高考數(shù)學(xué)知識方法大全(理科)

1、集合與簡易邏輯、不等式1.集合的有關(guān)概念(1)集合元素的特性：確定性、互異性、無序性.(2)集合與元素的關(guān)系：若a屬于集合A ,記作a A:若b不屬于集合A,記作b A.(3)集合的表示方式：列舉法、描述法、圖示法2.常用數(shù)集及記法數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集記法NN* 或 N+:ZQR3.集合間的基本關(guān)系關(guān)系文字語百記法集合間的 基本關(guān)系子集集合A中任意一個元素都是 集合B中的元素A B或 B A真子集集合A是集合B的子集，并且 B中至少有一個兀系/、屬于AA U B或 BY A相等集合A中每一個元素都是集 合B中的元素，集合8中一 個元素也都是集合 A中的元素，A B且 B A

2、 A B空集空集是任何集合的子集A空集是任何非空集合的真子集u B且B集合子集個數(shù)的判定含有n個元素的集合，其子集的個數(shù)為2n;真子集的個數(shù)為2n 1 (除集合 本身)；非空真子集的個數(shù)為2n 2 (除空集和集合本身，此時n 1)(1)注意空集的特殊性：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集(2)任何集合的本身是該集合的子集，在列舉時千萬不要忘記 .4.集合的三種基本運算符號表小圖形表小,不T語百集合的并集A BrLkJA B x|x A,或 x B集合的交集A B(I5A B x|x A,且 x B集合的補集若全集為U , 則集合A的補集為eu Af u,eu Ax|x U,且 x A

3、.集合的三種基本運算的常見性質(zhì)(1)A A A, AA 期A, A A BAB,A A A, A A.uA U,期(uA) A.A (4B)A ABB 癡 uB.命題的概念用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題. 其中判斷為 真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題.獷命JS互逆逆命股若則一中逆】* 一守*則-p.四種命題及相互關(guān)系.四種命題的真假關(guān)系(1)兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；(2)兩個命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關(guān)系 判斷命題真假的思路方法(1)判斷一個命題的真假時，首先要弄清命題的結(jié)構(gòu)，即它的條件和結(jié)論分別是什么，把它寫成“若p,則

4、q”的形式，然后聯(lián)系其他相關(guān)的知識，經(jīng)過邏輯 推理或列舉反例來判定.一個命題要么真，要么假，二者必居其一.當(dāng)一個命題改寫成“若 p,則 q”的形式之后，判斷這個命題真假的方法：若由“ p”經(jīng)過邏輯推理，得出“ q”，則可判定“若p,則q”是真命題；判定“若p,則q”是假命題，只需舉一反例即可.寫一個命題的其他三種命題時的注意事項(1)對于不是“若p,則q”形式的命題，需先改寫為“若 p,則q”形式.(2)若命題有大前提，需保留大前提.判斷四種命題真假的方法(1)利用簡單命題判斷真假的方法逐一判斷.(2)利用四種命題間的等價關(guān)系：當(dāng)一個命題不易直接判斷真假時，可轉(zhuǎn)化為 判斷其等價命題的真假.充分

5、條件與必要條件的概念若p q,則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件pq且 q? pp是q的必要/、充分條件q p且p? qp是q的充要條件p qp是q的既/、充分也不必要條件p靠q且qp10.充分條件與必要條件和集合的關(guān)系p成立的對象構(gòu)成的集合為A, q成立的對象構(gòu)成的集合為Bp是q的充分條件A Bp是q的必要條件B Ap是q的充分不必要條件A u Bp是q的必要/、充分條件B u Ap是q的充要條件A B充分、必要條件的三種判斷方法(1)定義法：根據(jù)p q,qp進行判斷.(2)集合法：根據(jù)p,q成立對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進行判斷.(3)等價轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個命題與其逆否

6、命題的等價性，把要判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進行判斷.這個方法特別適合以否定形式給出的問題，如“xy 1 ”是“x 1或y 1”的何種條件，即可轉(zhuǎn)化為判斷x 1且y 1是xy 1”的何種條 件.11.命題p q p qp的真假判定pqp qp qp直 J、真真直假真假假直假假真假真真一假假假假真簡記為“p q兩真才真，一假則假；p q真則真，兩假才假；p與p真假相反”.判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假的關(guān)鍵及步驟(1)判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假的關(guān)鍵是正確理解“或”“且”“非”的含義，應(yīng)根據(jù)命題中所出現(xiàn)的邏輯聯(lián)結(jié)詞進行命題結(jié)構(gòu)的分析與真假的判斷.(2)判斷命題真假的步驟根據(jù)復(fù)合命題真假求參數(shù)的步驟

