反比例函數圖像和性質及應用全章

1、反比例函數圖像和性質及應用全章京滬鐵路全程1463km，某列車的平均速度v km/h隨運行時間t h的變化而變化(試用t表示v）.情境問題一V=1463 t_情境問題二某小區(qū)要種植一個面積為1000 m的矩形草坪，它的長ym隨寬xm的變化而變化（試用x表示y）.2y=1000 x_情境問題三北京市總面積為1.68x10 平方千米 ，人均占地面積S平方千米/人隨全市人口n人的變化而變化（試用n表示s）.S= n_44比一比 上述三個解析式分別為：1.你能說出它們的共同特征嗎？2.你能用一個一般形式表示出來嗎？思考反比例函數中自變量x的取值范圍是什么?形如 （k為常數,k0）的函數叫做反比例函數，

2、其中x是自變量，y是x的函數。你能舉出幾個反比例函數的表達式嗎？思考:xy=4中,y是x的反比例函數嗎？y=kx-1xy=ky與x成反比例判斷：下列各式是否是反比例函數，如果是,說出k的值.1.y = 4x 4. y= -2.y = 6x+1 5. =33.xy = 123 6. y= 5x3x_yx_(否)(否)(否)(是)(是)(是)-11.若函數y=(m+2)x 是反比例函數，則m_,n_;2.若函數y=(m+3)x 是反比例函數，則m=_;3.若函數y= 是反比例函數，則m=_.n-1lml-4m-1 x_lml=0-23-1填空：y=kx-1xy=ky與x成反比例記住這三種等價形式：

3、（k 0）例1.下列關系式中的y是x的反比例函數嗎？如果是，比例系數k是多少？可以改寫成 ，所以y是x的反比例函數，比例系數k=1。不具備 的形式，所以y不是x的反比例函數。y是x的反比例函數，比例系數k=4。不具備 的形式，所以y不是x的反比例函數。可以改寫成 所以y是x的反比例函數，比例系數k= y =32xy = 3x-1y = 2xy = 3xy =13xy = x1下列函數中哪些是反比例函數?哪些是一次函數? 反比例函數一次函數1. 在下列函數中，y是x的反比例函數的是（ ） （A） （B） + 7 （C）xy = 5 （D）2.已知函數 是正比例函數,則 m=_ ； 已知函數 是反

4、比例函數,則 m = _ 。y =8X+5y =x3y =x22y = xm -7y = 3xm -7C86xy+4=0中y是x的反比例函數嗎?若是，比例系數k等于多少？若不是，請說明理由。xy+4=0可以改寫成 比例系數k等于4所以y是x的反比例函數4.當m 時，關于x的函數y=(m+1)xm2-2是反比例函數？分析:m2-2=-1m+10即 m=1m-11例2.已知y是x的反比例函數,當x=2時,y=6.寫出y與x的函數關系式:求當x=4時y的值.例題講析因為當 x=2 時y=6，所以有y與x的函數關系式為 把 x=4 代入 得 【待定系數法求反比例函數的表達式】變式:y是x-1的反比例函

5、數,當x=2時,y=-6. (1)寫出y與x的函數關系式.(2)求當y=4時x的值.(2).根據函數表達式完成上表.2-41例3.例題講析(1).寫出這個反比例函數的表達式;解: y是x的反比例函數,解：由題意知由 x=1 時，y=4知識點 1反比例函數的定義1.判別下列式子是否表示 y 是關于 x 的反比例函數？如果是，請指出相應的 k 值是多少？解：是反比例函數，k 值分別為5,123,3.反比例函數定義式及常見的變式(k 為常數，【跟蹤訓練】1下列函數中，是反比例函數的是( )D2已知函數 ykxk2 是反比例函數，求 k 的值解：由題意得，k21 且 k0，解得 k1.3.已知函數 是

