2022屆北京市豐臺(tái)區(qū)高三一模數(shù)學(xué)試卷(PDF版)

1、 PAGE 10 / 10北京市豐臺(tái)區(qū) 2022 屆高三一模數(shù)學(xué)試卷數(shù)學(xué)第一部分（選擇題 共 40 分）一、選擇題共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)1已知集合 A x | 1 x 2， B x | 2 x 1 ，則 A U B （A）x | 1 x 1（B）x | 1 x 1（C）x | 2 x 2（D）x | 2 x 22已知命題 p ：x 1,x2 1 0 ，則 p 是2022.03（A） x 1,x2 1 0（C） x 1,x2 10（B） x 1,x2 10（D） x 1,x2 10已知復(fù)數(shù) z a bi (a,bR ) ，則“

2、 a 0 ”是“ z 為純虛數(shù)”的（A）充分而不必要條件（C）充分必要條件（B）必要而不充分條件（D）既不充分也不必要條件已知圓C : x2 2x y2 0 ，則圓心C 到直線 x 3 的距離等于（A） 4（B） 3（C） 2（D）1若數(shù)列an滿足an1 2an，且a41，則數(shù)列an的前4 項(xiàng)和等于157（A）15（B）14（C）8（D）8在 ABC 中， a 2,b 3,cos B ，則A 7463565或66在抗擊新冠疫情期間，有 3 男 3 女共 6 位志愿者報(bào)名參加某社區(qū)“人員流調(diào)”、“社區(qū)值守”這兩種崗位的志愿服務(wù)，其中 3 位志愿者參加“人員流調(diào)”，另外 3 位志愿者參加“社區(qū)值守

3、”.若該社區(qū)“社區(qū)值守”崗位至少需要 1 位男性志愿者.則這 6 位志愿者不同的分配方式共有（A）19 種（B）20 種（C）30 種（D）60 種x2y2已知 F 是雙曲線 C : 1 的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn) M 在雙曲線 C 的一條漸近線上， O 為坐標(biāo)原點(diǎn).若| OM | MF | ，48則 OMF 的面積為3223（A） 2（B）2x,x a,（C） 32（D） 6已知函數(shù) f (x) x3 3x ,x a無最小值，則 a 的取值范圍是（A） (,1（B） (,1)（C） 1,+)（D） (1,+)對(duì)任意 mN*，若遞增數(shù)列a中不大于 2m 的項(xiàng)的個(gè)數(shù)恰為 m ，且 a a L a 100 ，

4、則n 的最小值為n12n（A）8（B）9（C）10（D）11第二部分（非選擇題 共 110 分） 二、填空題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分2 x函數(shù) f (x) lg x 的定義域是12. 已知向量a (2,3) ， b ( x,6) .若a P b ，則 x =已知函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)?,1.能夠說明“若 f (x) 在區(qū)間0,1上的最大值為 f (1)，則 f (x) 是增函數(shù)”為假命題的一個(gè)函數(shù)是已知拋物線C : y2 4x 的焦點(diǎn)為 F ，則 F 的坐標(biāo)為；設(shè)點(diǎn) M 在拋物線C 上，若以線段 FM 為直徑的圓過點(diǎn)(0,2) ，則| FM |如圖，在棱長(zhǎng)為 2 的正方

5、體 ABCD A B C D 中， M ，N 分別是棱 A B ，A D的中點(diǎn)，點(diǎn) P 在線段CM 上1 111運(yùn)動(dòng)，給出下列四個(gè)結(jié)論：平面CMN 截正方體 ABCD A B C D 所得的截面圖形是五邊形；1 1111MC1PAAND11 111B直線 B D 到平面CMN的距離是 2 ；1112存在點(diǎn) P ，使得B PD =90 ；11D PDD面積的最小值是 55 .16BC其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是三、解答題共 6 小題，共 85 分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程 16.（本小題共 13 分）已知函數(shù) f (x) sin (x )( 0,| |條件，使 f (x) 的解析式唯一確

6、定.（）求 f (x) 的解析式；) ，再?gòu)臈l件、條件、條件這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為一組已知2（）設(shè)函數(shù) g (x) f (x) f (x ) ，求 g(x) 在區(qū)間0, 上的最大值64條件： f (x) 的最小正周期為 ； 條件： f (x) 為奇函數(shù)；條件： f (x) 圖象的一條對(duì)稱軸為 x .4注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分17.（本小題共 14 分）如圖，在直角梯形 ABCD 中， AB P CD ， DAB 90 ，1AD DC AB 以直線 AB 為軸，將直角梯形 ABCD 旋轉(zhuǎn)得到直角ADC2FE梯形 ABEF ，且 AF AD （）求證： DF P 平面 BC

