系統(tǒng)可靠性課件：第五章網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)可靠性

1、第五章 網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)可靠性 第一節(jié) 網(wǎng)絡(luò)的基本概念 第二節(jié) 網(wǎng)絡(luò)可靠性計算 第三節(jié) 單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng) 習(xí)題第一節(jié) 網(wǎng)絡(luò)的基本概念 網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)是比較復(fù)雜的系統(tǒng)。圖5-1所示的橋形系統(tǒng)就是一個網(wǎng)絡(luò)圖5-1 橋形網(wǎng)絡(luò) 有向弧 : 有方向的弧無向弧: 無方向的弧輸出節(jié)點 : 只有流出弧而沒有流入弧的節(jié)點輸入節(jié)點: 只有流入弧而沒有流出弧的節(jié)點最小通路: 若從連接兩節(jié)點間的一條路中去掉任一條弧后，就不再是連接此兩節(jié)點間的路對網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的理解：可以將弧理解為分系統(tǒng)或者設(shè)備，能量和物質(zhì)從起點經(jīng)過這些設(shè)備加工后到達終點。第二節(jié) 網(wǎng)絡(luò)可靠性計算 從可靠性的角度分析，往往可以將一個系統(tǒng)化為一個網(wǎng)絡(luò)來研究。 為了討論方便，假定

2、：（1）弧或系統(tǒng)只有正?；蚴煞N狀態(tài)，而節(jié)點不失效；（2）弧之間的失效是獨立的。一、計算網(wǎng)絡(luò)可靠性的兩種方法1最小通路法 由系統(tǒng)的最小通路出發(fā)，由最小通路的可靠度去求系統(tǒng)的可靠度，這就是最小通路法。 設(shè)網(wǎng)絡(luò)s所有的最小通路為 ， ， ，且用 （i=1, 2, ,m）也表示“第i條路中所有弧正?！笔录?，則網(wǎng)絡(luò)s正常事件為： （5-1） 從而,求網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)可靠度R的問題就可歸為兩步。 第一步：求出網(wǎng)絡(luò)s的最小通路 ， ， ； 第二步：計算概率 (5-2) 當(dāng)m=2時，則 當(dāng)m=3時，則 可以歸納出一般公式為： （5-3） 如圖5-2所示的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)S，各弧的可靠度分別為 ， ， ， ,試求此網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)

3、S的可靠度R。圖5-2 橋形網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)例5-1 解 此系統(tǒng)共有4個最小通路 則各最小通路的可靠度分別為： 且 從而得： 2最小割集法若在網(wǎng)絡(luò)上去掉某一部分弧后，發(fā)點與收點之間便無路可通，則稱這部分弧構(gòu)成一個割集 若在割集中隨意去掉一個弧就不再成為割集，則稱此割集為最小割集。 最小割集和最小路集的求法 割集是通過畫一條經(jīng)過系統(tǒng)各方框的線，顯示出可能導(dǎo)致系統(tǒng)失效的最小數(shù)量的失效方框。合集、或路集則是通過畫一條經(jīng)過各方框的線，當(dāng)這些方框全部都在工作時，才會使系統(tǒng)工作。 容易看出，發(fā)點與收點之間和每條最小路集都至少包含割集中的一個弧。圖5-3 網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)最小割集法的基本思想是；若最小割集失效，即割集中所有

4、弧全部失效，則網(wǎng)絡(luò)失效。因此，可由各個最小割集的不可靠度，求得網(wǎng)絡(luò)的不可靠度，從而求得網(wǎng)絡(luò)的可靠度。 設(shè)網(wǎng)絡(luò)S，其中 個最小割集為 ，當(dāng)任一割集 的所有弧全發(fā)生失效的事件也記為 。其概率記為 ；又設(shè)系統(tǒng)S失效事件記為B，其概率為 。則 從而求網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)可靠性R的問題就可歸納為以下3步。 （1）求出網(wǎng)絡(luò)S的所有最小割集 ； （2）計算概率 ； 當(dāng) =2時，則 當(dāng) =3時，則 一般公式為： （5-4） （3）網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)可靠度為： （5-5） 例5-2 如圖5-2所示的橋形網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)S，各弧的不可靠度分別為 =0.3， =0.1, =0.2， =0.05， =0.4，試求網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)S的可靠度。 解 此網(wǎng)絡(luò)系