6、正比例函數,則 m =_ ; 已知函數 是反比例函數,則 m =_ .已知函數 是反比例函數,則 m = _ 。y = xm -7y = 3xm -7y = (m-3)x2-|m|86-3判斷一個等式為反比例函數,要兩個條件:(1)自變量的指數為-1;(2)自變量系數不為0.知識點 2求反比例函數解析式(重點)2.(1)已知變量 y 與 x 成反比例，并且當 x3 時，y7，寫出 y 與 x 之間的函數解析式；求當 x7 時函數的值；(2)已知函數 yy1y2，y1 與 x 成正比例，y2 與(x2)成反比例，且當 x3 時，y5；當 x1 時，y1，求出 y 與 x的函數解析式【跟蹤訓練】2

7、【課堂練習】是x成反比例,當x=3時,y=4.(1)寫出y與x的函數關系式.(2)求當時x的值.2.已知函y=m+n,其中m與x成正比例,n與x成反比例,且當x=1時,y=4;x=2時y=5.(1)求y與x的函數關系式.(2)當x=4時,求y的值.26.1.2 反比例函數的 圖 象 和 性 質(1)知識回顧1、什么是反比例函數？ 2、反比例函數的定義中還需要注意什么？自變量x的取值范圍一般地，形如 的函數 叫做反比例函數 自變量x的次數為 3、請回憶：正比例函數的圖象和性質-2 （k是常數，k0）-1x0若函數y=（m-2)xm2-5是反比例函數，則m= ， 性 質 圖象名稱 解析式圖象位于：

8、一、三象限 y隨x的增大而增大圖象位于：二、四象限 y隨x的增大而減小K0K0y=kx (k0)直 線(過原點）增減性：增減性：1、列表:2、描點:3、連線:y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x654321-1-2-3-4-5-6O-1-2-4421請你另外取一個正整數k的值，作出其反比例函數圖象圖象會和坐標軸相交嗎？反比例函數 的圖象通過對k取不同的正值，作出了反比例函數的圖象，你發(fā)現了反比例函數的圖象是什么?分別在哪個象限內？思考：-4 -2 -1 -0.50.5 1 24注意：圖象不會與x軸、y軸相交y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x654321-1-2-3

9、-4-5-6Oy -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x654321-1-2-3-4-5-6O圖象不是直線，是兩支曲線，分別在一、三象限內y =x6123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556xy16233245616-1-6-2-3-3-2-4-5-6-1圖象由兩條曲線組成，叫做雙曲線，只要k取正值，圖象都位于第一、三象限內K的值還可以取其他一些什么值？說說看再認真觀察y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x654321-1-2-3-4-5-6Oy -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x654321-1-2-3-4-5-6O列表、描點、

10、連線對稱性反比例函數的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形。有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x。對稱中心是：原點xy012y = kxy=xy=-x123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556yx123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556xy發(fā)現函數值y怎樣隨著自變量x的變化而變化？AB如圖xB xA但yB0K0時,圖象在第_象限,y隨x 的增大而_.一、三二、四一減小增大減小練一練1 函數y=kx-k 與 在同一條直角坐標系中的 圖象可能是 .練一練2已知反比例函數 若函數的圖象位于第一三象限，則k_;若在每一象限內，y隨x增大而

11、增大，則k_. 4練一練3Dxyoxyoxyoxyo(A) (B) (C) (D) 由兩支曲線組成的.因此稱它的圖象為雙曲線;當k0時,兩支雙曲線分別位于第一,三象限內;當k0時,在每一象限內,y隨x的增大而減小; 當k0時，y隨x的增大而減小;當k0時，y隨x的增大而增大;當k0時，y隨x的增大而減小.k0k0 x知識回顧y=kx(k0)(特殊的一次函數)k0k0 x既軸對稱又中心對稱既軸對稱又中心對稱對稱中心：原點對稱中心：原點對稱軸：直線y= -kx對稱軸：直線y=x 和 直線y=-x例1.已知函數 為反比例函數(1)求m的值.(2)它的的圖象在第幾象限?在各個象限內，y隨x的增大如何變