7、E ；（）在線段DF 上是否存在點(diǎn) P ，使得直線 AE 和平面 BCP 所成B5DP角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.6DF18.（本小題共 14 分）為研究某地區(qū) 2021 屆大學(xué)畢業(yè)生畢業(yè)三個(gè)月后的畢業(yè)去向，某調(diào)查公司從該地區(qū)2021 屆大學(xué)畢業(yè)生中隨機(jī)選取了1000 人作為樣本進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下：畢業(yè)去向繼續(xù)學(xué)習(xí)深造單位就業(yè)自主創(chuàng)業(yè)自由職業(yè)慢就業(yè)人數(shù)2005601412898假設(shè)該地區(qū) 2021 屆大學(xué)畢業(yè)生選擇的畢業(yè)去向相互獨(dú)立（）若該地區(qū)一所高校 2021 屆大學(xué)畢業(yè)生的人數(shù)為 2500，試根據(jù)樣本估計(jì)該校 2021 屆大學(xué)畢業(yè)生選擇“單位就業(yè)”的人數(shù)；（）從該地

8、區(qū) 2021 屆大學(xué)畢業(yè)生中隨機(jī)選取 3 人，記隨機(jī)變量 X 為這 3 人中選擇“繼續(xù)學(xué)習(xí)深造”的人數(shù)以樣本的頻率估計(jì)概率，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 E(X ) ；（）該公司在半年后對(duì)樣本中的畢業(yè)生進(jìn)行再調(diào)查，發(fā)現(xiàn)僅有選擇“慢就業(yè)”的畢業(yè)生中的 a (0 a 98)人選擇了上表中其他的畢業(yè)去向，記此時(shí)表中五種畢業(yè)去向?qū)?yīng)人數(shù)的方差為s2 .當(dāng) a 為何值時(shí)， s2最小.（結(jié)論不要求證明）19.（本小題共 15 分）已知橢圓C : x2 a2y2 1（ a b 0 ）的左、右頂點(diǎn)分別為 A ， B ，且| AB | 4 ，離心率為3b22（）求橢圓 C 的方程；（）設(shè) P 是橢圓 C 上不同于

9、 A ， B 的一點(diǎn)，直線 PA ， PB 與直線 x 4 分別交于點(diǎn)M ，N .若| MN | 4 ， 求點(diǎn) P 橫坐標(biāo)的取值范圍20.（本小題共 15 分）a x已知函數(shù) f (x) x（）當(dāng)a 1 時(shí)，求曲線 y f (x) 的斜率為 1 的切線方程；（）若函數(shù) g (x) f (x) 2a 恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a 的取值范圍.321.（本小題共 14 分）已知集合 S 1,2,L ,n ( n 3 且 n N*）， A a1,a ,L ,a2m，且 A S .若對(duì)任意ai A ,a Aj（1 i j m ），當(dāng)a a n 時(shí)，存在a A (1 k m )，使得a a a ，則稱 A

10、是 S 的 m 元完美子集.ijkijk（）判斷下列集合是否是S 1,2,3,4,5的 3 元完美子集，并說明理由； A 1,2,4； A12 2,4,5.（）若 A a ,a12,a 是 S 1,2,L ,7 的 3 元完美子集，求a a312a 的最小值；3（）若 A a1,a ,L ,a2m是 S 1,2,L ,n ( n 3 且n N*）的m 元完美子集，m(n+1)求證： a a12L am，并指出等號(hào)成立的條件.2（考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）北京市豐臺(tái)區(qū) 2022 屆高三一模數(shù)學(xué)試卷參考答案202203一、選擇題共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分題號(hào)1

11、2345678910答案DBBCCAACDC二、填空題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分11 (0,212413 f (x) (x 1)2（答案不唯一）414 (1,0) ；515三、解答題共 6 小題，共 85 分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程16.（本小題共 13 分） 解： 選擇條件：（）由條件及已知得T 2所以 2 .由條件得 f ( x) f ( x) ， 所以 f (0) 0 ，即sin 0 . 解得 k (k Z ) .因?yàn)閨 | ，2所以 0 ，所以 f (x) sin 2x . ，經(jīng)檢驗(yàn) 0 符合題意6 分（）由題意得 g(x) sin 2x sin(2x )

12、 ，3化簡(jiǎn)得 g(x) 3sin(2 x ) .6因?yàn)? x ，4所以 2x 2 ，663所以當(dāng)2x ，即 x 時(shí)， g ( x) 的最大值為3.13 分626選擇條件：（）由條件及已知得T 2 ，所以 2 .由條件得2 k (k Z) ，42解得 k (k Z) .因?yàn)閨 | ，2所以 0 .所以 f (x) sin 2x6 分（）由題意得 g(x) sin 2x sin(2 x 化簡(jiǎn)得 g(x) 3sin(2 x ) .6) ，3因?yàn)? x ，4所以 2x 2 ，663所以當(dāng)2x ，即 x 時(shí)， g ( x) 的最大值為3.13 分62617.（本小題共 14 分）證明：（）由題意得EF

13、CD ， EF CD ， 所以四邊形 DCEF 為平行四邊形.所以 DF CE .因?yàn)?DF 平面 BCE ， CE 平面 BCE ，所以 DF 平面 BCE 4 分（）線段 DF 上存在點(diǎn) P ，使得直線 AE 和平面 BCP 所成角的正弦值為 5 ，理由如下：6由題意得 AD，AB，AF 兩兩垂直. 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系 A xyz .設(shè) AB 2 ， 則 A(0,0,0) ， B(0,2,0) ， C (1,1,0) ， D(1,0,0) ， E (0,1,1) ， F (0,0,1) 所 以 AE (0,1,1) ， BC (1,1,0) ， BD (1,2,0) ,DF (1,0