5、統(tǒng)共有4個最小割集，即 ，各個最小割集的不可靠度分別為 并且 則系統(tǒng)不可靠度為： 系統(tǒng)可靠度為：第三節(jié) 單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)一、單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的定義和基本性質(zhì)例 5-3 考慮由兩臺發(fā)動機、兩臺設(shè)備和一個開關(guān)組成的并網(wǎng)供電系統(tǒng)，其工程結(jié)構(gòu)見圖5-4。若系統(tǒng)僅當(dāng)兩套設(shè)備都不能工作時才失效，則其可靠性框圖成橋式形狀，見圖5-5。圖5-4 工程結(jié)構(gòu)圖圖5-5 可靠性框圖 顯然，它不屬于我們定義過的任何一種系統(tǒng)，為此需引進新的系統(tǒng)概念。串聯(lián)、并聯(lián)、表決、混聯(lián)等系統(tǒng)以及如例5-1所表示的系統(tǒng)等，都有如下的共同點：部件或系統(tǒng)都只有正常或失效兩種可能的狀態(tài)；系統(tǒng)正常與否，完全由其結(jié)構(gòu)及部件的狀態(tài)所決定。 X1X4X3X

6、2X5假定系統(tǒng)由n個部件組成。若所有部件只有正常和失效兩狀態(tài)，令 我們用 表示部件狀態(tài)向量。假定系統(tǒng)亦只有正常和失效兩狀態(tài)，且系統(tǒng)正常與否完全由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和部件的狀態(tài)所決定這樣，對給定的部件狀態(tài)向量x，系統(tǒng)的狀態(tài)可表示為我們稱 為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)。對任意兩個n維狀態(tài)向量 表示 定義1 設(shè)P是系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)，若對任意的： 有 (5-6) 則稱 是單調(diào)結(jié)構(gòu)函數(shù)，或單調(diào)系統(tǒng)記作 顯然，單調(diào)結(jié)構(gòu)函數(shù)反映了部件狀態(tài)的改善不會使系統(tǒng)反而變壞，進一步，引入記號定義2 若對某個部件i，存在x使 （5-7） 則稱部件i與系統(tǒng)有關(guān)。上述性質(zhì)稱為部件與系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)性。反之，若某個部件i，對所有x，都有則部件i與系統(tǒng)無關(guān)

7、，即不論部件i是好還是壞（xi=1或xi=0），在任何情況下對系統(tǒng)都沒有影響。從可靠性的角度來看，無關(guān)部件對系統(tǒng)不起任何作用。結(jié)構(gòu)函數(shù)的意義 通過以上分析，結(jié)構(gòu)函數(shù)反映了系統(tǒng)和分系統(tǒng)或者零部件在結(jié)構(gòu)上的關(guān)系。 通過結(jié)構(gòu)函數(shù)還能反映分系統(tǒng)或者零部件在結(jié)構(gòu)上的重要程度。定義3 若系統(tǒng)具有單調(diào)結(jié)構(gòu)函數(shù) ，且系統(tǒng)中的所有部件都與系統(tǒng)有關(guān)，則稱系統(tǒng)為單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)，記作 。n個部件的串聯(lián)系統(tǒng)是單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)函數(shù) （5-8）并聯(lián)系統(tǒng)也是單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng),其結(jié)構(gòu)函數(shù)是 （5-9）在可靠性理論中常用下列特別的記號：對任意的 ，記 （5-10） 因此并聯(lián)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)可表示為 （5-11） 用式（5-8）和（5

8、-9）可表示串、并混聯(lián)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)。 表決系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)是 （5-12）定義4 設(shè) ，則稱 （5-13） 為它的對偶結(jié)構(gòu)函數(shù)，相應(yīng)于 的系統(tǒng)為 的對偶系統(tǒng)，這里 。由定義立即可證如下定理： 定理1 若 則 。定理2 。定理3若 ，則 （a） ，另外，對任意狀態(tài)向量x，有 （b）對任意狀態(tài)向量有定理4 設(shè) ，則對任意 和狀態(tài)向量 （5-14）二、 單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 假設(shè) 。對任意狀態(tài)向量 。記 ， (5-16)定義5 若 ，則稱x為 的一個路向量， 叫做 的一個路集。若 是路向量，且對任意 有 。則稱x為 的最小路向量， 為 的最小路集。 中元素的個數(shù)稱作最小路的階或長度。定義6 若 ，