7、(1)根據(jù)題目條件，推出每一個命題的真假(有時不一定只有一種情況);(2)求出每個命題是真命題時參數(shù)的取值范圍；(3)根據(jù)給出的復(fù)合命題的真假推出每個命題的真假情況，從而求出參數(shù)的取值范圍12.全稱量詞和存在量詞量詞名稱常見量詞符號表小全稱量詞所有、一切、任意、全部、 每一個、任給等?存在量詞存在一個、至少有一個、 有一個、某個、有些、某些等?13.全稱命題和特稱命題名稱形式全稱命題特稱命題結(jié)構(gòu)對M中的任意一個x , 有 p x成立存在M中的一個xo ,使p xo成立簡記x M , p xxo M , p xo否定xo M , p x0 x M, p x對全(特)稱命題進行否定的方法全(特)稱

8、命題的否定與命題的否定有一定的區(qū)別，否定全稱命題和特稱命題時：(1)改寫量詞，全稱量詞改寫為存在量詞，存在量詞改寫為全稱量詞；(2)否定結(jié)論，而一般命題的否定只需直接否定結(jié)論即可.提醒對于省略量詞的命題，應(yīng)先挖掘命題中的隱含的量詞，改寫成含量詞 的完整形式，再寫出命題的否定.全(特)稱命題真假的判斷方法(1)全稱命題真假的判斷方法要判斷一個全稱命題是真命題，必須對限定的集合M中的每一個元素x,證明p x成立.要判斷一個全稱命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個特殊值 使P(xo)不成立即可.(2)特稱命題真假的判斷方法要判斷一個特稱命題是真命題，只要在限定的集合M中，找到一個x %,使p(xo

9、)成立即可，否則這一特稱命題就是假命題.14.比較兩個實數(shù)大小的方法 TOC o 1-5 h z rab0ab(a,bR)(1)作差法4 ab0ab(a,bR)Lab0ab(a,bR)a- 1 a b(a R,b 0) b一，一、， a作冏法d1ab(aR, b0)b-1ab(aR,b0)b15.不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒對稱性a b b a?傳遞性a b,b c a c?可加性a b a c b c?口乘性a b ac bcc 0注意c的符號a b ac bcc 0同向可加性a ba c b d c d?同向同止口乘性a b 0ac bd 0c d 0?口乘力性a b 0 an b

10、n(n N,n 1)a, b同為正數(shù)RJ開方性a b 0n/an/b(n N ,n 2)16.不等式的一些常用性質(zhì)倒數(shù)的性質(zhì)G11 a b, ab 0 a ba 0 b IL a ba bab 0,0 c dc d1110 a x bfc a x b 0bxa有關(guān)分數(shù)的性質(zhì)若ab aa bb 0,m 0,則:b m b；- a m aa m a b m ； b*b a ma-(bb m0).0)L判斯裳與。的大小(3)比較兩個數(shù)(式)大小的兩種方法判別式 b2 4acA 0A = 0A1/+嘴(，一求一交”一若平面區(qū)域是由不等式組決定的，則在確定了各個 不等式所表示的區(qū)域后，再求這些區(qū)域的公共

11、部分解決求平面區(qū)域面積問題的方法步驟畫出不等式組表示的平面區(qū)域；判斷平面區(qū)域的形狀，并求得直線的交點坐標、圖形的邊長、相關(guān)線段的長(三 角形的高、四邊形的高)等，若為規(guī)則圖形則利用圖形的面積公式求解； 若為不規(guī) 則圖形則利用割補法求解.21.線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義約束條件由變量x,y組成的不等式(組)線性約束條件由x,y的一次不等式(或方程)組成的不等式(組)目標函數(shù)關(guān)于x,y的函數(shù)解析式，如z 2x 3y等線性目標函數(shù)關(guān)于x, y的一次函數(shù)解析式可行解滿足線性約束條件的解(x,y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標

12、函數(shù)的最大值或最小值問題22.簡單線性規(guī)劃問題的圖解法在確定線性約束條件和線性目標函數(shù)的前提下，用圖解法求最優(yōu)解的步驟概括 為“畫、移、求、答”.即:畫金津說漫“孤棕策可菌由苛符還商近夔工干涼二:述目標函次為工=+如、4，占* !4 Bli B a X J. a h h fl B A J B 3 A 射1*4114！1，11 Nill，,*兇一律防fi裁cur + fry 0*礴定機t = * k* *iiia ab ar HYPERLINK l bookmark0 o Current Document 洛一朱福薩巢；蓄新函容家求解線性目標函數(shù)最值的常用方法線性目標函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的

13、頂點或邊界處取得，所以對于一般的線性規(guī)劃問題，若可行域是一個封閉的圖形，我們可以直接解出可行域的頂點， 然后將坐標代入目標函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值，從而確定目標函數(shù)的最值；若可行域不是封閉圖形還是需要借助截距的幾何意義來求最值.非線性目標函數(shù)最值問題的常見類型及求法(1)距離平方型：目標函數(shù)為z (x a)2 (y b)2時，可轉(zhuǎn)化為可行域內(nèi)的點 (x,y)與點(a,b)之間的距離的平方求解.(2)斜率型：對形如z來求最值，即先變形為zayb(ac 0)型的目標函數(shù)，可利用斜率的幾何意義 cx d/ by ()a.9的形式，將問題化為求可行域內(nèi)的點(x,y)c / d、x () c與點(d, b)連