12、化?(3)當 時，求此函數的最大值和最小值例2.已知反比例函數的圖象經過點A(2，6).(1)這個函數的圖象分布在哪些象限?y隨x的增大如何變化?(2)點B(3，4)、C( ）和D（2，5）是否在這個函數的圖象上？解：（）設這個反比例函數為，解得： 這個反比例函數的表達式為這個函數的圖象在第一、第三象限，在每個象限內，隨的增大而減小。圖象過點A（2，6）1、反比例函數 的圖象經過（2，-1），則k的值為 ；2、反比例函數 的圖象經過點（2，5），若點（1，n）在反比例函數圖象上，則n等于（ ）A、10 B、5 C、2 D、-6-2A3、下列各點在雙曲線 上的是（ ）A、（ ， ） B、（ ，

13、）C、（ ， ） D、（ ， ）B例3. 如圖是反比例函數 的圖象一支，根據圖象回答下列問題 ：（1）圖象的另一支在哪個象限？常數m的取值范圍是什么？（2）在這個函數圖象的某一支上任取點A（a，b）和B（a，b），如果aa，那 么b和b有怎樣的大小關系？解：（）反比例函數圖象的分布只有兩種可能，分布在第一、第三象限，或者分布在第二、第四象限。這個函數的圖象的一支在第一象限，則另一支必在第三象限。函數的圖象在第一、第三象限解得 （），在這個函數圖象的任一支上，隨的增大而減小，當時例3. 如圖是反比例函數 的圖象一支，根據圖象回答下列問題 ：（1）圖象的另一支在哪個象限？常數m的取值范圍是什么？（

14、2）在這個函數圖象的某一支上任取點A（a，b）和B（a，b），如果aa，那 么b和b有怎樣的大小關系？A1、在反比例函數 的圖象上有三點（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），若x1x20 x3，則下列各式中正確的是（ ） A、y3y1y2 B、y3y2y1 C、y1y2y3 D、y1y3y22.已知點A(-2,y1),B(-1,y2)都在反比例函數 的圖象上,則y1與y2的大小關系(從大到小)為 .y1 y23.已知點A(-2,y1),B(-1,y2)都在反比例函數 的圖象上,則y1與y2的大小關系(從大到小)為 .(k0)A(x1,y1),B(x2,y2)且x10 x2yxox1x

15、2Ay1y2By1 0y24.若點（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在反比例函數 的圖象上，則（ ）A、y1y2y3 B、y2y1y3C、y3y1y2 D、y3y2y1B例4. 如圖，一次函數 的圖象與反比例函數 的圖象交于A、B兩點，(-2,1)(1,a)(1)根據圖象，求反比例函數和一次函數的解析式.(2)根據圖象，直接寫出不等式 的解集. 觀察函數 的圖象,當x=-2時,y= _ ,當x-2時,y的取值范圍是 _ ;當y-1時,x的取值范圍是 _ .-1-1y0 x0活學活用1. 如圖：一次函數的圖象 與反比例函數 交于M(2，m)、N(-1，-4)兩點.(1)求反比例函數和一

16、次函數的解析式；(2)根據圖象寫出反比例函數的值大于一次函數的值的x的取值范圍.M（2，m）20-1N（-1，-4）yx 變式訓練yx20-1N（-1，-4）M（2，m）（2）根據圖象寫出反比例函數的值大于一次函數的值的x的取值范圍.（2）觀察圖象得：當x-1或0 x2時，反比例函數的值大于一次函數的值. 變式訓練2.如圖已知A(-4，2)、B(n，-4)是一次函數y=ax+b的圖象與反比例函數 的圖象的兩個交點.(1) 求此反比例函數和一次函數的解析式；(2) 根據圖象寫出使一次函數的值小于反比例函數的值的x的取值范圍. 變式訓練3如圖所示，已知直線y1=x+m與x軸、y軸分別交于點A、B，