9、則稱x為 的一個割向量， 叫做 的一個割集。若x是割向量，且對任意 有 ，則稱x為 的最小割向量， 為 的最小割集。 中元素的個數(shù)稱作最小割的階。三、單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的可靠度 設(shè)部件 的狀態(tài) 是二值隨機變量 ， （5-20） 即 為部件 正常的概率（可靠度），記 ， 于是系統(tǒng)正常的概率（可靠度）為 （5-21）我們的問題是：若 相對獨立，給定系統(tǒng)的結(jié)構(gòu) 和部件的可靠度向量 求系統(tǒng)的可靠度。顯然，由于n個部件相互獨立， （5-22） 其中 求狀態(tài)向量x的所有 個可能情形。因此，系統(tǒng)可靠度只是部件可靠度的一個函數(shù)。故式（5-22）可表示為 （5-23） 稱 為結(jié)構(gòu) 的可靠度函數(shù)。 串聯(lián)系統(tǒng)的可靠度函數(shù)

10、是 （5-24） 并聯(lián)系統(tǒng)為 （5-25） 系統(tǒng)，若 ， ，則有 （5-26）回顧-安全系統(tǒng)工程-三個重要系數(shù):1. 結(jié)構(gòu)重要系數(shù) 從事故樹結(jié)構(gòu)上反映 的重要程度. 2. 概率重要系數(shù) 反映 的變化對 的影響度.3. 臨界重要系數(shù) 從敏感度 和自身概率雙重角度反映 的重要程度. 四、結(jié)構(gòu)重要度分析 從事故樹結(jié)構(gòu)上分析各基本事件的重要程度，即在假定各基本事件的發(fā)生概率都相等的情況下，分析各基本事件的發(fā)生對頂上事件發(fā)生所產(chǎn)生的影響程度。 結(jié)構(gòu)重要度分析常采用兩種方法，一種是計算結(jié)構(gòu)重要系數(shù)，以系數(shù)大小排列各基本事件的重要順序；另一種是利用最小割集或最小徑集判斷系數(shù)的大小，排出順序。前者精確但計算繁

11、瑣；后者簡單但不夠精確。 判定結(jié)構(gòu)重要系數(shù)的原則1單事件最小割（徑）集中的基本事件結(jié)構(gòu)重要系數(shù)最大。2僅在同一最小割（徑）集中出現(xiàn)的所有基本事件結(jié)構(gòu)重要系數(shù)相等。3兩基本事件僅出現(xiàn)在基本事件個數(shù)相等的若干最小割集（徑）中：在不同最小割（徑）集中出現(xiàn)次數(shù)相等的基本事件，其結(jié)構(gòu)重要系數(shù)相等，出現(xiàn)次數(shù)少的結(jié)構(gòu)重要系數(shù)小，出現(xiàn)次數(shù)多的結(jié)構(gòu)重要系數(shù)大。4兩個基本事件僅出現(xiàn)在基本事件個數(shù)不等的若干最小割集（徑）中：若它們重復(fù)在各最小割（徑）集中出現(xiàn)的次數(shù)相等，則在少事件最小割（徑）集中出現(xiàn)的基本事件結(jié)構(gòu)重要系數(shù)大；在少事件最小割（徑）集中出現(xiàn)的次數(shù)少的與在多事件最小割（徑）集中出現(xiàn)次數(shù)多的基本事件比較，以

12、及其它錯綜復(fù)雜的比較情況，可采用下面的判別式。 考察基本事件l,假設(shè)除l外的其它底事件的狀態(tài)不變，僅僅改變l的狀態(tài)，則頂時間的變化可能狀態(tài)有三種若事件l發(fā)生，則頂事件發(fā)生；若事件l不發(fā)生，則頂事件不發(fā)生：無論事件l是否發(fā)生，頂事件都發(fā)生：無論事件l是否發(fā)生，頂事件都不發(fā)生：=1=0=1=1=0=0由此可見，底事件的發(fā)生對頂事件發(fā)生有影響的只有第一種情況。這時的狀態(tài)矢量稱為底事件的危險割集，統(tǒng)計其危險割矢量數(shù)底事件的結(jié)構(gòu)重要度定義為 ）(概率重要度分析 考慮各基本事件發(fā)生概率的變化，會給頂上事件的發(fā)生概率以多大影響。利用頂上事件發(fā)生概率是一個多重線性函數(shù)這一性質(zhì)，只要對自變量 qi求一階偏導(dǎo)，就