14、線的余率的旦倍的取值范圍、最值等.(3)點到直線距離型：對形如 z |Ax By c|型的目標函數(shù)，可先變形為z JA2 b2.|AXl By S|的形式,將問題化為求可行域內(nèi)的點(x, y)到直線,A2 B2Ax By C 0的距離的JA2 B2倍的最值.求解線性規(guī)劃中含參問題的兩種基本方法(1)把參數(shù)當(dāng)成常數(shù)用，根據(jù)線性規(guī)劃問題的求解方法求出最優(yōu)解，代入目標函數(shù)確定最值，通過構(gòu)造方程或不等式求解參數(shù)的值或范圍；(2)先分離含有參數(shù)的式子，通過觀察的方法確定含參的式子所滿足的條件， 確定最優(yōu)解的位置，從而求出參數(shù).求解線性規(guī)劃應(yīng)用題的三個注意點(1)明確問題中的所有約束條件，并根據(jù)題意判斷約

15、束條件是否能夠取到等 號.(2)注意結(jié)合實際問題的實際意義，判斷所設(shè)未知數(shù)x,y的取值范圍，特別注意分析x,y是否為整數(shù)、是否為非負數(shù)等.(3)正確地寫出目標函數(shù)，一般地，目標函數(shù)是等式的形式.基本不等式廊b2基本不等式成立的條件：a 0,b 0(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a b時取等號.幾個重要的不等式22_(1)a b 2ab,a,b R;-a 2, ab 0;a ba b .當(dāng)且僅當(dāng)a b時等號成立.ab ()2,a,b R;22,2,a b a b、2；(-),a,b R2225.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a 0,b 0 ,則a,b的算術(shù)平均數(shù)為5,幾何平均數(shù)為Tab ,基本不等2式可

16、敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).26.利用基本不等式求最值問題已知x 0,y 0 ,則：如果積xy是定值p ,那么當(dāng)且僅當(dāng)x y時，x y有最小值是2行.(簡記：積 定和最小)2如果和x y是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x y時，xy有最大值是 2 .(簡記：和4定積最大)通過拼湊法利用基本不等式求最值的策略拼湊法的實質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用拼湊法 求解最值應(yīng)注意以下幾個方面的問題：(1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整， 做到小價變形；(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標；(3)拆項、添項應(yīng)注意檢驗利用基本不等式的

17、前提.常數(shù)代換法求最值的方法步驟常數(shù)代換法適用于求解條件最值問題.應(yīng)用此種方法求解最值的基本步驟為：(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1;(3)把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除，進而構(gòu)造和或積的形式；(4)利用基本不等式求解最值.通過消元法利用基本不等式求最值的方法消元法，即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函 數(shù)的最值求解.有時會出現(xiàn)多元的問題，解決方法是消元后利用基本不等式求解.利用基本不等式求解實際應(yīng)用題的三個注意點(1)設(shè)變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù).(2)根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需

18、利用基本不等式求得函數(shù)的 最值.(3)在求函數(shù)的最值時，一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值 范圍)內(nèi)求解.:、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)1.函數(shù)與映射的概念函數(shù)映射兩集合A, B設(shè)A,B是兩個非空的數(shù)集設(shè)A,B是兩個非空的集合對應(yīng)關(guān)系如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)如果按某一個確定的對應(yīng)一f : A B系f,使對于集合 A中的任意 一個元素x,在集合B中都有 唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)關(guān)系f ,使對于集合A中 的任意一個數(shù)x,在集合B 中都有唯一確定的元素 y 與之對應(yīng)名稱稱f:AB為從集合 A到集合B的一個函數(shù)稱對應(yīng)f:A B為從集合A到集合B的一個映射記法y f (x), x a對應(yīng) f : A B

19、2.函數(shù)的有關(guān)概念(1)函數(shù)的定義域、值域：在函數(shù)y f(x),x A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)|x A叫做函數(shù)的值域.顯然，值域是集合 B的子集.(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系.(3)相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù).3.常見基本初等函數(shù)定義域的基本要求分式函數(shù)中分母不等于零.偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于 0.一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為 R.y x0的定義域是x|x 0 .(5)y ax(a 0且a 1),y sin x, y cosx

20、的定義域均為 R.(6)y log a x(a 0且 a 1)的定義域為(0, +00).y tanx的定義域為 x| x k ,k Z .函數(shù)的定義域問題注意不要對解析式進行化簡變形，以免定義域發(fā)生變化.(2)當(dāng)一個函數(shù)由有限個基本初等函數(shù)的和、差、積、商的形式構(gòu)成時，定義域一 般是各個基本初等函數(shù)定義域的交集.定義域是一個集合，要用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示，不能用“或”連接， 而應(yīng)該用并集符號連接.對于抽象函數(shù)定義域的求解(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域為a,b ,則復(fù)合函數(shù)f(g(x)的定義域由不等式 a g(x) b 求出;(2)若已知函數(shù)f(g(x)的定義域為a,b，則f x的定