14、,1) .設(shè) (0 1) ，DPDF則 (1 ,2,) .BPBDDPBDDF設(shè)平面 BCP 的一個(gè)法向量為 n = ( x, y,z ) ，n BC 0, x y 0,所以n BP 0,即(1)x 2y z 0.令 x ，則 y ， z 1 .于是 n = (,1+ ) 設(shè)直線 AE 和平面 BCP 所成角為 ，由題意得sin| n AE |22 2 (1 )2| cosn,AE | n | | AE |1 2 | 5 ，6整理得 32 22 7 0 ，解得 1 或 7 .3因?yàn)?0 1 ，所以 1 ，即DP 1 .3DF3所以線段 DF 上存在點(diǎn) P ，當(dāng)18（本小題共 14 分）DP 1

15、 時(shí)，直線 AE 和平面 BCP 所成角的正弦值為 514 分DF36解：（）由題意得，該校 2021 屆大學(xué)畢業(yè)生選擇“單位就業(yè)”的人數(shù)為2500560 =1400.4 分1000（）由題意得，樣本中1000 名畢業(yè)生選擇“繼續(xù)學(xué)習(xí)深造”的頻率為 200 1 .10005用頻率估計(jì)概率，從該地區(qū) 2021 屆大學(xué)畢業(yè)生中隨機(jī)選取 1 名學(xué)生，估計(jì)該生選擇“繼續(xù)學(xué)習(xí)深造”的概率為 1 .5隨機(jī)變量 X 的所有可能取值為 0，1，2，3. C10 ( )0 (1 1)3 643 551251)(1 1)2 48 ，55125所以 P( X 0)，P( X 1) C1 (31112P( X 2)

16、C 2 ()2 (1) ，355125111P( X 3) C3 ( )3 (1)0 .3 55125所以 X 的分布列為X0123P6412548125121251125E(x) 0 64 148 2 12 31 3 11 分1251251251255（） a 42 .14 分19（本小題共 15 分）2a 4，3解：（）由題意得 c ,解得a2 4 ， b2 1. a2a2 b2 c2 ,x2所以橢圓 C 的方程是 y 2 15 分4（）設(shè) P(m,n) （ 2 m 2 ）， 由已知得 A(2,0) ， B(2,0) ，所以直線 AP ， BP 的方程分別為 y n(x 2) ， y n(

17、x 2) .m 2m 2令 x 4 ，得點(diǎn) M 的縱坐標(biāo)為 yM6n m 2，點(diǎn) N 的縱坐標(biāo)為 yN2n，m 24n(m 4)m2 46nm 22nm 2所以| MN |.m2因?yàn)辄c(diǎn) P 在橢圓C 上，所以 n2 1，4m 4n所以m2 4 4n2 ，即| MN |.m 4n因?yàn)閨MN | 4 ，所以 4 ，即(m 4)2 16n2 .所以(m 4)2 4(m2 4) .8整理得5m2 8m 0 ，解得0 m .5所以點(diǎn) P 橫坐標(biāo)的取值范圍是020.（本小題共 15 分）解：（）當(dāng)a 1 時(shí)， f (x) x8，15 分51 x(x 1)，2 3x2 1 x所以 f (x) .令 f (x

18、) 1 ，解得 x 0 .因?yàn)?f (0) 0 ，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0) .故切線方程為 y x5 分a x2a（）因?yàn)?g(x) x2a 3x2a x所以 g(x) .(x a) ，3令 g(x) 0 ，解得 x 2a .3當(dāng) a 0 時(shí)，由 x a ,得2a 3x a 0 ，所以 g(x) 0 ，則 g(x) 在定義域(,a 上是增函數(shù).故 g(x) 至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，舍去.當(dāng) a 0 時(shí)，隨 x 變化 g(x) 和 g(x) 的變化情況如下表：故 g(x) 在區(qū)間(2a2a, ) 上單調(diào)遞增，在區(qū)間(,a) 上單調(diào)遞減，33當(dāng) x 2a 時(shí)， g(x) 取得最大值 g( 2a ) 23aa 6a .339若0 a 3 時(shí)， g ( 2a ) 23a(a 3) 0 ，此時(shí) g(x) 至多有一個(gè)零點(diǎn)；若 a 3 時(shí)， g(392a ) 0 ，又 g(0) g(a) 2a 0 ,33由零點(diǎn)存在性定理可得g(x) 在區(qū)間(0 2a ) 和區(qū)間( 2a ,a) 上各有一個(gè)零點(diǎn)，, 33所以函數(shù) g (x) 恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，符合題意.綜上所述， a 的取值范圍是(3， ) 15 分21（本小題共 14 分）解：（）因?yàn)? 2 3 5 ，又3 A ,所以 A不是 S 的 3 元完美子集.1