彈性力學(xué)第四章本構(gòu)關(guān)系

1、彈性(tnxng)力學(xué)共五十二頁第四章 本構(gòu)關(guān)系(gun x)4-1 本構(gòu)關(guān)系概念(ginin) 4-2 廣義胡克定律4-3 應(yīng)變能和應(yīng)變余能共五十二頁 在以前章節(jié)我們從靜力學(xué)和幾何學(xué)觀點(diǎn)出發(fā)，得到了連續(xù)介質(zhì)所共同滿足的一些方程。顯然，僅用這些方程還不足以解決變形固體的平衡問題，因?yàn)樵谕茖?dǎo)這些方程時(shí)，并沒有考慮應(yīng)力和應(yīng)變的內(nèi)在聯(lián)系，而實(shí)際上他們是相輔相成(xing f xing chng)的，對(duì)每種材料，他們之間都有完全確定的關(guān)系，這種關(guān)系反映了材料所固有的物理特性。本章就是要建立在彈性階段的應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系本構(gòu)關(guān)系。4-1 本構(gòu)關(guān)系(gun x)概念共五十二頁Chapter 5.1 單向(d

2、n xin)應(yīng)力狀態(tài)時(shí)的胡克定律是 式中 E 稱為彈性模量。對(duì)于一種材料在一定溫度下，E 是常數(shù)。 楊氏模量4-1 本構(gòu)關(guān)系(gun x)概念共五十二頁Chapter 5.1 在單向(dn xin)拉伸時(shí)，在垂直于力作用線的方向發(fā)生收縮。在彈性極限內(nèi)，橫向相對(duì)縮短 和縱向相對(duì)伸長 成正比，因縮短與伸長的符號(hào)相反，有： 其中 是彈性(tnxng)常數(shù)，稱為泊松比。 泊松比4-1 本構(gòu)關(guān)系概念共五十二頁Chapter 5.1 先考慮在各正應(yīng)力(yngl)作用下沿 x 軸的相對(duì)伸長，它由三部分組成，即 線彈性(tnxng)疊加原理4-1 本構(gòu)關(guān)系概念共五十二頁Chapter 5.1其中 是由于x的作

3、用所產(chǎn)生的相對(duì)伸長 是由于y的作用所產(chǎn)生的相對(duì)縮短 是由于z的作用所產(chǎn)生的相對(duì)縮短 4-1 本構(gòu)關(guān)系(gun x)概念共五十二頁Chapter 5.1 將上述三個(gè)應(yīng)變(yngbin)相加，即得在x、y、z同時(shí)作用下在x軸方向的應(yīng)變 同理可得到(d do)在y軸和z軸方向的應(yīng)變4-1 本構(gòu)關(guān)系概念共五十二頁Chapter 5.1 根據(jù)(gnj)實(shí)驗(yàn)可知，xy只引起 xy 坐標(biāo)面內(nèi)的剪應(yīng)變xy，而不引起 xz、yz，于是可得同理 4-1 本構(gòu)關(guān)系(gun x)概念共五十二頁Chapter 5.1于是，得到(d do)各向同性材料的應(yīng)變-應(yīng)力關(guān)系：4-1 本構(gòu)關(guān)系(gun x)概念共五十二頁Chap

4、ter 5.1楊氏模量，泊松比和剪切模量之間的關(guān)系(gun x)為 將彈性本構(gòu)關(guān)系寫成指標(biāo)(zhbio)形式為 4-1 本構(gòu)關(guān)系概念共五十二頁Chapter 5.14-1 本構(gòu)關(guān)系(gun x)概念共五十二頁Chapter 5.1如用應(yīng)變第一不變量 代替(dit)三個(gè)正應(yīng)變之和，用應(yīng)力第一不變量 表示三個(gè)正應(yīng)力之和，則其中 稱為體積模量。 4-1 本構(gòu)關(guān)系(gun x)概念共五十二頁Chapter 5.1令則4-1 本構(gòu)關(guān)系(gun x)概念共五十二頁Chapter 5.1彈性關(guān)系(gun x)的常規(guī)形式為 其中 G 和 稱為(chn wi)拉梅常數(shù)。4-1 本構(gòu)關(guān)系概念共五十二頁Chapte

