，則“存在正數(shù)，使得”是“”的（ ）A既不充分也不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D充分不必要條件11若復(fù)數(shù)z滿足,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在( )A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限12已知向量，且，則等于（ ）A4B3C2D1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知，且，則的最小值是_.14若關(guān)于的不等式在時恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_15展開式的第5項的系數(shù)為_.16已知函數(shù).若在區(qū)間上恒成立.則實數(shù)的取值

4、范圍是_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）為提供市民的健身素質(zhì)，某市把四個籃球館全部轉(zhuǎn)為免費民用（1）在一次全民健身活動中，四個籃球館的使用場數(shù)如圖，用分層抽樣的方法從四場館的使用場數(shù)中依次抽取共25場，在中隨機取兩數(shù)，求這兩數(shù)和的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）設(shè)四個籃球館一個月內(nèi)各館使用次數(shù)之和為，其相應(yīng)維修費用為元，根據(jù)統(tǒng)計，得到如下表的數(shù)據(jù)：x10152025303540y100001176113010139801477115440160202.993.494.054.504.995.495.99用最小二乘法求與的回歸直線方程；叫做籃球館月惠值，根據(jù)的

5、結(jié)論，試估計這四個籃球館月惠值最大時的值參考數(shù)據(jù)和公式：，18（12分）若數(shù)列滿足：對于任意，均為數(shù)列中的項，則稱數(shù)列為“數(shù)列”（1）若數(shù)列的前項和，試判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”？說明理由；（2）若公差為的等差數(shù)列為“數(shù)列”，求的取值范圍；（3）若數(shù)列為“數(shù)列”，且對于任意，均有，求數(shù)列的通項公式19（12分）以直角坐標系的原點為極點，軸的非負半軸為極軸，且兩坐標系取相同的長度單位.已知曲線的參數(shù)方程：（為參數(shù)），直線的極坐標方程：（1）求曲線的極坐標方程；（2）若直線與曲線交于、兩點，求的最大值.20（12分）在直角坐標系中，已知直線的直角坐標方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以直角坐標系原點

6、為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線和直線的極坐標方程；（2）已知直線與曲線、相交于異于極點的點，若的極徑分別為，求的值.21（12分）聯(lián)合國糧農(nóng)組織對某地區(qū)最近10年的糧食需求量部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：年份20102012201420162018需求量（萬噸）236246257276286（1）由所給數(shù)據(jù)可知，年需求量與年份之間具有線性相關(guān)關(guān)系，我們以“年份2014”為橫坐標，“需求量”為縱坐標，請完成如下數(shù)據(jù)處理表格：年份20140需求量2570（2）根據(jù)回歸直線方程分析，2020年聯(lián)合國糧農(nóng)組織計劃向該地區(qū)投放糧食300萬噸，問是否能夠滿足該地區(qū)的糧食需求？

7、參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為： ，.22（10分）表示，中的最大值，如，己知函數(shù)，.（1）設(shè)，求函數(shù)在上的零點個數(shù)；（2）試探討是否存在實數(shù)，使得對恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1D【解析】通過列舉法可求解，如兩角分別為時【詳解】當時，但，故充分條件推不出；當時，但，故必要條件推不出；所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.【點睛】本題考查命題的充分與必要條件判斷，三角函數(shù)在解三角形中的具體應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題2A【解析】試

8、題分析：利用面面平行和線面平行的定義和性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷解：根據(jù)題意，由于，表示兩個不同的平面，l為內(nèi)的一條直線，由于“，則根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知，則必然中任何一條直線平行于另一個平面，條件可以推出結(jié)論，反之不成立，“是“l(fā)”的充分不必要條件故選A考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；平面與平面平行的判定3B【解析】由二項展開式定理求出通項，求出的指數(shù)為整數(shù)時的個數(shù)，即可求解.【詳解】，當，時，為有理項，共項.故選:B.【點睛】本題考查二項展開式項的特征，熟練掌握二項展開式的通項公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4B【解析】由已知可得函數(shù)f（x）的周期與對稱軸，函數(shù)

