2019版數(shù)學(xué)浙江省學(xué)業(yè)水平考試專(zhuān)題復(fù)習(xí)必修5-§3

1、知識(shí)點(diǎn)一等比數(shù)列的概念1等比數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母_q_表示2等比中項(xiàng)如果在a與b之間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)知識(shí)點(diǎn)二等比數(shù)列的通項(xiàng)1等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q，則它的通項(xiàng)ana1qn1.2通項(xiàng)公式的推廣：anamqnm(n，mN*)3若an為等比數(shù)列，且klmn (k，l，m，nN*)，則akalaman.特別地若kl2p，則akalaeq oal(2,p)(pN*)4若an，bn(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列

2、，則an(0)，eq blcrc(avs4alco1(f(1,an)，aeq oal(2,n)，anbn，eq blcrc(avs4alco1(f(an,bn)仍是等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)三等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式1等比數(shù)列an的公比為q(q0)，其前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)q1時(shí)，Snna1；當(dāng)q1時(shí)，Sneq f(a11qn,1q)eq f(a1anq,1q).2公比不為1的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比數(shù)列，其公比為_(kāi)qn_.知識(shí)點(diǎn)四數(shù)列的通項(xiàng)與求和1求數(shù)列通項(xiàng)的方法(1)公式法利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式(2)化歸法通過(guò)轉(zhuǎn)化化歸成等差數(shù)列或等比數(shù)列(3)利用Sn

3、與an的關(guān)系aneq blcrc (avs4alco1(S1，n1，,SnSn1，n2.)當(dāng)n1時(shí)，a1適合SnSn1可以不分段(4)累加法已知a1，若anan1f(n)，可以用累加法(5)累乘法已知a1，若eq f(an,an1)f(n)，可以用累乘法2求數(shù)列的前n項(xiàng)和的方法(1)公式法(2)倒序相加法(3)錯(cuò)位相減法(4)裂項(xiàng)相消法(5)分組求和法(6)并項(xiàng)求和法題型一等比數(shù)列例1(1)已知等比數(shù)列an滿足a1a23，a2a36，則a7等于()A64 B81 C128 D243(2)已知Sn是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a2a416，S37，則a8等于()A32 B64 C128

4、D256答案(1)A(2)C解析(1)qeq f(a2a3,a1a2)2，a1a1q3，得a11，a7127164.故選A.(2)an為各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，a2a416，a34.a3a1q24，S37，易知q1，S2eq f(a11q2,1q)3，eq f(4,q2)(1q2)3(1q)，即3q24q40，qeq f(2,3)或q2.an0，q2，則a11，a827128.感悟與點(diǎn)撥(1)解決等比數(shù)列的通項(xiàng)或前n項(xiàng)和的問(wèn)題，基本量法是一種重要的方法(2)在應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式時(shí)，要注意q1.跟蹤訓(xùn)練1(1)設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足a4a6eq f(1,4)，a7eq f(1,8)，則a1

5、的值為()A15 B14 C12 D8答案D(2)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a11，Sn14an2.設(shè)bnan12an，證明：數(shù)列bn是等比數(shù)列；求數(shù)列an的通項(xiàng)公式證明由a11及Sn14an2得a1a2S24a12.a25，b1a22a13.又當(dāng)n2時(shí)，eq blcrc (avs4alco1(Sn14an2，,Sn4an12，)，得an14an4an1，an12an2(an2an1)bnan12an，bn2bn1，故bn是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列解由知bnan12an32n1，eq f(an12an,2n1)eq f(3,4)，eq f(an1,2n1)eq f(an,2n)eq