21、義域為g(x)在x a, b上 的值域.函數(shù)f (g(x)的定義域指的是x的取值范圍，而不是g(x)的取值范圍.求函數(shù)解析式的四種方法由已知條件二一工)*可將產(chǎn)仃)&”成美于EG)的表達式,然后以立群代 便將/(力的解析式操元法G法-雇3復(fù)題法四|解方程組法廠對于形如的函裁解折式，令 尸/工)*從中求出#二伊(工)*懦后代入農(nóng)達式 求山/，/將，換成心得到/&)的解析式, 要注意新元的假出萩國 先議出含盯特定系數(shù)的解析式，再利用軻等式 的性感我將己知條件代入.熊立方程(Ml 通過解方程(配)求凰相應(yīng)的待定系數(shù) 己如美與 J)或/(、)的聶達式， 可根據(jù)已地條件再杵通出兄外一個等式殂成 方職蛆，

22、通過解方程求出J(工).分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)關(guān)系， 這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù).分段函數(shù)求值的解題思路求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)f(f(x)的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.求分段函數(shù)自變量的值或范圍的方法求某條件下自變量的值或范圍，先假設(shè)所求的值或范圍在分段函數(shù)定義區(qū)間 的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值或范圍，切記代入檢驗，看所求的自變量的 值或范圍是否滿足相應(yīng)各段自變量的取值范圍.7.單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I ,如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)問D上

23、的任忠四個自變量xi,x2當(dāng) xi X2 時，都有 f(x)f (x2),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng) xi x2時，者B有f(xi)f(x2),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函若函數(shù)y f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù) y= f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù) v= f(x)的單調(diào)區(qū)間.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)則若兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性相同，則它們的復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；若兩個簡單函 數(shù)的單調(diào)性相反，則它們的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).即“同增異減”.函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)(1)若f (x),g(x)均為區(qū)間 A上的增(減)函數(shù)，則f(x) g(x)也是區(qū)間 A上的 增

24、(減)函數(shù)，更進一步，即增+增=增，增一減=增，減+減=減，減一增=減；(2)若k 0,則kf(x)與f(x)單調(diào)性相同;若k 0,則kf(x)與f(x)單調(diào)性相 反；(3)在公共止義域內(nèi)，函數(shù) y f(x)(f(x) 0)與y f(x) , y 單調(diào)性f(x)相反；(4)在公共定義域內(nèi)，函數(shù)y f(x)(f(x) 0)與y J由單調(diào)性相同；(5)奇函數(shù)在其關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其關(guān)于原點對 稱的區(qū)間上單調(diào)性相反.函數(shù)的單調(diào)性注意(1)單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，故求單調(diào)區(qū)間時應(yīng)樹立“定義域優(yōu)先”的原則.(2)單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個單調(diào)區(qū)問 應(yīng)分

25、開寫，不能用并集符號連接，也不能用“或”連接.(3)函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個區(qū)間上的“整體”性質(zhì)，所以不能僅僅根據(jù)某 個區(qū)間內(nèi)的兩個特殊變量x1,x2對應(yīng)的函數(shù)值的大小就判斷函數(shù)在該區(qū)間的單調(diào) 性，必須保證這兩個變量是區(qū)間內(nèi)的任意兩個自變量.用單調(diào)性求解與抽象函數(shù)有關(guān)不等式的策略(1)在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時， 往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“ f ”符 號脫掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解.此時應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域.(2)有時，在不等式一邊沒有符號“ f ”時，需轉(zhuǎn)化為含符號“ f ”的形式.如若已知 f(a) 0,f(x b) 0,則 f(x b) f(a).11.函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)f(

26、x)的定義域為I ,如果存在實數(shù)M滿足條件對于任意 x I ,都有f(x) M ；對于任意x I ,都有f(x) M ；存在x0 I ,使得f(x(o) M存在xo I,使得f(x0) M結(jié)論M為最大值M為最小值12.函數(shù)最值存在的兩條結(jié)論(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值.當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào) 時最值一定在端點處取到.(2)開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大或最小值.13.利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)最值的步驟(1)判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性；(2)計算端點處的函數(shù)值；(3)確定最大值和最小值.分段函數(shù)的最值由于分段函數(shù)在定義域不同的子區(qū)間上對應(yīng)不同的解析式，因而求其最值的常用方法是先求

27、出分段函數(shù)在每一個子區(qū)間上的最值，然后取各區(qū)間上最大值中的最大者作為分段函數(shù)的最大值，各區(qū)間上最小值中的最小者作為分段函數(shù)的最 小伯.求函數(shù)最值的五種常用方法方法步驟單調(diào)性法先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值圖象法先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值基本不等式 法先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基 本不等式求出最值導(dǎo)數(shù)法先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點值，求 出最值換元法對比較復(fù)雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)， 再用相應(yīng)的 方法求最值16.函數(shù)的奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)定義一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x都有f( x) f(x)

