材料力學(xué) 第3章-03

1、軸向拉伸(l shn)與壓縮 第3章返回(fnhu)總目錄共五十二頁 拉伸與壓縮(y su)桿件的變形 共五十二頁 軸向拉壓桿的縱向(zn xin)變形和胡克定律 相對變形(bin xng)與正應(yīng)變 橫向變形與泊松比 拉伸與壓縮桿件的變形 共五十二頁 軸向拉壓桿的縱向變形(bin xng)和胡克定律 拉伸(l shn)與壓縮桿件的變形 共五十二頁 設(shè)一長度為l、橫截面面積為A的等截面(jimin)直桿，承受軸向載荷后，其長度變?yōu)閘十l，其中l(wèi)為桿的縱向變形。 實(shí)驗(yàn)(shyn)結(jié)果表明：在彈性范圍內(nèi)，桿的伸長量l與桿所承受的軸向載荷成正比。寫成關(guān)系式為 絕對變形 彈性模量 拉伸與壓縮桿件的變形

2、共五十二頁 這是描述彈性(tnxng)范圍內(nèi)桿件承受軸向載荷時(shí)力與變形的胡克定律。其中，F(xiàn)P為作用在桿件兩端的載荷；E為桿材料的彈性模量，它與正應(yīng)力具有相同的單位；EA稱為桿件的拉伸（或壓縮）剛度(tensile or compression rigidity );式中“”號表示伸長變形；“”號表示縮短變形。 絕對變形(bin xng) 彈性模量 拉伸與壓縮桿件的變形 共五十二頁 當(dāng)拉、壓桿有二個(gè)以上(yshng)的外力作用時(shí)，需要先畫出軸力圖，然后按上式分段計(jì)算各段的變形，各段變形的代數(shù)和即為桿的總伸長量(或縮短量)： 絕對(judu)變形 彈性模量 拉伸與壓縮桿件的變形 共五十二頁 相對變

3、形(bin xng)與正應(yīng)變 拉伸(l shn)與壓縮桿件的變形 共五十二頁 對于桿件沿長度方向均勻變形的情形，其相對伸長量 l/l 表示軸向變形的程度(chngd)，是這種情形下桿件的正應(yīng)變，用 x 表示。 相對變形(bin xng) 正應(yīng)變 拉伸與壓縮桿件的變形 共五十二頁 需要指出的是，上述關(guān)于正應(yīng)變的表達(dá)式只適用于桿件各處均勻(jnyn)變形的情形。 對于各處變形(bin xng)不均勻的情形，必須考察桿件上沿軸向的微段dx的變形，并以微段dx的相對變形作為桿件局部的變形程度。 拉伸與壓縮桿件的應(yīng)力與變形 共五十二頁這時(shí) 可見，無論變形(bin xng)均勻還是不均勻，正應(yīng)力與正應(yīng)變之

4、間的關(guān)系都是相同的。 拉伸與壓縮桿件的應(yīng)力(yngl)與變形 共五十二頁 橫向(hn xin)變形與泊松比 拉伸(l shn)與壓縮桿件的變形 共五十二頁橫向(hn xin)變形與泊松比 桿件承受軸向載荷時(shí)，除了軸向變形(bin xng)外，在垂直于桿件軸線方向也同時(shí)產(chǎn)生變形(bin xng)，稱為橫向變形(bin xng)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，若在彈性范圍內(nèi)加載，軸向應(yīng)變x與橫向應(yīng)變y之間存在下列關(guān)系： 為材料的另一個(gè)彈性常數(shù)，稱為泊松比(Poisson ratio)。泊松比為無量綱量。 拉伸與壓縮桿件的變形 共五十二頁例題(lt)1 變截面(jimin)直桿，ADE段為銅制,EBC段為鋼制；在A

5、、D、B、C等4處承受軸向載荷。已知：ADEB段桿的橫截面面積AAB10102 mm2，BC段桿的橫截面面積ABC5102 mm2；FP60 kN；銅的彈性模量Ec100 GPa，鋼的彈性模量Es210 GPa；各段桿的長度如圖中所示，單位為mm。 試求： 1直桿橫截面上的絕對值最大的正應(yīng)力； 2直桿的總變形量 拉伸與壓縮桿件的變形 共五十二頁 解：1 作軸力圖(lt) 應(yīng)用截面(jimin)法，可以確定AD、DEB、BC段桿橫截面上的軸力分別為： FNAD2FP120 kN； FNDEFNEBFP60 kN； FNBCFP60 kN。 拉伸與壓縮桿件的變形 共五十二頁 拉伸與壓縮(y su)