5、r 5.1 將應(yīng)力(yngl)和應(yīng)變張量分解成球量和偏量，得 由于偏量和球量相互(xingh)獨(dú)立 ，所以有4-1 本構(gòu)關(guān)系概念共五十二頁Chapter 5.1 第一式說明彈性體的體積變化是由平均應(yīng)力0引起的，相應(yīng)(xingyng)的彈性常數(shù)K稱為體積模量。(體積變化) 第二式說明彈性體的形狀畸變 是由應(yīng)力偏量 引起的，相應(yīng)的彈性常數(shù)是剪切模量G的二倍。(形狀變化) 4-1 本構(gòu)關(guān)系(gun x)概念共五十二頁常用(chn yn)的三套彈性常數(shù)E、單拉測定Lam常數(shù)：G、K、G靜水壓、純剪（扭轉(zhuǎn)）測定Chapter 5.14-1 本構(gòu)關(guān)系(gun x)概念共五十二頁Chapter 5.1 對(duì)于

6、(duy)給定的工程材料，可以用單向拉伸試驗(yàn)測定E和 ；用薄壁筒扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)來測定G；用靜水壓試驗(yàn)來測定K。實(shí)驗(yàn)表明，在這三種加載情況下物體的變形總是和加載方向一致的（即外力總在物體變形上做正功），所以4-1 本構(gòu)關(guān)系(gun x)概念共五十二頁Chapter 5.1故要上式成立(chngl)必要求： 即4-1 本構(gòu)關(guān)系(gun x)概念共五十二頁Chapter 5.1 若設(shè)0.5，則體積模量K，稱為不可(bk)壓縮材料，相應(yīng)的剪切模量為 對(duì)實(shí)際工程材料的測定值，一般(ybn)都在 的范圍內(nèi)。 4-1 本構(gòu)關(guān)系概念共五十二頁第四章 本構(gòu)關(guān)系(gun x)4-1 本構(gòu)關(guān)系概念(ginin) 4-2

7、廣義胡克定律4-3 應(yīng)變能和應(yīng)變余能共五十二頁各向同性( xin tn xn)本構(gòu)關(guān)系Chapter 5.2對(duì)于各向同性材料，正應(yīng)力在對(duì)應(yīng)(duyng)方向上只引起正應(yīng)變，剪應(yīng)力在對(duì)應(yīng)(duyng)方向上只引起剪應(yīng)變，它們是互不耦合的。4-2 廣義胡克定律共五十二頁各向異性( xin y xn)本構(gòu)關(guān)系Chapter 5.2對(duì)于各向異性材料的一般情況，任何一個(gè)應(yīng)力分量都可能引起任何一個(gè)應(yīng)變分量的變化。廣義胡克定律的一般形式是： C 是四階剛度（彈性）張量。 D 是四階柔度張量。4-2 廣義(gungy)胡克定律共五十二頁Chapter 5.1 由于應(yīng)力(yngl)應(yīng)變都是二階張量，且上式對(duì)任意

8、的kl均成立，所以根據(jù)商判則Cijkl是一個(gè)四階張量，稱彈性張量，共有81個(gè)分量。 彈性張量的Voigt對(duì)稱性4-2 廣義(gungy)胡克定律共五十二頁Chapter 5.1下節(jié)中將(zhngjing)證明4-2 廣義(gungy)胡克定律共五十二頁Chapter 5.1獨(dú)立的彈性(tnxng)常數(shù)由81個(gè)降為36個(gè) 4-2 廣義(gungy)胡克定律共五十二頁Chapter 5.1 其中 即c 的下角標(biāo)1、2、3、4、5、6分別(fnbi)對(duì)應(yīng)于C 的雙指標(biāo)11、22、33、12、23、31。應(yīng)該指出，改寫后的cmn (m, n16) 并不是張量。 由于存在Voigt對(duì)稱性，所以對(duì)于最一般