28、,那都有f ( x) f(x),那么么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)圖象特征關(guān)于原點對稱關(guān)于y軸對稱17.函數(shù)奇偶性常用結(jié)論(1)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(x) f(|x|).(2)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.(3)在公共定義域內(nèi)有：奇士奇=奇，偶偶=偶，奇奇=偶，偶偶=偶, 奇 偶=奇.判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法(1)定義法：(2)圖象法：函數(shù)是奇(偶)函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(y軸)對稱.周期函數(shù)對于函數(shù)y f(x),如果存在一個非零常數(shù)T ,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f (x T) f (x)

29、,那么就稱函數(shù)y f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.利用函數(shù)的周期性求值或范圍周期函數(shù)y f(x)滿足：(1)若f(x a) f(x a),則函數(shù)的周期為2a;(2)若f(x a) f(x),則函數(shù)的周期為 2a;(3)若f(x a),則函數(shù)的周期為 2a；f(x),1(4)右f(x a) ,則函數(shù)的周期為 2a；f(x)(5)若函數(shù)f(x)關(guān)于直線x a與x b x=a與 x=b對稱，那么函數(shù)f(x)的 周期為21b a|；(6)若函數(shù)f(x)關(guān)于點(a,0)對稱,又關(guān)于點(b

30、,0)對稱,則函數(shù)f(x)的周期 是 21b a|;(7)若函數(shù)f(x)關(guān)于直線x a對稱，又關(guān)于點(b,0)對稱，則函數(shù)f(x)的周 期是41b a|；(8)若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x a對稱，則其周期為 2a;(9)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x a對稱，則其周期為 4a.幕函數(shù)的定義形如y x ( R)的函數(shù)稱為幕函數(shù)，其中x是自變量， 為常數(shù).對于幕一一 一*1.函數(shù)，只討論1,2,3，1時的情形.2.五種幕函數(shù)的圖象23.五種幕函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)性 質(zhì)y x2y x3y x12y x1y x定義域RRR0, i)(00, 0)U(0,十0)值域R0, +00)R0

31、, +0)(00, 0)U(0,十0)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增x 0, +oo )時，增；x (-OO, 0時,減增增xC (0, +oo)時，減； xC(oo , 0)時，減幕函數(shù)圖象的規(guī)律(1)幕函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限， 一定不會出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限，要看函數(shù)的奇偶性；(2)幕函數(shù)的圖象最多能同時出現(xiàn)在兩個象限內(nèi)；(3)如果幕函數(shù)圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點；(4)當(dāng) 為奇數(shù)時，幕函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；當(dāng) 為偶數(shù)時，幕函數(shù)的圖 象關(guān)于y軸對稱.24.幕函數(shù)的性質(zhì)(1)幕函數(shù)在(0, +8)上都有定義；(2)幕函數(shù)的圖象過定點(1,1);當(dāng)0時，幕

32、函數(shù)的圖象都過點(1,1刖(0,0),且在(0, +8)上單調(diào)遞增;(4)當(dāng)0時，幕函數(shù)的圖象都過點(1,1),且在(0, +8)上單調(diào)遞減；(5)當(dāng) 為奇數(shù)時，幕函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng) 為偶數(shù)時，幕函數(shù)為偶函數(shù).幕值大小比較的常見類型及解題策略(1)同底不同指，可以利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性進行比較.(2)同指不同底，可以利用幕函數(shù)單調(diào)性進行比較.(3)既不同底又不同指，常常找到一個中間值，通過比較兩個幕值與中間值的 大小來判斷兩個幕值的大小.25.二次函數(shù)解析式的三種形式 TOC o 1-5 h z 2b(1)一般式：f(x) ax bx c(a 0),圖象的對稱軸是 x ,頂點坐標 2a,2是(2,4

33、ac上2a 4a-2(2)頂點式:f (x) a(x m) n(a 0),圖象的對稱軸是x m,頂點坐標是 (m,n)；(3)零點式:Xx22的兩根，圖象的對稱軸是xf (x) a(x x1)(x x2)(a0),其中 xhx?是方程 ax2 bx c 0單調(diào)性在(,_b_上單調(diào)遞減，2a在2,)上單調(diào)遞增2a在(，_b_上單調(diào)遞增，2a在上_,)上單調(diào)遞減2a最值wb 口4ac b2當(dāng)x時，ymin2a4awb 口4ac b2當(dāng)x時，ymax2a4a求二次函數(shù)解析式的方法根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，一般用待定系數(shù)法，選擇規(guī)律如下:.二次函數(shù)的圖象-看寶二擰對感軸確定二次函數(shù)的圖象，主要有

