導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值(共35頁)

1、導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值適用學科高中數(shù)學適用年級高中三年級適用區(qū)域通用課時時長（分鐘）60知識點函數(shù)的單調(diào)性 函數(shù)的極值 函數(shù)的最值教學目標掌握函數(shù)的單調(diào)性求法，會求函數(shù)的函數(shù)的極值，會求解最值問題，教學重點會利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，會求解函數(shù)的最值。教學難點熟練掌握函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值的求法，以及分類討論思想的應用。教學(jio xu)過程一、課堂(ktng)導入問題(wnt)：判斷函數(shù)的單調(diào)(dndio)性有哪些方法？比如判斷的單調(diào)性，如何進行？因為二次函數(shù)的圖像我們非常熟悉,可以畫出其圖像，指出其單調(diào)區(qū)間，再想一下，有沒有需要注意的地方？如果遇到函數(shù)，如何判斷單調(diào)性呢？你能畫

2、出該函數(shù)的圖像嗎？定義是解決問題的最根本方法，但定義法較繁瑣,又不能畫出它的圖像，那該如何解決呢？二、復習預習函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型，研究函數(shù)時，了解函數(shù)的增與減、增減的快與慢以及函數(shù)的最大值或最小值等性質(zhì)是非常重要的通過研究函數(shù)的這些性質(zhì)，我們可以(ky)對數(shù)量的變化規(guī)律有一個基本的了解函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的導數(shù)一樣都是反映函數(shù)變化情況的，那么函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的導數(shù)是否有著某種內(nèi)在的聯(lián)系呢?三、知識(zh shi)講解考點(ko din)1 利用(lyng)導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性如果在某個區(qū)間內(nèi)，函數(shù)yf(x)的導數(shù)f(x)0，則在這個區(qū)間上，函數(shù)yf(x)是增加的；如果在某

3、個區(qū)間內(nèi)，函數(shù)yf(x)的導數(shù)f(x)0，exa0，exa，xln a. 因此(ync) 當a0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為R，當a0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是ln a，)(2)f(x)exa0在(2,3)上恒成立aex在x(2,3)上恒成立又2x3，e2exe3，只需ae3.當ae3時，f(x)exe3在x(2,3)上，f(x)0，函數(shù)(hnsh)f(x)eq f(1,2)x2(a1)xa(1ln x)(1)求曲線yf(x)在(2，f(2)處與直線yx1垂直的切線方程；(2)求函數(shù)f(x)的極值【規(guī)范(gufn)解答】(1)由已知，得x0，f(x)x(a1)eq f(a,x)， yf(x)在(

4、2，f(2)處切線(qixin)的斜率為1，所以(suy)f(2)1，即2(a1)eq f(a,2)1， 所以a0，此時f(2)220，故所求的切線方程為yx2.(2)f(x)x(a1)eq f(a,x)eq f(x2a1xa,x)eq f(x1xa,x).當0a0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；若x(a,1)，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增此時xa是f(x)的極大值點，x1是f(x)的極小值點，函數(shù)f(x)的極大值是f(a)eq f(1,2)a2aln a， 極小值是f(1)eq f(1,2).當a1時，f(x)eq f(x12,x)0，所以函數(shù)f(x)在定義域(0，)內(nèi)單調(diào)遞增，此時f(x)沒有

5、極值點，故無極值當a1時，若x(0,1)，f(x)0，函數(shù)(hnsh)f(x)單調(diào)(dndio)遞增；若x(1，a)，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增此時x1是f(x)的極大值點，xa是f(x)的極小值點，函數(shù)f(x)的極大值是f(1)eq f(1,2)，極小值是f(a)eq f(1,2)a2aln a.綜上，當0a1時，f(x)的極大值是eq f(1,2)，極小值是eq f(1,2)a2aln a.【總結(jié)(zngji)與反思】(1)導函數(shù)的零點并不一定就是函數(shù)的極值點所以(suy)在求出導函數(shù)的零點后一定要注意分析這個零點是不是函數(shù)的極值點(2)若函數(shù)(hnsh)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)

6、有極值，那么yf(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)函數(shù)沒有極值考點三 利用導數(shù)求函數(shù)的最值例3 已知函數(shù)f(x)ax21(a0)，g(x)x3bx.(1)若曲線yf(x)與曲線yg(x)在它們的交點(1，c)處具有公共切線，求a，b的值；(2)當a3，b9時，若函數(shù)f(x)g(x)在區(qū)間k,2上的最大值為28，求k的取值范圍【規(guī)范(gufn)解答】 (1)f(x)2ax，g(x)3x2b.因為(yn wi)曲線yf(x)與曲線(qxin)yg(x)在它們的交點(1，c)處具有公共切線，所以f(1)g(1)且f(1)g(1)，即a11b且2a3b，解得a3，b3.(2)記h(x

7、)f(x)g(x)，當a3，b9時，h(x)x33x29x1，所以h(x)3x26x9.令h(x)0，得x13，x21. h(x)，h(x)在(，2上的變化情況如下表所示：x(，3)3(3,1)1(1,2)2h(x)00h(x)2843由表可知(k zh)當k3時，函數(shù)(hnsh)h(x)在區(qū)間(q jin)k,2上的最大值為28；當3k1，則f(x)的單調(diào)減區(qū)間為_【答案(d n)】(2,2a)【規(guī)范(gufn)解答】f(x)x22(1a)x4a(x2)(x2a)，由a1知，當x0，故f(x)在區(qū)間(q jin)(，2)上是增函數(shù)；當2x2a時，f(x)2a時，f(x)0，故f(x)在區(qū)間(

