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1、PAGE 1184線性代數(shù)模擬試題()一 填空題1. 設(shè)3階方陣,則提示:答案:2. 設(shè),且,則提示: 由條件得,由可逆,得即再變形從而可逆并且有下面答案答案:3. 設(shè),則提示:答案:4. 設(shè),線性方程組有解但不唯一,則提示:,或,但時(shí)無(wú)解,應(yīng)排除。答案:5. 設(shè)為階方陣(),則的基礎(chǔ)解系中向量的個(gè)數(shù)(即解空間的的維數(shù))是_提示:參見(jiàn)教材P11第27題結(jié)論:由此得知答案:二 選擇題1. 設(shè)是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系,則( )也是一個(gè)基礎(chǔ)解系。() ();()()提示:基礎(chǔ)解系含3個(gè)向量,故()()排除,()()中向量雖都是解但要找線性無(wú)關(guān)的,觀察知()相關(guān),因?yàn)榻M合系數(shù)全取則等于零,剩下的

2、只有()可選。實(shí)際上教材89例6已證明了此結(jié)論。在前面的模擬題中重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)了遇到一個(gè)向量組表示另一個(gè)向量組的問(wèn)題要轉(zhuǎn)化為矩陣的乘法關(guān)系,這樣可處理更復(fù)雜而不易觀察的問(wèn)題。比如對(duì)于()令,則是列滿秩,最右邊的矩陣不可逆,故,知線性相關(guān)答案:()2. 設(shè), ,且,則( )。()時(shí),必有 () 時(shí),必有()時(shí),必有 () 時(shí),必有提示: 再次強(qiáng)調(diào),遇到要想到這里,由假設(shè),如果,則,此時(shí)可以是1或2,故()()排除當(dāng)時(shí),此時(shí),故只有答案:()3. 設(shè)與都是階的方陣,則下面不對(duì)的是()() () 與有相同的特征值() 與相似 () 與的對(duì)角元素之和相等提示:由行列式的乘法定理知()是對(duì)的;由教材P138習(xí)

3、題10知,與有相同的非零特征值,又它們是同階方陣,故零特征值也相同,所以()是對(duì)的,從而()是對(duì)的,因?yàn)樘卣髦抵偷扔趯?duì)角元素之和(見(jiàn)教材P119),根據(jù)排除法只能選()。注意:如果,中有一個(gè)可逆,則與一定相似,這是教材P138習(xí)題13.。舉個(gè)例子吧:,顯然與不相似,因?yàn)槿绻瑒t,矛盾。答案:(). 與矩陣合同的矩陣是( )(A)(B)(C)(D)提示:看一看兩個(gè)矩陣正的特征值和負(fù)的特征值的個(gè)數(shù)(兩正一負(fù))答案:(). 設(shè)均為階對(duì)稱(chēng)矩陣,則使合同的充要條件是( )(A)的秩相同 (B)都合同于對(duì)角矩陣(C)有相同的特征值 (D)的二次型有相同的標(biāo)準(zhǔn)形提示:兩個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣合同等價(jià)地說(shuō)法是它們的二次

4、型等價(jià)(即可以用可逆變換互化)是否合同由它們的秩和正慣性指數(shù)(也是正的特征值的個(gè)數(shù))所決定。合同必秩相等但反之不然,故()錯(cuò)。任何對(duì)稱(chēng)矩陣都與對(duì)角矩陣合同(也就是任何二次型都可化為標(biāo)準(zhǔn)形),故()錯(cuò)。有相同的特征值一定合同,但合同不一定有相同的特征值,故()錯(cuò)。自己想想為什么()對(duì)。答案:()三 計(jì)算題1. 計(jì)算行列式(教材P27習(xí)題5(5)提示 方法一按第1列展開(kāi)得遞推關(guān)系式方法二從最后一列開(kāi)始每一列乘加到其前一列上其中再按第1列展開(kāi) 2. 解矩陣方程,其中(教材P55習(xí)題22)提示 由(教材P55習(xí)題18),得,方程兩邊右乘左乘,用教材P56習(xí)題29(2)求逆公式求逆,3. 問(wèn)為何值時(shí),方

5、程組有解,無(wú)解,有解時(shí)求通解。提示 由于該方程組系數(shù)矩陣不是方陣,只能用初等變換的方法進(jìn)行討論。當(dāng)時(shí),任意,方程組有無(wú)窮多解;當(dāng)且時(shí),方程組無(wú)解;當(dāng)且時(shí),方程組有無(wú)窮多解。求通解你自己來(lái)完成。4. 設(shè)向量組求此向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組,并把其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表示。提示 其余的你來(lái)完成5. 設(shè)二次型經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形并已知的對(duì)應(yīng)于特征值的一個(gè)特征向量為,求原二次型。提示 此題與模擬題(II)第3個(gè)計(jì)算題實(shí)質(zhì)是一樣的。,的特征值為且對(duì)應(yīng)的特征向量為,要求原二次型相當(dāng)于求對(duì)稱(chēng)矩陣解即即得基礎(chǔ)解系(這里直接求得正交的):就是屬于的特征向量,把三個(gè)特征向量單位,把它們排成矩陣(注意順序)即得正交矩陣: 則,由此得所以原二次型為四 證明題(1,2,3任選一個(gè),4必做)1. 設(shè)是維列向量,令,證明是對(duì)稱(chēng)正交矩陣。提示 直接用定義證明(這是教材P138習(xí)題3)2. 證明正交的向量組一定是線性無(wú)關(guān)的。提示 見(jiàn)教材P114定理13. 設(shè)和是矩陣的兩個(gè)不同的特征值,對(duì)應(yīng)的特征向量依次為和,證明(其中)不是的特征向量提示 仿教材P123例104. 證明二次型,在時(shí)最大(?。┲禐榈淖畲螅ㄐ。┨卣髦?。提示 這是教材P140習(xí)題29。設(shè)分別是的最

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