高等數(shù)學(xué)第五章定積分及其應(yīng)用課件

1、一 定積分的概念二 定積分的簡(jiǎn)單性質(zhì)三 定積分的計(jì)算四 定積分的應(yīng)用五 廣義積分和函數(shù) 第五章 定積分及其應(yīng)用定積分的演示背景來源面積的計(jì)算！矩形的面積定義為兩直角邊長(zhǎng)度的乘積？一般圖形的面積是什么我們可以用大大小小的矩形將圖形不斷填充，但閃爍部分永遠(yuǎn)不可能恰好為矩形，這些“邊角余料”無外乎是右圖所示的“典型圖形”（必要時(shí)可旋轉(zhuǎn)）“典型圖形”面積的計(jì)算問題就產(chǎn)生了定積分5.1.1兩個(gè)實(shí)際問題1. 曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線以及兩直線所圍成 ,求其面積 A .矩形面積梯形面積5.1.1 定積分的概念 解決步驟 :1) 分割.在區(qū)間 a , b 中任意插入 n 1 個(gè)分點(diǎn)用直線將曲邊梯形

2、分成 n 個(gè)小曲邊梯形;2) 近似.在第i 個(gè)窄曲邊梯形上任取作以為底 ,為高的小矩形,并以此小梯形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形面積得機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3) 求和.4) 取極限.令則曲邊梯形面積機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定積分的演示1、分割 將a，b分割為n個(gè)小區(qū)間2、取介點(diǎn) 在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)i3、局部以直代曲 每個(gè)小區(qū)間上的曲線y=f(x)用直線段y=f(i)代替4、作和：S=yx定積分的演示1、分割 將a，b分割為n個(gè)小區(qū)間2、取介點(diǎn) 在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)i3、局部以直代曲 每個(gè)小區(qū)間上的曲線y=f(x)用直線段y=f(i)代替4、作和：S=5、取極限 a

3、 byx2. 變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng),且求在運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程 s.解決步驟:1) 分割.將它分成在每個(gè)小段上物體經(jīng)2) 近似.得已知速度機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 n 個(gè)小段過的路程為3) 求和.4) 取極限 .上述兩個(gè)問題的共性: 解決問題的方法步驟相同 :“分割 , 近似 , 求和 , 取極限 ” 所求量極限結(jié)構(gòu)式相同: 特殊乘積和式的極限機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 5.1.2 定積分概念任一種分法任取總趨于確定的極限 I , 則稱此極限 I 為函數(shù)在區(qū)間上的定積分,即此時(shí)稱 f ( x ) 在 a , b 上可積 .記作機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回

4、 結(jié)束 積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān) ,而與積分變量用什么字母表示無關(guān) ,即機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定積分的幾何意義:曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負(fù)值機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理1.可積的充分條件:例1. 利用定義計(jì)算定積分解:將 0,1 n 等分, 分點(diǎn)為取機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 注 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 注 利用得兩端分別相加, 得即例2. 用定積分表示下列極限:解:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說明:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 根據(jù)定積分定義可得如下近似計(jì)算方法:將 a , b 分

5、成 n 等份: (左矩形公式)(右矩形公式)(梯形公式)為了提高精度, 還可建立更好的求積公式, 例如辛普森機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 公式, 復(fù)化求積公式等, 并有現(xiàn)成的數(shù)學(xué)軟件可供調(diào)用.性質(zhì)1 常數(shù)因子可提到積分號(hào)外性質(zhì)2 函數(shù)代數(shù)和的積分等于它們積分的代數(shù)和。5.2 定積分的簡(jiǎn)單性質(zhì)性質(zhì)3 若在區(qū)間 a , b 上 f (x)K，則性質(zhì)4 定積分的區(qū)間可加性 若 c 是 a , b 內(nèi)的任一點(diǎn)，則當(dāng) a , b , c 的相對(duì)位置任意時(shí), 例如則有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 性質(zhì)5 如果在區(qū)間 a , b 上 ，f (x) g (x)，則性質(zhì)6 設(shè)在區(qū)間 a , b 上

6、（a1 時(shí)收斂 ; p1 時(shí)發(fā)散 .因此, 當(dāng) p 1 時(shí), 反常積分收斂 , 其值為當(dāng) p1 時(shí), 反常積分發(fā)散 . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例2. 計(jì)算廣義積分解:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2、暇積分無界函數(shù)的積分引例:曲線所圍成的與 x 軸, y 軸和直線開口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定義2. 設(shè)而在點(diǎn) a 的右鄰域內(nèi)無界,存在 ,這時(shí)稱暇積分收斂 ;如果上述極限不存在,就稱暇積分發(fā)散 .類似地 , 若而在 b 的左鄰域內(nèi)無界,若極限數(shù) f (x) 在 （a , b 上的暇積分, 記作則定義機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回

7、結(jié)束 則稱此極限為函 而在點(diǎn) c 的無界點(diǎn)常稱鄰域內(nèi)無界 ,為瑕點(diǎn) .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 則定義下述解法是否正確: , 積分收斂例3. 計(jì)算暇積分解: 顯然瑕點(diǎn)為 a , 所以原式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例4. 討論暇積分的收斂性 . 解:所以暇積分發(fā)散 .備用題 試證, 并求其值 .解:令機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 5.6.2、 函數(shù)1. 定義2. 性質(zhì)(1) 遞推公式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證: (分部積分)注意到:(2)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 習(xí)題課一、與定積分概念有關(guān)的問題的解法機(jī)動(dòng) 目錄

8、上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、有關(guān)定積分計(jì)算和證明的方法定積分及其相關(guān)問題 第五章 一、與定積分概念有關(guān)的問題的解法1. 用定積分概念與性質(zhì)求極限2. 用定積分性質(zhì)估值3. 與變限積分有關(guān)的問題機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例1. 求解: 因?yàn)闀r(shí),所以利用夾逼準(zhǔn)則得因?yàn)橐蕾囉谇?) 思考例1下列做法對(duì)嗎 ?利用積分中值定理原式不對(duì) !機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說明: 2) 此類問題放大或縮小時(shí)一般應(yīng)保留含參數(shù)的項(xiàng) . 如, P265 題4練習(xí): 1.求極限解：原式2. 求極限提示：原式左邊= 右邊機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例3.估計(jì)下列積分值解: 因?yàn)榧礄C(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例4. 證明證: 令則令得故機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、有關(guān)定積分計(jì)算和證明的方法1. 熟練運(yùn)用定積分計(jì)算的常用公式和方法2. 注意特殊形式定積分的計(jì)算3. 利用各種積分技巧計(jì)算定積分4. 有關(guān)定積分命題的證明方法思考: 下列作法是否正確?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例9. 求解: 令則原式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例1 求解:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回