9、F（x）f（x）在區(qū)間上零點的個數(shù)等價于函數(shù)f（x）與g（x）圖象在上交點的個數(shù)，作出函數(shù)f（x）與g（x）的圖象如圖，數(shù)形結(jié)合即可得到答案.【詳解】函數(shù)F（x）f（x）在區(qū)間上零點的個數(shù)等價于函數(shù)f（x）與g（x）圖象在上交點的個數(shù)，由f（x）f （2x），得函數(shù)f（x）圖象關(guān)于x1對稱，f（x）為偶函數(shù)，取xx+2，可得f（x+2）f（x）f（x），得函數(shù)周期為2.又當x0，1時，f（x）x，且f（x）為偶函數(shù)，當x1，0時，f（x）x，g（x），作出函數(shù)f（x）與g（x）的圖象如圖：由圖可知，兩函數(shù)圖象共10個交點，即函數(shù)F（x）f（x）在區(qū)間上零點的個數(shù)為10.故選：B.【點睛】本題考

10、查函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于中檔題.5C【解析】由題意知：，設(shè)，則，在中，列勾股方程可解得，然后由得出答案.【詳解】解：由題意知：，設(shè)，則在中，列勾股方程得：，解得所以從該葭上隨機取一點，則該點取自水下的概率為故選C.【點睛】本題考查了幾何概型中的長度型，屬于基礎(chǔ)題.6B【解析】根據(jù)函數(shù)的一個零點是，得出，再根據(jù)是對稱軸，得出，求出的最小值與對應(yīng)的，寫出即可求出其單調(diào)增區(qū)間.【詳解】依題意得，即，解得或（其中，）.又，即（其中）.由得或，即或（其中，），因此的最小值為.因為，所以（）.又，所以，所以，令（），則（）.因此，當取得最小值時，的單調(diào)

11、遞增區(qū)間是（）.故選：B【點睛】此題考查三角函數(shù)的對稱軸和對稱點，在對稱軸處取得最值，對稱點處函數(shù)值為零，屬于較易題目.7C【解析】根據(jù)定義，求出，即可求出結(jié)論.【詳解】因為集合，所以，則，所以.故選:C.【點睛】本題考查集合的新定義運算，理解新定義是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.8D【解析】由程序框圖確定程序功能后可得出結(jié)論【詳解】執(zhí)行該程序可得故選：D【點睛】本題考查程序框圖解題可模擬程序運行，觀察變量值的變化，然后可得結(jié)論，也可以由程序框圖確定程序功能，然后求解9C【解析】該幾何體為三棱錐，其直觀圖如圖所示，體積故選.10D【解析】充分性中，由向量數(shù)乘的幾何意義得，再由數(shù)量積運算即可說明成立；

12、必要性中，由數(shù)量積運算可得，不一定有正數(shù)，使得，所以不成立，即可得答案.【詳解】充分性：若存在正數(shù)，使得，則，得證；必要性：若，則，不一定有正數(shù)，使得，故不成立；所以是充分不必要條件故選：D【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的運算，向量數(shù)乘的幾何意義，還考查了充分必要條件的判定，屬于簡單題.11A【解析】化簡復(fù)數(shù)，求得，得到復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)點的坐標，即可求解.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)z滿足，可得，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標為位于第一象限故選：A.【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運算，以及復(fù)數(shù)的幾何表示方法，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運算法則，結(jié)合復(fù)數(shù)的表示方法求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于

13、基礎(chǔ)題.12D【解析】由已知結(jié)合向量垂直的坐標表示即可求解【詳解】因為，且，則故選：【點睛】本題主要考查了向量垂直的坐標表示，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。131【解析】先將前兩項利用基本不等式去掉，再處理只含的算式即可【詳解】解：，因為，所以，所以，當且僅當，時等號成立，故答案為：1【點睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，但是由于有3個變量，導(dǎo)致該題不易找到思路，屬于中檔題14【解析】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將不等式去掉對數(shù)符號，再依據(jù)分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化成求構(gòu)造函數(shù)最值問題，進而求得的取值范圍。【詳解】由 得，兩邊同除以，得到，設(shè)，

14、由函數(shù) 在上遞減，所以，故實數(shù)的取值范圍是?！军c睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及恒成立問題的常規(guī)解法分離參數(shù)法。1570【解析】根據(jù)二項式定理的通項公式，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：第5項為故第5項的的系數(shù)為故答案為：70.【點睛】本題考查的是二項式定理，屬基礎(chǔ)題。16【解析】首先解不等式，再由在區(qū)間上恒成立，即得到不等組，解得即可.【詳解】解：且，即解得，即因為在區(qū)間上恒成立，解得即故答案為：【點睛】本題考查一元二次不等式及函數(shù)的綜合問題，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）見解析，12.5（2）20【解析】(1) 運用分層抽樣，結(jié)合總場

