版訓(xùn)練第十三章第3講

1、基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：30 分鐘)一、選擇題1.用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n2n1 對于 nn0 的正整數(shù) n 都成立”時(shí)，第一步證明中的起始值 n0 應(yīng)取(A.2)B.3C.5D.6n1 時(shí)，212，2113，2n2n1 不成立；n2 時(shí)，224，2215，2n2n1 不成立；n3 時(shí)，238，2317，2n2n1 成立.n 的第一個(gè)取值 n03.B某個(gè)命題與正整數(shù)有關(guān)，如果當(dāng) nk(kN*)時(shí)該命題成立，那么可以推出k1 時(shí)該命題也成立.現(xiàn)已知 n5 時(shí)該命題成立，那么() A.n4 時(shí)該命題成立n4 時(shí)該命題不成立n5，nN*時(shí)該命題都成立可能 n 取某個(gè)大于 5 的整數(shù)時(shí)該命題不成立顯然A

2、，B 錯(cuò)誤，由數(shù)學(xué)歸納法原理知 C 正確，D 錯(cuò).nC3.用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被 9 整除”，利用歸納法假設(shè)證明 nk1 時(shí)，只需展開( A.(k3)3C.(k1)3)B.(k2)3D.(k1)3(k2)3假設(shè) nk 時(shí)，原式 k3(k1)3(k2)3 能被 9 整除，當(dāng) nk1 時(shí)，(k1)3(k2)3(k3)3 為了能用上面的歸納假設(shè)，只須將(k3)3 展開，讓其出現(xiàn) k3.A4.對于不等式 n2nn1(nN*)，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程如下：(1)當(dāng) n1 時(shí)， 12111，不等式成立.(2) 假設(shè)當(dāng) n k(kN*) 時(shí)， 不等式 k2k k 1

3、成立， 當(dāng) n k 1 時(shí)，（k1）2k1 k23k2 （k23k2）（k2） （k2）2(k1)1.當(dāng) nk1 時(shí)，不等式成立，則上述證法( A.過程全部正確n1 驗(yàn)得不正確歸納假設(shè)不正確從 nk 到 nk1 的推理不正確)在 nk1 時(shí)，沒有應(yīng)用 nk 時(shí)的假設(shè)，不是數(shù)學(xué)歸納法.D15.在數(shù)列an中，a13，且Snn(2n1)an，通過求 a2，a3，a4，猜想 an 的表達(dá)式為()A.11B.（n1）（n1）2n（2n1）C.11D.（2n1）（2n1）（2n1）（2n2）時(shí)，1a2(23)a2，a2 1 .當(dāng)時(shí)，1 1 a3當(dāng) n2n3331535(35)a3，a3 1 .故猜想 an

4、1.57（2n1）（2n1）C二、填空題11 1n(nN，且 n1)，第一步要證的不6.用數(shù)學(xué)歸納法證明 123n2 1等式是.n1 且 nN，當(dāng) n2 時(shí)，1112.23111232 1 1 1 7.(2016無錫調(diào)研)利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式12(n1，nn1n2nnN*)的過程中，用 nk1 時(shí)左邊的代數(shù)式減去 nk 時(shí)左邊的代數(shù)式的結(jié)果為.當(dāng) nk 時(shí)，左邊 1 1 1 ，k1k2kk當(dāng) nk1 時(shí)，左邊 1 1 1 1 1，得，1k2k3kk2k12k22k1 1 1 1 1.2k2k12k12k2 1 12k12k28.凸 n 多邊形有 f(n)條對角線.則凸(n1)邊形的對角線的

5、條數(shù) f(n1)與 f(n)的遞推關(guān)系式為.f(n1)f(n)(n2)1f(n)n1.f(n1)f(n)n1三、解答題9.設(shè)數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且方程 x2anxan0 有一根為 Sn1(nN*). (1)求 a1，a2；(2)猜想數(shù)列Sn的通項(xiàng)公式，并給出證明.(1)當(dāng) n1 時(shí)，方程 x2a1xa10 有一根為 S11a11，(a11)2解1a1(a11)a10，解得 a12.1當(dāng) n2 時(shí)，方程 x2a2xa20 有一根為 S21a1a21a22，121a1 22a2a22a20，解得 a26.(2)由題意知(Sn1)2an(Sn1)an0，當(dāng) n2 時(shí)，anSnSn1，代入