6、f(3,4)，故eq blcrc(avs4alco1(f(an,2n)是首項(xiàng)為eq f(1,2)，公差為eq f(3,4)的等差數(shù)列eq f(an,2n)eq f(1,2)(n1)eq f(3,4)eq f(3n1,4)，得an(3n1)2n2.題型二求數(shù)列的通項(xiàng)公式例2(1)設(shè)數(shù)列an中，a12，an1ann1，則通項(xiàng)an_.(2)數(shù)列an中，a11，an13an2，則它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an_.(3)在數(shù)列an中，a11，前n項(xiàng)和Sneq f(n2,3)an，則an的通項(xiàng)公式為_(kāi)答案(1)eq f(nn1,2)1(2)23n11(3)aneq f(nn1,2)解析(1)由題意得，當(dāng)n2時(shí)，a

7、na1(a2a1)(a3a2)(anan1)2(23n)2eq f(n12n,2)eq f(nn1,2)1.又a12eq f(111,2)1，符合上式，aneq f(nn1,2)1.(2)方法一(構(gòu)造等比數(shù)列)：由an13an2，得an113(an1)，即eq f(an11,an1)3，故數(shù)列an1是首項(xiàng)為a11，公比為3的等比數(shù)列a11，an123n1，an23n11.數(shù)列an的一個(gè)通項(xiàng)公式為an23n11.方法二(迭代法)：an13an2，即an113(an1)32(an11)33(an21)3n(a11)23n(n1)，an23n11(n2)又a11也滿足上式，數(shù)列an的一個(gè)通項(xiàng)公式為a

8、n23n11.(3)由題意得，a11.當(dāng)n1時(shí)，anSnSn1eq f(n2,3)aneq f(n1,3)an1.eq f(an,an1)eq f(n1,n1).即eq f(an,an1)eq f(n1,n1)，eq f(a4,a3)eq f(5,3)，eq f(a3,a2)eq f(4,2)，eq f(a2,a1)3.以上n1個(gè)式子的等號(hào)兩端分別相乘，得到eq f(an,a1)eq f(nn1,2)(n2)，又a11，aneq f(nn1,2).當(dāng)n1時(shí)，a11滿足上式aneq f(nn1,2).感悟與點(diǎn)撥已知數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，通常用累加、累乘、構(gòu)造法求解當(dāng)出現(xiàn)anxan1y時(shí)，

9、構(gòu)造等比數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn)anan1f(n)時(shí)，用累加法求解；當(dāng)出現(xiàn)eq f(an,an1)f(n)時(shí)，用累乘法求解跟蹤訓(xùn)練2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn4an3(nN*)(1)證明：數(shù)列an是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列bn滿足bn1anbn(nN*)，且b12，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式(1)證明依題意知Sn4an3(nN*)，當(dāng)n1時(shí)，a1S14a13，解得a11.因?yàn)镾n4an3，則Sn14an13(n2)，所以當(dāng)n2時(shí)，anSnSn14an4an1，整理得aneq f(4,3)an1.又a110，所以an是首項(xiàng)為1，公比為eq f(4,3)的等比數(shù)列(2)解因?yàn)閍neq blc(rc)(avs

10、4alco1(f(4,3)n1，由bn1anbn(nN*)，得bn1bneq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)n1.可得bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)2eq f(1blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)n1,1f(4,3)3eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)n11(n2)，當(dāng)n1時(shí)也滿足上式，所以數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn3eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)n11(nN*)題型三數(shù)列求和例3已知數(shù)列an滿足a11，an12an1.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令bneq f(1,2)n(an1)，求數(shù)列bn的前

11、n項(xiàng)和Tn.解(1)an12an1，an112(an1)，又a11，數(shù)列an1是首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列，an12n，an2n1.(2)由(1)可知bneq f(1,2)n(an1)eq f(1,2)n2nn2n1，Tn12022n2n1，2Tn12222(n1)2n1n2n，錯(cuò)位相減得：Tn12222n1n2neq f(12n,12)n2n1(n1)2n，于是Tn1(n1)2n.感悟與點(diǎn)撥(1)錯(cuò)位相減法是求解由等差數(shù)列bn和等比數(shù)列cn對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積組成的數(shù)列an，即anbncn的前n項(xiàng)和的方法這種方法運(yùn)算量較大，要重視解題過(guò)程的訓(xùn)練(2)根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)確定求前n項(xiàng)和的方法除錯(cuò)位相減法外