15、次為100，可求得的值，再運用古典概型的概率計算公式可求解果;(2) 由公式可計算的值，進而可求與的回歸直線方程；求出，再對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合單調(diào)性，可估計這四個籃球館月惠值最大時的值.【詳解】解：（1）抽樣比為，所以分別是，6，7，8，5所以兩數(shù)之和所有可能取值是：10，12，13，15，所以分布列為期望為（2）因為所以，；，設(shè)，所以當遞增，當遞減所以約惠值最大值時的值為20【點睛】本題考查直方圖的實際應(yīng)用，涉及求概率，平均數(shù)、擬合直線和導(dǎo)數(shù)等問題，關(guān)鍵是要讀懂題意，屬于中檔題.18（1）不是，見解析（2）（3）【解析】（1）利用遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項公式，進一步驗證時，是否為數(shù)列中的項，即可得

16、答案；（2）由題意得，再對公差進行分類討論，即可得答案；（3）由題意得數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為，再根據(jù)不等式得到公差的值，即可得答案；【詳解】（1）當時，又，所以所以當時，而，所以時，不是數(shù)列中的項，故數(shù)列不是為“數(shù)列”（2）因為數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，所以因為數(shù)列為“數(shù)列”所以任意，存在，使得，即有若，則只需，使得，從而得是數(shù)列中的項若，則此時，當時，不為正整數(shù)，所以不符合題意綜上，（3）由題意，所以，又因為，且數(shù)列為“數(shù)列”，所以，即，所以數(shù)列為等差數(shù)列設(shè)數(shù)列的公差為，則有，由，得，整理得，若，取正整數(shù)，則當時，與式對應(yīng)任意恒成立相矛盾，因此同樣根據(jù)式可得，所以又，所以經(jīng)檢驗當時，兩

17、式對應(yīng)任意恒成立，所以數(shù)列的通項公式為【點睛】本題考查數(shù)列新定義題、等差數(shù)列的通項公式，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，難度較大.19（1）；（2）10【解析】（1）消去參數(shù)，可得曲線C的普通方程，再根據(jù)極坐標與直角坐標的互化公式，代入即可求得曲線C的極坐標方程；（2）將代入曲線C的極坐標方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得，進而得到=，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）由題意，曲線C的參數(shù)方程為，消去參數(shù)，可得曲線C的普通方程為，即，又由，代入可得曲線C的極坐標方程為.（2）將代入，得，即，所以=，其中，當時，取最大值，最大值為10.【點

18、睛】本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程，極坐標方程與直角坐標方程的互化，以及曲線的極坐標方程的應(yīng)用，著重考查了運算與求解能力，屬于中檔試題.20（1），.（2）【解析】（1）先將曲線的參數(shù)方程化為直角坐標方程，即可代入公式化為極坐標；根據(jù)直線的直角坐標方程，求得傾斜角，即可得極坐標方程.（2）將直線的極坐標方程代入曲線、可得，進而代入可得的值.【詳解】（1）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去得，把，代入得，從而得的極坐標方程為，直線的直角坐標方程為，其傾斜角為，直線的極坐標方程為.（2）將代入曲線的極坐標方程分別得到，則.【點睛】本題考查了參數(shù)方程化為普通方程的方法，直角坐標方程化為極坐標方程的方法，極坐標的幾何意義，屬于中檔題.21（1）見解析；（2）能夠滿足.【解析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，結(jié)合以“年份2014”為橫坐標，“需求量”為縱坐標的要求即可完成表格；（2）根據(jù)表中及所給公式可求得線性回歸方程，由線性回歸方程預(yù)測2020年的糧食需求量，即可作出判斷.【詳解】（1）由所給數(shù)據(jù)和已知條件，對數(shù)據(jù)處理表格如下：年份2014024需求量25701929（2）由題意可知，變量與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，由（1）中表格可得，.由上述計算結(jié)果可知，所求回歸直線方程為，利用回歸直線方