6、桿件的變形 2計(jì)算(j sun)直桿橫截面上絕對值最大的正應(yīng)力 橫截面上絕對值最大的正應(yīng)力將發(fā)生在軸力絕對值最大的橫截面，或者橫截面面積最小的橫截面上。本例中，AD段軸力最大；BC段橫截面面積最小。所以，最大正應(yīng)力將發(fā)生在這兩段桿的橫截面上： 共五十二頁 3計(jì)算(j sun)直桿的總變形量 直桿的總變形(bin xng)量等于各段桿變形(bin xng)量的代數(shù)和。 ： 上述計(jì)算中，DE和EB段桿的橫截面面積以及軸力雖然都相同，但由于材料不同，所以需要分段計(jì)算變形量。 拉伸與壓縮桿件的變形 共五十二頁 拉伸(l shn)和壓縮超靜定問題共五十二頁軸向拉壓桿的超靜定問題 溫度(wnd)應(yīng)力和裝配

7、應(yīng)力 拉伸(l shn)和壓縮超靜定問題共五十二頁 軸向拉壓桿的超靜定問題 拉伸(l shn)和壓縮超靜定問題共五十二頁 作用在桿件上的外力或桿件橫截面上的內(nèi)力，都能夠由靜力平衡方程直接(zhji)確定，這類問題稱為靜定問題。 工程實(shí)際中，為了提高結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度、剛度，或者為了滿足構(gòu)造及其它工程技術(shù)要求，常常在靜定結(jié)構(gòu)中再附加某些約束（包括(boku)添加桿件）。這時(shí)，由于未知力的個(gè)數(shù)多于所能提供的獨(dú)立的平衡方程的數(shù)目，因而僅僅依靠靜力平衡方程使無法確定全部未知力。這類問題稱為靜不定問題。 拉伸和壓縮超靜定問題共五十二頁 未知力個(gè)數(shù)與獨(dú)立的平衡方程數(shù)之差，稱為靜不定次數(shù)(csh)(degree o

8、f statically indeterminate problem)。在靜定結(jié)構(gòu)上附加的約束稱為多余約束(redundant constraint)，這種“多余”只是對保證結(jié)構(gòu)的平衡與幾何不變性而言的，對于提高結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度、剛度則是需要的。 關(guān)于靜定與靜不定問題的概念，本書在第3章中曾經(jīng)作過簡單(jindn)介紹。但是，由于那時(shí)所涉及是剛體模型，所以無法求解靜不定問題?，F(xiàn)在，研究了拉伸和壓縮桿件的受力與變形后，通過變形體模型，就可以求解靜不定問題。 拉伸和壓縮超靜定問題共五十二頁 多余約束(yush)使結(jié)構(gòu)由靜定變?yōu)殪o不定，問題由靜力平衡可解變?yōu)殪o力平衡不可解，這只是問題的一方面。問題的另一方

9、面是，多余約束(yush)對結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的變形起著一定的限制作用，而結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的變形又是與受力密切相關(guān)的，這就為求解靜不定問題提供了補(bǔ)充條件。 拉伸(l shn)和壓縮超靜定問題共五十二頁 因此，求解靜不定問題，除了根據(jù)靜力平衡條件列出平衡方程外，還必須在多余約束處尋找各構(gòu)件變形之間的關(guān)系，或者構(gòu)件各部分變形之間的關(guān)系，這種變形之間的關(guān)系稱為變形協(xié)調(diào)關(guān)系或變形協(xié)調(diào)條件 (compatibility relations of deformation)，進(jìn)而根據(jù)彈性范圍內(nèi)的力和變形之間關(guān)系（胡克定律），即物理?xiàng)l件，建立補(bǔ)充方程?？傊蠼忪o不定問題需要綜合考察平衡、變形和物理三方面，這是分析靜不定問