6、上式整理得112Sn10，解得 Sn.SnSn2Sn11112由(1)得 S1a12，S2a1a2263. n 猜想 Sn(nN*).n1下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論.當(dāng) n1 時(shí)，結(jié)論成立.假設(shè) nk(kN*，k1)時(shí)結(jié)論成立，即 Sk k ，k1k1k1.即當(dāng) nk1 時(shí)結(jié)1 1當(dāng) nk1 時(shí)，S k 2k12Skk（k1）12k1論成立. n 由知 Sn對任意的正整數(shù) n 都成立.n11 1 1 13 1 ，nN*.10.已知 f(n)1233343n3，g(n)22n2當(dāng) n1，2，3 時(shí)，試比較 f(n)與 g(n)的大??；猜想 f(n)與 g(n)的大小關(guān)系，并給出證明.解(1)當(dāng)

7、 n1 時(shí)，f(1)1，g(1)1，所以 f(1)g(1)；911當(dāng) n2 時(shí)，f(2)8，g(2) 8 ，所以 f(2)g(2)；251312當(dāng) n3 時(shí)，f(3)216，g(3)216，所以 f(3)g(3).(2)由(1)猜想 f(n)g(n)，下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明.當(dāng) n1，2，3 時(shí)，不等式顯然成立，假設(shè)當(dāng) nk(k3，kN*)時(shí)不等式成立，即1 1 11 3 1 1233343k322k2.1那么，當(dāng) nk1 時(shí)，f(k1)f(k)3 1 1.（k1）322k2（k1）3 1 11因?yàn)?2k32（k1）2（k1）k3 1 3k10，2k22（k1）32（k1）3k231g(k1

8、).所以 f(k1)222（k1）由可知，對一切 nN*，都有 f(n)g(n)成立.能力題組(建議用時(shí)：15 分鐘)1113模擬)設(shè) n 為正整數(shù)，f(n)111.(201623n，經(jīng)計(jì)算得 f(2)2，f(4)572，f(8)2，f(16)3，f(32)2，觀察上述結(jié)果，可推測出一般結(jié)論()2n1n22A.f(2n)B.f(n )22n2C.f(2n)D.以上都不對2因?yàn)?f(22)4，f(23)5，f(24)6，f(25)7，所以當(dāng) n1 時(shí)，有 f(2n)n2.22222C模擬)設(shè) f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且 f(x)滿足：“當(dāng) f(k)k212.(2016成立時(shí)，總可推出

9、f(k1)(k1)2 成立”.那么，下列命題總成立的是( A.若 f(1)1 成立，則 f(10)100 成立B.若 f(2)4時(shí)，f(n)(用 n 表示).f(3)2，f(4)f(3)3235，f(5)f(4)4234，f(6)f(5)5（n1）（n2）2345，猜想 f(n)234(n1)(n4).251(n1)(n2)22*).14.數(shù)列x 滿足 x 0，xx x n1n1nn(1)證明：xn是遞減數(shù)列的充要條件是 c0；(2)若 0c1證明數(shù)列xn是遞增數(shù)列.，42證明(1)充分性：若 c0，由于 xx x cx cx ，數(shù)列x 是n1nnnnn遞減數(shù)列.必要性：若xn是遞減數(shù)列，則 x2x1，且 x10.又 x2x2x1cc，c0.1故xn是遞減數(shù)列的充要條件是 c0.(2)若 0c1要證xn是遞增數(shù)列.，42即 xx x c0，n1nn即證 xnc對任意 n1 成立.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng) 0c1時(shí)，xnc對任意 n1 成立.41c ，