34、以下三個要點:歷 二區(qū)而W金而沿i :它而定二函函應(yīng)圖反而“ i開口方向KI0三希特殊點j!看時稱物和最世，它確定了二次函教圖象的 1具體位置：行函數(shù)留象上的一些特殊點,如南數(shù)ftl象與：和的道點，與軸的交點，函數(shù)圖象的同蒲 !點或及(6點等從這三方面入手，能準確地判斷出二次函數(shù)的圖象. 反之，也可以從圖象中 得到如上信息.二次函數(shù)的最值二次函數(shù)的最值問題主要有三種類型：”軸定區(qū)間定”、“軸動區(qū)間定”、“軸 定區(qū)間動”.解決的關(guān)鍵是弄清楚對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，要結(jié)合函數(shù)圖象，依據(jù) 對稱軸與區(qū)間的關(guān)系進行分類討論.設(shè) f (x) ax2 bx c(a 0),則二次函數(shù)f(x)在閉區(qū)間m,n上的最大

35、值、最小值有如下的分布情況:對稱軸與 區(qū)間的關(guān) 系b m n 一, 2a即(n,) 2ab m n, 2a一 b即 (m,n) 2ab 一 m n,2a即(，m)2a圖象最值f (X)maxf ),f (X)minf (A)f (x)max maxf (m), f(n)bf(x)min f(。) 2af (x)max f (A), f (x)min f (m).根式(1)根式的概念若xn a ,則x叫做a的n次方根，其中n 1且n N .式子Sa叫做根式, 這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).(2)a的n次方根的表示n x霸(當(dāng)n為奇數(shù)且n 1時) x a石(當(dāng)n為偶數(shù)且n 1時)30.有理數(shù)指

36、數(shù)幕幕的有關(guān)概念m正分數(shù)指數(shù)幕：an 療(a 0,m,n N，且n 1) -m11負分數(shù)指數(shù)號：a n =-=r(a 0, m, n N，且n 1) 的9am a0的正分數(shù)指數(shù)幕等于0, 0的負分數(shù)指數(shù)幕無意義有理數(shù)指數(shù)幕 的性質(zhì)aras ar s(a 0, r, s Q)(ar)s ars(a 0,r,s Q)rr r(ab)r arbr(a 0,b 0,r Q).指數(shù)幕的運算規(guī)律(1)有括號的先算括號里的，無括號的先算指數(shù)運算.(2)先乘除后加減，負指數(shù)幕化成正指數(shù)幕的倒數(shù).(3)底數(shù)是負數(shù)，先確定符號，底數(shù)是小數(shù)，先化成分數(shù)，底數(shù)是帶分數(shù)的， 先化成假分數(shù).(4)若是根式，應(yīng)化為分數(shù)指數(shù)

37、幕，盡可能用幕的形式表示，運用指數(shù)幕的運 算性質(zhì)來解答.指數(shù)函數(shù)的圖象函數(shù)y ax(a 0,且a 1)0 a 1a 1圖象圖象特征在x軸上方，過定點(0,1)當(dāng)x逐漸增大時，圖象逐漸 當(dāng)x逐漸增大時，圖象逐漸上升I下降.指數(shù)函數(shù)圖象畫法的三個關(guān)鍵點畫指數(shù)函數(shù)y ax(a 0,且a 1)的圖象，應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點：1 (1,a),(0,1),( 1-)a.指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較x一 xx. x如圖是指數(shù)函數(shù)(1) y a ,(2) y b , (3) y c , (4) y d的圖象，底數(shù)a,b,c,d與1之間的大小關(guān)系為c d 1 a b.由此我們可得到以下規(guī)律：在y軸右(左)側(cè)圖象越高

38、(低)，其底數(shù)越大.1第二35.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)y ax(a 0,且a 1)0 a 1a 1性 質(zhì)定義域R值域(0, +00)單調(diào)性在R上是減函數(shù)在R上是增函數(shù)函數(shù)值及 化規(guī)律當(dāng)x 0時，y 1當(dāng)x0時，y 1;當(dāng) x0 時,0y 1.當(dāng) x 0 時,0y 1;當(dāng)x 0時，y 1.比較指數(shù)式大小的方法比較兩個指數(shù)式大小時，盡量化同底或同指.(1)當(dāng)?shù)讛?shù)相同，指數(shù)不同時，構(gòu)造同一指數(shù)函數(shù)，然后利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)比 較大力、.(2)當(dāng)指數(shù)相同，底數(shù)不同時，構(gòu)造兩個指數(shù)函數(shù)，利用圖象比較大小.(3)當(dāng)?shù)讛?shù)不同，指數(shù)也不同時，常借助1,0等中間量進行比較.解指數(shù)不等式的思路方法對于形如ax ab的不等

39、式，需借助函數(shù)y ax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，則需分a 1與0 a 1兩種情況討論；而對于形如ax b的不等式，需先將b轉(zhuǎn)化為以a為底的指數(shù)幕的形式，再借助函數(shù) y ax的單調(diào)性求解.與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的定義域、值域(1)y a”的定義域與f(x)的定義域相同.(2)先確定f(x)的值域，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域、單調(diào)性確定函數(shù)y af(x)的 值域.與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷形如 y af(x)的函數(shù)的單調(diào)性，它的單調(diào)區(qū)間與f(x)的單調(diào)區(qū)間有關(guān)：f (x)(1)若a 1,函數(shù)f(x)的單調(diào)增(減)區(qū)間即函數(shù) y a ()的單調(diào)增(減)區(qū)間.若0 a