10、題的基本方法(fngf)?，F(xiàn)舉例說明求解靜不定問題的一般過程以及靜不定結(jié)構(gòu)的特性。 拉伸(l shn)和壓縮超靜定問題共五十二頁 兩端固定的等截面直桿，桿件沿軸線方向承受一對大小相等、方向相反的集中力，假設(shè)桿件的拉伸與約束剛度為EA，其中(qzhng)E為材料的彈性模量，A為桿件的橫截面面積。要求各段桿橫截面上的軸力，并畫出軸力圖。 ACDB 拉伸(l shn)和壓縮超靜定問題共五十二頁 首先，分析約束力，判斷靜不定次數(shù)。在軸向載荷的作用下，固定端A、B二處各有一個(gè)沿桿件軸線方向的約束力FA 和FB ，獨(dú)立(dl)的平衡方程只有一個(gè) 因此，靜不定次數(shù)n211次。所以除了平衡(pnghng)方程

11、外還需要一個(gè)補(bǔ)充方程。 ACDB 拉伸和壓縮超靜定問題共五十二頁 其次，為了建立補(bǔ)充(bchng)方程，需要先建立變形協(xié)調(diào)方程。桿件在載荷與約束力作用下，AC、CD、DB等3段都要發(fā)生軸向變形，但是，由于兩端都是固定端，桿件的總的軸向變形量必須等于零： 這就是(jish)變形協(xié)調(diào)條件。 ACDB 拉伸和壓縮超靜定問題共五十二頁根據(jù)(gnj)胡克定律，桿件各段的軸力與變形的關(guān)系： 此即物理(wl)方程。 應(yīng)用截面法,上式中的軸力分別為FNACFA (壓) ，F(xiàn)NCDFNFA (拉) ，F(xiàn)NDBFB(壓) ACDB 拉伸和壓縮超靜定問題共五十二頁最后將上述(shngsh)各式聯(lián)立，即可解出兩固定端

12、的約束力： FNACFA (壓) ，F(xiàn)NCDFNFA (拉) ，F(xiàn)NDBFB(壓) ACDB 拉伸(l shn)和壓縮超靜定問題共五十二頁 將上述各式聯(lián)立，即可解出兩固定(gdng)端的約束力： 據(jù)此即可求得直桿各段的軸力，畫出直桿的軸力圖(lt)。 ACDB 拉伸和壓縮超靜定問題共五十二頁 最后請大家從平衡或變形協(xié)調(diào)兩方面(fngmin)分析這些圖中的軸力圖為什么是不正確的？ ACDB 拉伸(l shn)和壓縮超靜定問題共五十二頁 溫度(wnd)應(yīng)力和裝配應(yīng)力 拉伸(l shn)和壓縮超靜定問題共五十二頁 在工程實(shí)際中，結(jié)構(gòu)或構(gòu)件經(jīng)常會感受到溫度的變化，如工作溫度的變化或季節(jié)溫度變化等。這些

13、溫度的變化將引起構(gòu)件的膨脹(png zhng)或收縮。在靜不定結(jié)構(gòu)中，各構(gòu)件由溫度變化而引起的變形往往受到約束，從而引起內(nèi)力。 拉伸(l shn)和壓縮超靜定問題共五十二頁AB桿，平衡(pnghng)方程 當(dāng)溫度(wnd)變化為T時(shí)桿件的溫度變形 在右端作用RB，桿件產(chǎn)生的變形 拉伸和壓縮超靜定問題共五十二頁變形(bin xng)協(xié)調(diào)方程 熱應(yīng)力 對靜不定結(jié)構(gòu)，構(gòu)件加工中尺寸上的微小誤差，也往往要引起內(nèi)力(nil)，由此產(chǎn)生的應(yīng)力稱為裝配應(yīng)力。 拉伸和壓縮超靜定問題共五十二頁 軸向拉伸與壓縮(y su)的變形能 共五十二頁受拉桿件拉力由零開始緩慢(hunmn)增加 至FP做功在應(yīng)力低于比例(b

14、l)極限的范圍內(nèi) 軸向拉伸與壓縮的變形能 共五十二頁根據(jù)功能原理(yunl)，這部分功全部轉(zhuǎn)換為桿的應(yīng)變能 單位(dnwi)體積的變形能 比能 軸向拉伸與壓縮的變形能 共五十二頁 關(guān)于(guny)應(yīng)力集中的概念 共五十二頁 幾何形狀(xngzhun)不連續(xù)處應(yīng)力局部增大的現(xiàn)象，稱為應(yīng)力集中（stress concentration）。 關(guān)于應(yīng)力集中(jzhng)的概念共五十二頁 應(yīng)力集中的程度用應(yīng)力集中因數(shù)描述。應(yīng)力集中處橫截面上的應(yīng)力最大值與不考慮應(yīng)力集中時(shí)的應(yīng)力值(稱為名義(mngy)應(yīng)力)之比，稱為應(yīng)力集中因數(shù)(factor of stress concentration)，用K表示：

