第5章-1定態(tài)微擾論和變分法

1、主要內(nèi)容：5.1非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論 線性諧振子和基態(tài)氫原子的極化5.2 簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論 Stark效應(yīng) 5.3 變分法 氦原子基態(tài)5.4 與時(shí)間有關(guān)的微擾論 躍遷概率5.5 光的發(fā)射和吸收 選擇定則5.6 低能散射分波法5.7 高能散射Born近似5.1非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論 線性諧振子和基態(tài)氫原子的極化設(shè)體系的Hamiton算符不顯含時(shí)間t，且可以分為兩部分：其中 很小，可視為微擾。微擾使得:（5.1）令 代入(5.1),得到： （5.2） （5.3） （5.4） 令兩邊同極小量相等，可得到一系列方程如下： （5.6） （5.5） （5.7） 注意，若 是(5.6)的解，則 也同樣是(5.6)

2、的解。 非簡(jiǎn)并情形,一級(jí)修正：代入(5.9)有 （5.10） 再求 代入（5.6），得令 （5.9） 二級(jí)修正：以 左乘（5.7）兩邊，并對(duì)整個(gè)空間積分，得： 綜上，有 很小的含義為 例題5.1 線性諧振子的極化 電荷為q的線性諧振子受恒定弱電場(chǎng)E作用，電場(chǎng)沿正x方向。用微擾求體系的定態(tài)能量和波函數(shù)。解： 體系的Hamilton算符是 在弱場(chǎng)情況下，最后一項(xiàng)可看成微擾，即先計(jì)算微擾矩陣元：可以得出，能級(jí)的一級(jí)微擾 能級(jí)的二級(jí)微擾從而有 上式表明，能級(jí)整體向下移動(dòng)了 但此移動(dòng)與n無(wú)關(guān)，即與振子的狀態(tài)無(wú)關(guān)。 波函數(shù)的一級(jí)微擾無(wú)電場(chǎng)時(shí)諧振子的能量本征態(tài)具有確定的宇稱，故 有外電場(chǎng)時(shí) 即平衡位置偏離了

3、 ，因此，由于外電場(chǎng)而產(chǎn)生的電偶極矩為 例題5.2 基態(tài)氫原子的極化 基態(tài)的氫原子處于沿z方向的均勻弱外電場(chǎng)E中，試求基態(tài)波函數(shù)的一級(jí)修正和能量的二級(jí)修正。解：無(wú)外場(chǎng)時(shí)，氫原子的基態(tài)波函數(shù)和能量為 視弱外場(chǎng)為微擾 其中 可見，一級(jí)微擾 （k=(1,0,0)） 二級(jí)微擾 5.2 簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論 Stark效應(yīng) 設(shè) 是簡(jiǎn)并的首要問(wèn)題：如何從這個(gè)本征函數(shù)中挑選出零級(jí)近似波函數(shù)？令 它必須使(5.6)有解，將其代入(5.6)，有以 左乘（5.7）兩邊，并積分，得： 上式是以系數(shù)為未知量的一次奇次方程組，它有不全為零的解的條件是： （5.15） 解這個(gè)方程可以得到能量一級(jí)修正的k個(gè)根若 的k個(gè)根都不相

4、等，則一級(jí)微擾可以將k度簡(jiǎn)并完全消除若 有幾個(gè)重根，則一級(jí)微擾只能將k度簡(jiǎn)并部分消除，必須進(jìn)一步考慮能量的二級(jí)修正，才有可能使能級(jí)完全分裂開來(lái)。確定零級(jí)近似波函數(shù)，可以將 的值代入(5.15)，再代入（5.14）即得。解出一組例題5.3 氫原子的Stark效應(yīng)計(jì)算處于激發(fā)態(tài)的氫原子在外電場(chǎng)作用下所產(chǎn)生的譜線分裂現(xiàn)象（氫原子的Stark效應(yīng)）。解： 電子在氫原子中受到球?qū)ΨQ的庫(kù)侖場(chǎng)的作用，第n個(gè)能級(jí)n2度簡(jiǎn)并。 無(wú)外場(chǎng)時(shí)氫原子體系的Hamilton算符為： 加上沿z軸的均勻外電場(chǎng)，則電子在此外電場(chǎng)中的附加勢(shì)能為： 討論能級(jí) n2 ： 本征值： 本征函數(shù)（四個(gè)簡(jiǎn)并態(tài)）： 為解久期方程，求能量的一級(jí)

5、修正值，先求 各矩陣元。不為零的矩陣元只有：其解為： 可見，在外電場(chǎng)作用下，原來(lái)四度簡(jiǎn)并的能級(jí)，在一級(jí)修正中將分列為三個(gè)能級(jí)，簡(jiǎn)并部分地被消除。求波函數(shù)的零級(jí)近似:決定展開系數(shù)的線性方程組為 ： 對(duì)應(yīng)于 的三個(gè)根分別有解： （1） 時(shí)，解得： （2） 時(shí)，解得： （3） 時(shí)，解得： 為不同時(shí)為零的常數(shù) 5.3 變分法 氦原子基態(tài)微擾法要求 的本征值和本征函數(shù)已知， 很小，否則微擾法不能應(yīng)用。 下面介紹的近似方法變分法不受上述條件限制。 設(shè)體系Hamilton算符的本征值由小到大的順序排列為 相應(yīng)的本征函數(shù)為為簡(jiǎn)單計(jì)，假定 的本征值E是分立的設(shè) 為一個(gè)任意的歸一化波函數(shù)， 在 所描寫的狀態(tài)中，體

6、系能量的平均值是 由于基態(tài)能量EEn(n=1,2,.),所以 或 上式說(shuō)明，用任意波函數(shù) 算出 的平均值總是大于(或等于）體系的基態(tài)能量。因此，可以選取很多 并算出 的平均值，這些平均值中最小的一個(gè)最接近于E0。 用變分法求體系基態(tài)能量的步驟是： 選取含有參量的嘗試波函數(shù) 算出平均能量 ，然后由求出 的最小值，所得結(jié)果就是E0的近似值。 例題5.4：用變分法求氫原子基態(tài)能量，采用二種嘗試波函數(shù)：1 2 解：1.令 ，歸一化得到而： 令 與精確值 波函數(shù)也與精確解不一致。 有偏差，而相應(yīng)的基態(tài)近似2. 令歸一化得到令 得到 基態(tài)波函數(shù)為 可見，如果試探波函數(shù)取得合適，結(jié)果就會(huì)很精確。 例題5.6 試用變分法計(jì)算氦原子基態(tài)解：氦原子核帶電+2e，核外有兩個(gè)核外電子，原子核質(zhì)量比電子質(zhì)量大很多，可認(rèn)為其不動(dòng)。Hamilton算符為： 第一步：選取適當(dāng)?shù)膰L試波函數(shù) 中如果最后一項(xiàng)不存在，有 這時(shí)兩個(gè)電子互不相關(guān)地在核電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，的基態(tài)本征函數(shù)可用分離變量法解Schrdinger方程得出，為兩個(gè)類氫原子基態(tài)本征函數(shù)的乘積，即 （5.19） 在兩個(gè)電子間有相互作用時(shí)，兩電子相互屏蔽，核的有效