40、 1,函數(shù)f(x)的單調(diào)增(減)區(qū)間即函數(shù)y af(x)的單調(diào)減(增)區(qū)間. 與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解步驟(1)求復(fù)合函數(shù)的定義域；(2)弄清函數(shù)是由哪些基本函數(shù)復(fù)合而成的；(3)分層逐一求解函數(shù)的單調(diào)性；(4)求出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(注意“同增異減”).對數(shù)的概念、性質(zhì)及運算概念如果ax N(a 0,且a 1),那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記 作x loga N，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，loga N 叫做對數(shù)式性質(zhì)對數(shù)式與指數(shù)式的互化：ax N x logaNloga1 0,logaa 1,alogaNN運算法則lOga(M N) lOgaM logaNa 0,且

41、a 1,M0, N 0M loga loga M logaN Nloga Mnnloga M (n R)重要公式換底公式：logab logcb (a 0,且 a 1,c 0,且 c 1,b 0); logca1(2)log a b 才隹廠 loga b logb c logc d.logba解決對數(shù)運算問題的四種常用方法(1)將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)幕的形式進行化簡.(2)將同底對數(shù)的和、差、倍合并.(3)利用換底公式將不同底的對數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對數(shù)式，要注意換底公式 的正用、逆用及變形應(yīng)用.(4)利用常用對數(shù)中的lg 2 lg5 1.39.對數(shù)函數(shù)的圖象函數(shù)y loga X, a 1y log

42、aX,0 a 1圖象T1ArJI(LO)o(1,0)4oy=l%圖象特征在y軸右側(cè)，過定點(1,0)當(dāng)x逐漸增大時，圖象是上升的當(dāng)X逐漸增大時，圖象是下降的40.底數(shù)的大小決定了圖象相對位置的高低不論是a 1還是0 a 1,在第一象限內(nèi)，自左向右，圖象對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大，如圖，0 c d 1 a b.尸=1。命xLx產(chǎn)1%，41.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系指數(shù)函數(shù)y ax(a 0且a 1)與對數(shù)函數(shù)y loga x(a 0且a 1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y x對稱.42.對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)y loga x(a 0且a 1)a 10 a 1性質(zhì)定義域(0, +00)值域R單調(diào)性在

43、(0, 十 )上是增函 數(shù)在(0, +8)上是減函數(shù)函數(shù)值及化規(guī)律當(dāng)x 1時，y 0當(dāng)x 1時，y 0;當(dāng)0 x 1時，y 0當(dāng)x 1時，y 0;當(dāng)0 x 1時，y 0比較對數(shù)式大小的三種方法(1)單調(diào)性法：在同底的情況下直接得到大小關(guān)系， 若不同底，先化為同底.(2)中間量過渡法：即尋找中間數(shù)聯(lián)系要比較的兩個數(shù)， 一般是用“0”，”1 或其他特殊值進行“比較傳遞” .(3)圖象法：根據(jù)圖象觀察得出大小關(guān)系.簡單對數(shù)不等式問題的求解策略(1)解決簡單的對數(shù)不等式，應(yīng)先利用對數(shù)的運算性質(zhì)化為同底數(shù)的對數(shù)值， 再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解.(2)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和底數(shù) a的值有關(guān)，在

44、研究對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時，要按0 a 1和a 1進行分類討論.(3)某些對數(shù)不等式可轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.與對數(shù)有關(guān)的單調(diào)性問題的解題策略(1)求出函數(shù)的定義域.(2)判斷對數(shù)函數(shù)的底數(shù)與1的關(guān)系，當(dāng)?shù)讛?shù)是含字母的代數(shù)式(包含單獨一 個字母)時，要考查其單調(diào)性，就必須對底數(shù)進行分類討論.(3)判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性，運用復(fù)合函數(shù)“同增異減”原則判斷 函數(shù)的單調(diào)性.a.對勾函數(shù) f(x) x -(a 0)x該函數(shù)在(，和Va,)上單調(diào)遞增，在Va,0)和(0,7a上單調(diào)遞減.當(dāng)x 0時，x a時取最小值2石，當(dāng)x 0時，x6時取最大值 2G.利用描點法畫函數(shù)圖象的流

45、程T川定十?dāng)?shù)的雅義叢、化伯咸敦帆宙式q時嘀現(xiàn)的性版單陛砒、奇禹玨.周期肚、，打糾1)， UjvJ除號星或的 量拄外，犬”要注直船城點.如一與坐 審廠 彌幡的交點.頂點，端點、址(短)把電.洌低點營逋)一回麗速射無質(zhì)承據(jù)W，l這一；)川充滯府曲性旌掩質(zhì)福衣).利用圖象變換法作函數(shù)的圖象(1)平移變換:a 0,右移a個單位y f (x) y f (x a)；a 0,左移|a |個單位b 0,上移b個單位y f (x) y f (x) b.b 0,下移|b |個單位(2)伸縮變換: 101,縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的一倍y f (x) y f ( x)1 . 1,縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的