12、，常用的還有裂項(xiàng)求和法、分組轉(zhuǎn)化法等跟蹤訓(xùn)練3(1)在正項(xiàng)等比數(shù)列an中，a1 008a1 009eq f(1,100)，則lg a1lg a2lg a2 016等于()A2 015 B2 016C2 015 D2 016答案D解析lg a1lg a2lg a2 016lg(a1a2a2 016)lg(a1 008a1 009)1 008lgeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,100)1 008lg(102)1 0082 016，故選D.(2)在數(shù)列an中，a11，當(dāng)n2時(shí)，其前n項(xiàng)和Sn滿足Seq oal(2,n)aneq blc(rc)(avs4alco1(Snf(1,2).

13、求Sn的表達(dá)式；設(shè)bneq f(Sn,2n1)，求bn的前n項(xiàng)和Tn.解Seq oal(2,n)aneq blc(rc)(avs4alco1(Snf(1,2)，anSnSn1(n2)，Seq oal(2,n)(SnSn1)eq blc(rc)(avs4alco1(Snf(1,2)(n2)，即2Sn1SnSn1Sn(n2)(*)由題意得Sn1Sn0，(*)式兩邊同除以Sn1Sn，得eq f(1,Sn)eq f(1,Sn1)2(n2)，數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(f(1,Sn)是首項(xiàng)為eq f(1,S1)eq f(1,a1)1，公差為2的等差數(shù)列eq f(1,Sn)12(n1)2n1

14、，Sneq f(1,2n1).bneq f(Sn,2n1)eq f(1,2n12n1)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2n1)f(1,2n1)，Tnb1b2bneq f(1,2)eq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(1f(1,3)blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)f(1,5)blc(rc)(avs4alco1(f(1,2n1)f(1,2n1)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2n1)eq f(n,2n1).一、選擇題1在等比數(shù)列an中，a1eq f(1,8)，q2，則a4與

15、a8的等比中項(xiàng)是()A4 B4 Ceq f(1,4) D.eq f(1,4)答案A解析由aneq f(1,8)2n12n4知a41，a824，其等比中項(xiàng)為4.2已知等比數(shù)列an的公比為正數(shù)，且a3a92aeq oal(2,5)，a22，則a1等于()A.eq f(1,2) B.eq f(r(2),2) C.eq r(2) D2答案C解析由等比數(shù)列的性質(zhì)得a3a9aeq oal(2,6)2aeq oal(2,5)，q0，a6eq r(2)a5，qeq f(a6,a5)eq r(2)，a1eq f(a2,q)eq r(2)，故選C.3在正項(xiàng)等比數(shù)列an中，已知a3a564，則a1a7的最小值為()

16、A64 B32 C16 D8答案C解析a1a72eq r(a1a7)2eq r(a3a5)2eq r(64)16.(當(dāng)且僅當(dāng)a1a7時(shí)，等號(hào)成立)4各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn2，S3n14，則S4n的值為()A80 B30C26 D16答案B解析由題意再由等比數(shù)列求和的性質(zhì)Sn，S2nSn，S3nS2n，成等比數(shù)列，得(S2nSn)2Sn(S3nS2n)，解得S2n6，同理可得S4n30，故選B.5已知等比數(shù)列an滿足an0，n1,2，且a5a2n522n(n3)，則當(dāng)n1時(shí)，log2a1log2a3log2a2n1等于()An(2n1) B(n1)2Cn2 D(n1)