9、的各向異性材料，獨(dú)立的彈性常數(shù)共有21個(gè)。4-2 廣義(gungy)胡克定律共五十二頁Chapter 5.1 (1) 一般(ybn)各向異性線彈性 ： 無彈性對(duì)稱面 21 例： 三斜晶體(jngt)4-2 廣義胡克定律共五十二頁Chapter 5.1 (2) 具有一個(gè)(y )彈性對(duì)稱面的各向異性線彈性體 ： 13 bae2ce1e3e3例：單斜晶體(jngt)(正長石和云母等) e1,e2平面為彈性對(duì)稱面4-2 廣義胡克定律共五十二頁Chapter 5.1(3) 正交各向異性( xin y xn)線彈性體 ： 9 例：正交晶體(各種增強(qiáng)纖維復(fù)合材料、木材等)互相正交的e1-e2 ， e2-e3

10、, e1-e3平面為彈性對(duì)稱面ce1e3e2e1ab4-2 廣義(gungy)胡克定律共五十二頁Chapter 5.1(4) 橫觀各向同性( xin tn xn)線彈性體 ： 5例：六方晶體(jngt)aaac4-2 廣義胡克定律共五十二頁Chapter 5.1(5) 各向同性( xin tn xn)線彈性體 ： 2金屬（隨機(jī)排列晶體）、短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料(f h ci lio)顆粒增強(qiáng)復(fù)合材料(f h ci lio)4-2 廣義胡克定律共五十二頁Chapter 5.12個(gè)金屬拉壓：2個(gè) 剪切：1個(gè)各向同性地殼、六方晶體拉壓：4個(gè) 剪切：2個(gè)5個(gè)橫觀各向同性正交晶體拉壓與剪切不耦合剪切為對(duì)角陣

11、9個(gè)正交各向異性單斜晶體13個(gè)有一個(gè)彈性對(duì)稱面三斜晶體66對(duì)稱21個(gè)一般情況例獨(dú)立的彈性常數(shù)小結(jié)(xioji)4-2 廣義(gungy)胡克定律共五十二頁第四章 本構(gòu)關(guān)系(gun x)4-1 本構(gòu)關(guān)系概念(ginin) 4-2 廣義胡克定律4-3 應(yīng)變能和應(yīng)變余能共五十二頁4-3 應(yīng)變(yngbin)能和應(yīng)變(yngbin)余能Chapter 5.2 應(yīng)變能 如果載荷施加得足夠慢，物體的動(dòng)能以及因彈性變形引起的熱效應(yīng)可以忽略不計(jì)，則外力所做的功將全部轉(zhuǎn)化為變形位能而儲(chǔ)存在彈性體內(nèi)。 彈性變形是一個(gè)沒有(mi yu)能量耗散的可逆過程，卸載后物體恢復(fù)到未變形前的初始狀態(tài)，變形位能將全部釋放出來。

12、 共五十二頁Chapter 5.24-3 應(yīng)變(yngbin)能和應(yīng)變(yngbin)余能共五十二頁Chapter 5.2 非線性的應(yīng)力(yngl)應(yīng)變關(guān)系4-3 應(yīng)變(yngbin)能和應(yīng)變(yngbin)余能共五十二頁Chapter 5.2 正應(yīng)力 11 僅在正應(yīng)變(yngbin) 11 上做功，其值為： 其他應(yīng)力分量 ij 也都只與之對(duì)應(yīng)的應(yīng)變分量 ij 上做功。把這些功疊加起來，并除以微元體積dV，得4-3 應(yīng)變(yngbin)能和應(yīng)變(yngbin)余能共五十二頁Chapter 5.2 引進(jìn)應(yīng)變(yngbin)能密度函數(shù)W(ij)，使 即則 其中(qzhng)，W(0)和W(ij)分