17、與雙曲線y2= （ky2(2)求出點D的坐標；(1)分別求直線AB與雙曲線的解析式； 變式訓練my2則y1y2則y1x2 ，則y1y2嗎？ 課堂小結1.作函數圖象的一般方法和步驟2.反比例函數的圖象和性質：當k0時，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限， 在每個象限內y值隨x值的增大而減小。當k0;當圖像在第二、四象限時，K0。ByxoACxyoC(3,-1)A(-3,1)BD思路拓展1已知A(-3,1)、C(3,-1)在反比例函數上，將四邊形沿著x軸(y軸) 做出他們的對稱圖形，求：四邊形ABCD的面積為多少？若A(-x,y)、C(x,-y)，那么四邊形ABCD的面積又為多少？C(x,-y)A

18、(-x,y)EF四邊形AEFD的面積呢？反比例函數 的圖象如圖，點M是函數圖象上一點，MN垂直x軸于N,則 （ ） （ ）xyoMN探究2P42Aoyx 2.觀察圖中各個三角形的面積，你有什么發(fā)現？1.如圖，S矩形OAPB= _,SOAP= .xyOAPPyB你能總結一下規(guī)律嗎？思考反比例函數 上一點P（m，n），過點P分別作PAy軸，PBX軸，垂足分別為A、B，則S矩形AOBP= ，SAOP= SBOP = . 歸納P(m,n)AoyxB1.如圖，A、C是反比例函數 的圖xyoCA象上的點，且A（3，-4），過C點作y軸的垂線，則COD的面積是多少？D2.如圖，若點A在反比例函數 的圖象上，

19、ABx軸，ACy軸，SABO=3；求k的值；當點A在反比例函數圖像上運動時，ABO的面積發(fā)生變化嗎？為什么？3.如圖，已知點A在反比例函數圖象上,AMx軸于點M，且AOM的面積為1，則反比例函數的解析式為 。思路拓展2xyoCABFE如圖，A、C是反比例函數 的圖象上兩點，過A作y軸的垂線，過C作x軸的垂線，兩條垂線交于點D，垂足分別為E、F，記S為ABC的面積，則S=?反比例函數中K的幾何意義如圖，在坐標平面上有兩點A(2,3)和B(6,1),求AOB的面積；k的幾何意義練習1：用含k的代數式表示下列陰影部分的面積練習21練習3圖中面積相等的圖形有哪些？圖中面積相等的圖形有哪些？例1.如圖，

20、在坐標平面上有兩點A(2,3)和B(6,1),求AOB的面積；學以致用圖中面積相等的圖形有哪些？學以致用重要的圖形練習3例3AyOBxMNCD學以致用AyOBxMNAyOBxMNCDAyOBxMNCDAyOBxMN 1.已知,如圖,反比例函數 與一次函數y=kx+1的圖象交于A、B兩點,點A的縱坐標是3.(1)求這個一次函數的解析式(2)求AOB的面積. 變式訓練yBAxo2.如圖，已知A、B是雙曲線 上的兩點,(1)若A(2,3)，求K的值.(2)在(1)的條件下，若點B的橫坐標為3，連接OA,OB,AB，求OAB的面積. 變式訓練(3)若A,B兩點的橫坐標分別為a,2a，線段AB的延長線交

21、X軸于點C，若 ，求K的值yBAxoC 變式訓練yxoPQ 變式訓練MN3 4. 已知一次函數 的圖象與反比例函數 的圖象交與A，B兩點且點A的橫坐標與B點的縱坐標都是，求一次函數的解析式；求AOB的面積。xyOABCEFP(m,n)AoyxB 圖象上的面積P(m,n)AoyxP(m,n)Aoyx 圖象上的面積PBy軸于點B,直線PC經過原點。 圖象上的面積P(m,n)AoyxP/ 圖象上的面積A. S1 = S2 = S3 B. S1 S2 S3 C. S3 S1 S2 S3 BA1oyxACB1C1S1S3S2面積性質的應用ACoyxBA.S = 1 B.1S2ACoyxP解:由性質(2)可得4.如圖，反比例函數與正比例函數的圖象相交于A、B兩點，過點A作ACx軸于點C若ABC的面積是4，則這個反比例函數的解析式為（） A. B. C. D.xyOP1P2P3P41234如圖，在反比例函數 的圖象上，有點，它們的橫坐標依次為1，2，3，4分別過這些點作 軸與 軸