17、2答案C解析由等比數(shù)列的性質(zhì)a1a2n1a2a2n2a5a2n5aeq oal(2,n)22n，又原式log2(a1a3a2n1)，設(shè)Ma1a3a2n1，則M2(a1a2n1)(a3a2n3)(22n)n22n2，所以M2n2，得所求式子為n2，故選C.6若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前4項(xiàng)的和為9，積為eq f(81,4)，則前4項(xiàng)倒數(shù)的和為()A.eq f(3,2) B2C1 D.eq f(9,4)答案B解析當(dāng)q1時(shí)不符合題意當(dāng)q1時(shí)，由題意得S4eq f(a11q4,1q)9，所以eq f(1q4,1q)eq f(9,a1).由a1a1qa1q2a1q3(aeq oal(2,1)q3)2eq

18、 f(81,4)得aeq oal(2,1)q3eq f(9,2).由等比數(shù)列的性質(zhì)知該數(shù)列前4項(xiàng)倒數(shù)的和為eq f(f(1,a1)blc(rc)(avs4alco1(1f(1,q4),1f(1,q)eq f(q41,a1q3q1)eq f(1,a1q3)eq f(9,a1)eq f(9,aoal(2,1)q3)2，故選B.7在等比數(shù)列an中，若a3a5a7a9a11243，則eq f(aoal(2,9),a11)的值為()A9 B1C2 D3答案D解析由a3a5a7a9a11243，可得(a3a11)(a5a9)a7aeq oal(5,7)24335，所以a73，則eq f(aoal(2,9)

19、,a11)a73.8(2017年11月學(xué)考)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sneq f(3,2)ann，nN*，則下列為等比數(shù)列的是()Aan1 Ban1CSn1 DSn1答案A解析由題意得S1a1eq f(3,2)a11，a12.Sneq f(3,2)ann，Sn1eq f(3,2)an1(n1)(n2)，aneq f(3,2)aneq f(3,2)an11，an3an12，an13(an11)又a1130，數(shù)列an1為等比數(shù)列9已知等比數(shù)列an中，各項(xiàng)都是正數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn，且a2，eq f(1,2)a3，S2成等差數(shù)列，則公比q等于()A1eq r(2) B1eq r(2)C32eq r(

20、2) D32eq r(2)答案A解析因?yàn)閍2，eq f(1,2)a3，S2成等差數(shù)列，所以a3a2S2，所以a1q2a1qa1a1q，q22q10，又q0，所以qeq f(22r(2),2)1eq r(2).故選A.10若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n2n1，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn為()A2nn21 B2n1n21C2n1n22 D2nn22答案C解析Sn(222232n)135(2n1)eq f(212n,12)eq f(n12n1,2)2n12n2.二、填空題11設(shè)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，若a11，a34，Sk63，則q_，k_.答案26解析由已知a11，a34，得q

21、2eq f(a3,a1)4，又an的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以q2.而Skeq f(12k,12)63，所以2k163，解得k6.12若數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an(1)n(2n1)，則a1a2a3a100_.答案100解析a1a2a3a100(a1a2)(a3a4)(a99a100)(13)(57)(197199)250100.13設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若27a3a60，則eq f(S6,S3)_.答案28解析由題意可知an為等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為a1，公比為q，所以a3a1q2，a6a1q5，所以27a1q2a1q5，所以q3，由Sneq f(a11qn,1q)，得S6eq f(a1136,13

22、)，S3eq f(a1133,13)，所以eq f(S6,S3)eq f(a1136,13)eq f(13,a1133)28.14在數(shù)列an中，已知a11，an2(an1an2a2a1)(n2，nN*)，則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是_答案aneq blcrc (avs4alco1(1，n1，,23n2，n2)解析由已知當(dāng)n2時(shí)，an2Sn1，當(dāng)n3時(shí)，an12Sn2，整理得eq f(an,an1)3(n3)，an23n2(n3)，又a22滿足上式，a11不滿足上式，aneq blcrc (avs4alco1(1，n1，,23n2，n2.)三、解答題15(2016年4月學(xué)考)如圖，將數(shù)列2n(nN*)依次從左到右，從上到下排成三角形數(shù)陣，其中第n行有n