13、別為物體變形前和變形后的應(yīng)變能密度。一般取變形前的初始狀態(tài)為參考狀態(tài)，令W(0)0。 格林(Green,G.)公式4-3 應(yīng)變能和應(yīng)變余能共五十二頁Chapter 5.2應(yīng)變能密度等于單位體積的外力功。應(yīng)變能密度只與物體的初始狀態(tài)和最終變形狀態(tài)有關(guān)，而變形歷史無關(guān)，即是一個(gè)狀態(tài)函數(shù)。 應(yīng)變能是彈性材料本構(gòu)關(guān)系的另一種表達(dá)形式，當(dāng)W(ij)的具體(jt)形式給定后，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系也惟一確定。4-3 應(yīng)變(yngbin)能和應(yīng)變(yngbin)余能共五十二頁Chapter 5.2又廣義(gungy)格林公式 4-3 應(yīng)變(yngbin)能和應(yīng)變(yngbin)余能共五十二頁Chapter 5.2 線

14、彈性情況 在無應(yīng)變自然狀態(tài)(ij=0)附近把應(yīng)變能函數(shù)(hnsh)W(ij)對(duì)應(yīng)變分量展開成冪級(jí)數(shù)：其中4-3 應(yīng)變(yngbin)能和應(yīng)變(yngbin)余能共五十二頁Chapter 5.24-3 應(yīng)變(yngbin)能和應(yīng)變(yngbin)余能共五十二頁 它是應(yīng)變分量ij的二次齊次式，有： 由此證明彈性(tnxng)張量 C 對(duì)雙指標(biāo) ij 和 kl 具有對(duì)稱性。Chapter 5.24-3 應(yīng)變(yngbin)能和應(yīng)變(yngbin)余能共五十二頁Chapter 5.2 對(duì)于各向同性( xin tn xn)材料，有 對(duì)于(duy)非線性彈性材料，還應(yīng)考慮應(yīng)變能冪級(jí)數(shù)表達(dá)式中的高階項(xiàng)。4-

15、3 應(yīng)變能和應(yīng)變余能共五十二頁Chapter 5.2 應(yīng)變余能 仿照應(yīng)變能的定義式，可以定義應(yīng)變余能Wc 它具有(jyu)如下類似性質(zhì)： 4-3 應(yīng)變(yngbin)能和應(yīng)變(yngbin)余能共五十二頁Chapter 5.2對(duì)上式分部(fn b)積分得： 4-3 應(yīng)變(yngbin)能和應(yīng)變(yngbin)余能共五十二頁Chapter 5.2 面積。全功中只有一部分(圖中的曲邊三角形OAP)轉(zhuǎn)化為彈性應(yīng)變能W，剩余部分(曲邊三角形OBP)就是余能Wc。上式給出了應(yīng)變能和應(yīng)變余能對(duì)全功的互余關(guān)系。 右端第一項(xiàng)ijij稱為全功，它相應(yīng)于圖中矩形OAPB的4-3 應(yīng)變(yngbin)能和應(yīng)變(yn

16、gbin)余能共五十二頁Chapter 5.2對(duì)于線彈性材料(cilio)，應(yīng)變余能為 應(yīng)變(yngbin)余能的值和應(yīng)變(yngbin)能的值相等。 4-3 應(yīng)變能和應(yīng)變余能共五十二頁Chapter 5.2 注 應(yīng)變余能并不儲(chǔ)存在彈性體內(nèi)。例如：設(shè)在彈性懸臂梁的自由端突然加一塊砝碼。當(dāng)梁通過其靜態(tài)平衡位置時(shí)，砝碼所做的功為全功，其中只有一半轉(zhuǎn)化為儲(chǔ)存在梁內(nèi)的應(yīng)變能；另一半應(yīng)變余能則表現(xiàn)為動(dòng)能，它導(dǎo)致梁砝碼系統(tǒng)在其平衡狀態(tài)附近的自由振動(dòng)，并通過與空氣(kngq)的摩擦逐漸轉(zhuǎn)化為熱能耗散于空氣(kngq)之中。4-3 應(yīng)變(yngbin)能和應(yīng)變(yngbin)余能共五十二頁內(nèi)容摘要彈性力學(xué)。Chapter 5.1。式中 E 稱為彈性模量。在單向拉伸時(shí)，