8、q jin)(2a，)上是增函數(shù)綜上，當a1時，f(x)在區(qū)間(，2)和(2a，)上是增函數(shù)，在區(qū)間(2,2a)上是減函數(shù) (2)已知a0，函數(shù)f(x)x3ax在1，)上是單調(diào)遞增函數(shù)，則a的取值范圍是_【答案(d n)】(0,3【規(guī)范(gufn)解答】f(x)3x2a，f(x)在1，)上是單調(diào)(dndio)遞增函數(shù)，f(x)0，a3x2，a3.又a0，可知00，知ax22ax10在R上恒成立，即4a24a4a(a1)0，由此并結(jié)合a0，知0a1.所以a的取值范圍為a|00，由f(x)0得xeq f(1,e)，所以(suy)f(x)在區(qū)間(q jin)(0，eq f(1,e)上單調(diào)遞減(dji

9、n)，在區(qū)間(eq f(1,e)，)上單調(diào)遞增所以，xeq f(1,e)是函數(shù)f(x)的極小值點，極大值點不存在(2)g(x)xln xa(x1)，則g(x)ln x1a，由g(x)0，得xea1，所以，在區(qū)間(0，ea1)上，g(x)為遞減函數(shù)，在區(qū)間(ea1，)上，g(x)為遞增函數(shù)當ea11，即a1時，在區(qū)間1，e上，g(x)為遞增函數(shù)，所以g(x)的最小值為g(1)0.當1ea1e，即1a2時，g(x)的最小值為g(ea1)aea1.當ea1e，即a2時，在區(qū)間1，e上，g(x)為遞減函數(shù)，所以g(x)的最小值為g(e)aeae.綜上，當a1時，g(x)的最小值為0；當1a2時，g(x

10、)的最小值為aea1；當a2時，g(x)的最小值為aeae.【鞏固】1、已知函數(shù)(hnsh)f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的單調(diào)(dndio)區(qū)間；(2)求f(x)在區(qū)間(q jin)0,1上的最小值【規(guī)范解答】(1)由題意知f(x)(xk1)ex. 令f(x)0，得xk1.f(x)與f(x)的情況(qngkung)如下：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以(suy)，f(x)的單調(diào)(dndio)遞減區(qū)間是(，k1)；單調(diào)遞增區(qū)間是(k1，)(2)當k10，即k1時，f(x)在0,1上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(0)k；當0k11，即1k2時，f

11、(x)在0，k1)上單調(diào)遞減，在(k1,1上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(k1)ek1；當k11，即k2時，f(x)在0,1上單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(1)(1k)e.綜上，當k1時，f(x)在0,1上的最小值為f(0)k；當1k2時，f(x)在0,1上的最小值為f(k1)ek1；當k2時，f(x)在0,1上的最小值為f(1)(1k)e.2設(shè)函數(shù)(hnsh)f(x)eq f(1,2)x29ln x在區(qū)間(q jin)a1，a1上單調(diào)遞減(djin)，則實數(shù)a的取值范圍是()A1a2 Ba4Ca2 D00)，當xeq f(9,x)0時，有00且a13，

12、解得10時，因為(yn wi)二次函數(shù)yax2(a1)xa的圖像開口向上，而f(0)a0，所以需f(1)(a1)e0，即0a1；當a1時，對于任意x0,1，有f(x)(x21)ex0，且只在x1時f(x)0，f(x)符合條件；當a0時，對于任意x0,1，f(x)xex0，且只在x0時，f(x)0，f(x)符合條件；當a0，f(x)不符合條件故a的取值范圍為0a1.(2)因g(x)(2ax1a)ex，g(x)(2ax1a)ex，當a0時，g(x)ex0，g(x)在x0處取得(qd)最小值g(0)1，在x1處取得(qd)最大值g(1)e.當a1時，對于(duy)任意x0,1有g(shù)(x)2xex0，g

13、(x)在x0處取得最大值g(0)2，在x1處取得最小值g(1)0.當0a0. 若eq f(1a,2a)1，即0aeq f(1,3)時， g(x)在0,1上單調(diào)遞增，g(x)在x0處取得最小值g(0)1a，在x1處取得最大值g(1)(1a)e.當eq f(1a,2a)1，即eq f(1,3)a1時，g(x)在xeq f(1a,2a)處取得最大值g(eq f(1a,2a)2aeeq f(1a,2a)，在x0或x1處取得最小值，而g(0)1a，g(1)(1a)e，由g(0)g(1)1a(1a)e(1e)a1e0，得aeq f(e1,e1).則當eq f(1,3)aeq f(e1,e1)時， g(0)

14、g(1)0，g(x)在x0處取得(qd)最小值g(0)1a；當eq f(e1,e1)a0，g(x)在x1處取得(qd)最小值g(1)(1a)e.課程(kchng)小結(jié)1、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性如果在某個區(qū)間內(nèi)，函數(shù)yf(x)的導數(shù)f(x)0，則在這個區(qū)間上，函數(shù)yf(x)是增加的；如果在某個區(qū)間內(nèi)，函數(shù)yf(x)的導數(shù)f(x)0，則在這個區(qū)間上，函數(shù)yf(x)是減少的2、利用導數(shù)求函數(shù)的極值: (1)求出導數(shù)f(x)；(2)解方程f(x)0；(3)對于f(x)0的每一個解x0：若f(x)在x0兩側(cè)的符號“左正右負”，則x0為極大值點；若f(x)在x0兩側(cè)的符號“左負右正”，則x0為極小值點；若f(x)在x0兩側(cè)的符號相同，則x0不是極值點3、利用(lyng)導數(shù)求函數(shù)的最值(