15、關(guān)于應(yīng)力集中(jzhng)的概念共五十二頁 結(jié)論(jiln)與討論共五十二頁 結(jié)論(jiln)與討論 本章的主要(zhyo)結(jié)論 應(yīng)力和變形公式的應(yīng)用條件 共五十二頁 本章的主要(zhyo)結(jié)論 結(jié)論(jiln)與討論共五十二頁 通過拉、壓構(gòu)件的強(qiáng)度(qingd)分析與計(jì)算，可以看出，材料力學(xué)分析問題的思路和方法與剛體靜力學(xué)相比，除了受力分析與平衡方法的應(yīng)用方面有共同之處以外，還具有自身的特點(diǎn)： 一方面不僅要應(yīng)用平衡原理(yunl)和平衡方法，確定構(gòu)件所受的外力，而且要應(yīng)用截面法確定構(gòu)件內(nèi)力；不僅要根據(jù)平衡確定內(nèi)力，而且要根據(jù)變形的特點(diǎn)確定橫截面上的應(yīng)力分布，建立計(jì)算各點(diǎn)應(yīng)力的表達(dá)式。 另一方

16、面還要通過實(shí)驗(yàn)確定材料的力學(xué)性能，了解材料何時(shí)發(fā)生失效，進(jìn)而建立保證構(gòu)件安全、可靠工作的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則。 結(jié)論與討論共五十二頁 對于承受拉伸和壓縮的桿件，由于變形的均勻性， 因而比較容易推知桿件橫截面上的正應(yīng)力均勻分布。對于承受其他變形形式的桿件，同樣(tngyng)需要根據(jù)變形推知橫截面上的應(yīng)力分布，只不過分析過程要復(fù)雜一些。 此外，對于承受拉伸和壓縮桿件，直接通過實(shí)驗(yàn)就可以建立失效判據(jù)，進(jìn)而建立設(shè)計(jì)準(zhǔn)則。在以后的分析中，將會看到材料在一般受力與變形形式下的失效判據(jù)，是無法直接通過實(shí)驗(yàn)建立的。但是(dnsh)，軸向拉伸的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，仍然是建立材料在一般受力與變形形式下失效判據(jù)的重要依據(jù)。 結(jié)論與討論

17、共五十二頁 應(yīng)力和變形公式(gngsh)的應(yīng)用條件 結(jié)論(jiln)與討論共五十二頁 本章得到了承受拉伸或壓縮時(shí)桿件橫截面上的正應(yīng)力公式(gngsh)與變形公式(gngsh) 其中，正應(yīng)力公式只有桿件沿軸向方向均勻變形(bin xng)時(shí)，才是適用的。怎樣從受力或內(nèi)力判斷桿件沿軸向方向均勻變形(bin xng)是均勻的呢？ 結(jié)論與討論共五十二頁 哪些橫截面上的正應(yīng)力可以應(yīng)用拉伸(l shn)應(yīng)力公式計(jì)算？哪些橫截面則不能應(yīng)用。 結(jié)論(jiln)與討論共五十二頁對于變形(bin xng)公式 應(yīng)用(yngyng)時(shí)有兩點(diǎn)必須注意： 是因?yàn)閷?dǎo)出這一公式時(shí)應(yīng)用了胡克定律，因此，只有桿件在彈性范圍內(nèi)加載時(shí)，才能應(yīng)用上述公式計(jì)算桿件的變形； 是公式中的FNx為一段桿件內(nèi)的軸力，只有當(dāng)桿件僅在兩端受力時(shí)FNx才等于外力FP。 當(dāng)桿件上有多個(gè)外力作用，則必須先計(jì)算各段軸力，再分段計(jì)算變形然后按代數(shù)值相加。 結(jié)論與討論共五十二頁 讀者還可以思考：為什么變形公式只適用于彈性范圍，而正應(yīng)力(yngl)公式就沒有彈性范圍的限制呢？ 結(jié)論(jiln)與討論共五十二頁內(nèi)容摘要軸向拉伸與壓縮。實(shí)驗(yàn)結(jié)果