13、可得到該基本事件的概率重要系數(shù)，即頂上事件發(fā)生概率對該基本事件發(fā)生概率的變化率 。 計算出各基本事件的概率重要度系數(shù)后，就可以了解在諸多的基本事件中，降低哪個基本事件的發(fā)生頻率，就可以迅速有效地降低頂上事件的發(fā)生概率。 概率重要度分析的作用 若所有的基本事件的發(fā)生概率都等于1/2時，概率重要系數(shù)等于結(jié)構(gòu)重要系數(shù)，即可以用求概率重要系數(shù)的公式求取結(jié)構(gòu)重要系數(shù)。 概率重要度分析的作用 五、臨界重要度分析 一般減少概率大的基本事件的概率要比減少概率小的容易，而概率重要度系數(shù)并未反映這一事實。因此，需要用相對變化率的比值來衡量各基本事件的重要度，定義臨界重要度系數(shù)為基本事件發(fā)生概率的變化率與頂上事件發(fā)

14、生概率的變化率的比值=三個重要系數(shù):1. 結(jié)構(gòu)重要系數(shù) 從事故樹結(jié)構(gòu)上反映 的重要程度. 2. 概率重要系數(shù) 反映 的變化對 的影響度.3. 臨界重要系數(shù) 從敏感度 和自身概率雙重角度反映 的重要程度. 通過臨界重要度分析產(chǎn)生的檢查表更具實際意義.四、部件重要度 1.結(jié)構(gòu)重要度設(shè) 是系統(tǒng)中任一部件，若對某個（0j，x），有 （5-27）則稱 在（0j，x）情形下是一個關(guān)鍵部件。因為式（5-27）等價于 , 即此時部件 正常系統(tǒng)就正常，部件 失效系統(tǒng)就失效。我們也稱向量 為部件 的關(guān)鍵路向量，記 (5-28)其中對（0j，x）的所有可能求和。顯 然 是部件 關(guān)鍵路向量的總數(shù).因為狀態(tài)向量（0j，

15、x）總共有 種不同的結(jié)果，因此我們給出如下的定義。 定義6 稱 （5-29） 為部件 的結(jié)構(gòu)重要度 。 2.B-P重要度 在沒有部件可靠度信息時，除用部件結(jié)構(gòu)重要度，還可用下列的B-P重要度。 定義7 部件 的B-P重要度定義為 （5-30） 這里 為第 個分量為1，其余分量都為 的向量。 類似理解。 由于沒有部件可靠度信息，因此不妨認(rèn)為所有部件的可靠度都等于p，然后將p的取值從0到1“平均”掉，由此就得B-P重要度概念。 3.C重要度和P重要度 設(shè)單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的所有最小割集為 ，令Ci包含部件i的最小割集的最小階數(shù)， 為所有包含部件i的最小階最小割集的個數(shù) 。 定義8 部件i的C重要度 由

16、和 來確定。對于任意的 ，若 則稱部件i比部件j重要。 當(dāng) = ， = 時可認(rèn)為 有相同的重要度。若有必要，還可進一步在較高階的最小割集中作類似的比較。用定義8可對系統(tǒng)中每一個部件按C重要度來排序。 定義9 部件i的P重要度 由 和 來確定。對于任意 ，若 ，則稱部件i比部件j重要。 當(dāng) = ， = 時可認(rèn)為 有相同的重要度。若有必要，還可進一步在較高階的最小路集中作類似的比較。4.概率重要度和相對概率重要度 若n個部件相互獨立且可靠度為 系統(tǒng)地可靠度函數(shù)為 . 定義10 部件j的概率重要度定義為 （5-31） 定理6 若 ，則 （5-32） 其中對 的所有可能求和。因各部件相互獨立且可靠度均

17、為 ，故 （5-33）帶入式（5-32），并注意到式（5-28）和式（5-29）中的定義立即得到式（5-32）。定義11 部件j的相對概率重要度定義為 部件j的相對概率重要度表示，當(dāng)部件j的重要度微小的相對變化 而導(dǎo)致系統(tǒng)可靠度的相對變化率。 一般減少概率大的基本事件的概率要比減少概率小的容易，而概率重要度系數(shù)并未反映這一事實。因此，需要用相對變化率的比值來衡量各基本事件的重要度，定義臨界重要度系數(shù)為基本事件發(fā)生概率的變化率與頂上事件發(fā)生概率的變化率的比值 相對概率重要度從敏感度和自身概率雙重角度反映部件j的重要程度.習(xí)題 1.圖5-6所示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)及其對偶系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)。圖5-6 2.求圖5-7所示的可靠度函數(shù)h(p)，已知組