46、一倍A1,橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的A倍y f (x) y Af(x).0VA y f(x)；關(guān)于y軸對稱yf (x)yf ( x)；關(guān)于原點對稱yf (x)y f ( x).(4)翻折變換:去掉y軸左邊圖，保留y軸右邊圖y f (x) y f(|x|)；將y軸右邊的圖象翻折到左邊去保留x軸上方圖y f (x) y |f(x)|.將x軸下方的圖象翻折到上方去46.函數(shù)圖象的畫法當(dāng)南數(shù)表達式(或史書后的表達式)是料番的就本 ；初等由敦時,就可根據(jù)這些函敢的卦征直接作出含盯絕輸溶泰禍效方藤海符；為分段由教來福博強WVi|ViW!|i|V * p*v*VWfBB*FIVVVVriIIVVVi|:

47、行函數(shù)圖象可由某個邛本初等的數(shù)的惜做就過平 以 胡折,對林知劍I可利用圖蒙受攪作出，們更:注意變捶雕掙h i fr -a -i fe ， * 向，* - BifeHHiiirB k w i 有關(guān)函數(shù)圖象識別問題的常見題型及解題思路(1)由解析式確定函數(shù)圖象的判斷技巧：由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下 位置；由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù).(2)由實際情景探究函數(shù)圖象.關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問題求解， 要 注意實際問題中的定義域問題.利用圖象研究函數(shù)性質(zhì)問題的思路對于已知解析式易畫出其

48、在給定區(qū)間上圖象的函數(shù)，其性質(zhì)常借助圖象研究：(1)由圖象的最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值；(2)由圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；(3)由圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性.利用函數(shù)的圖象解決方程根問題的思路當(dāng)方程與基本函數(shù)有關(guān)時，可以通過函數(shù)圖象來研究方程的根，方程f(x) 0的根就是函數(shù)f(x)圖象與x軸交點的橫坐標，方程f(x) g(x)的根就是函數(shù)f(x)與g(x)圖象交點的橫坐標.函數(shù)的零點(1)函數(shù)零點的定義對于函數(shù)y f(x),我們把使f (x) 0的實數(shù)x叫做函數(shù)y f(x)的零點.(2)幾個等價關(guān)系方程f (x) 0有實數(shù)根？函數(shù)y f (x)的圖象與x軸有交點

49、？函數(shù)y f (x) 有零點.(3)函數(shù)零點的判定(零點存在性定理)如果函數(shù)y f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a) f(b) 0,那么，函數(shù)y f(x)在區(qū)間a,b內(nèi)有零點，即存在 c a,b ,使得f (c) 0 ,這個c也就是方程f (x) 0的根.2.二次函數(shù)y ax bx c(a 0)的圖象與零點的關(guān)系與x軸的交點 零點個數(shù)(xi,0), (x2,0)2.判斷函數(shù)零點(方程的根)所在區(qū)間的方法(1)解方程法：當(dāng)對應(yīng)方程易解時，可通過解方程確定方程是否有根落在給定 區(qū)間上.(2)定理法：利用零點存在性定理進行判斷.(3)數(shù)形結(jié)合法：畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象，通過觀

50、察圖象與x軸在給定區(qū)間上是 否有交點來判斷，或者轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象在給定區(qū)間上是否有交點來判斷.50.判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法直接法直接求零點：令f(x) 0,如果能求出解，則有幾個不同的解就有幾個零點定理法零點存在性定理：利用定理不僅要求函數(shù)的圖象在區(qū)間a,b上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a) f(b) 0 ,還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào) 性、奇偶性)才方9確定函數(shù)有多少個零點.圖象法利用圖象交點的個數(shù)：畫出函數(shù)f(x)的圖象，函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點的個數(shù)就是函數(shù)f(x)的零點個數(shù)；將函數(shù)f(x)拆成兩個函數(shù)h(x)和g(x)的差，根據(jù)f (x) 0 h(x) g(x),則函數(shù)f (x

51、)的零點個 數(shù)就是函數(shù)y h(x)和y g(x)的圖象的交點個數(shù)性質(zhì)法利用函數(shù)性質(zhì)：若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點個數(shù)不難得到；若 所考查的函數(shù)是周期函數(shù)，則只需解決在一個周期內(nèi)的零點的個數(shù)已知函數(shù)零點求參數(shù)的范圍的常用方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍.(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決.(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，作出函數(shù)的圖 象，然后數(shù)形結(jié)合求解.51.函數(shù)y f(x)在X %處的導(dǎo)數(shù) TOC o 1-5 h z 稱函數(shù)y f(x)在X %處的瞬時變化率lim -1 lim Uxx)

52、f(x0) x 0Vx 0 xx為函數(shù)y *)在乂 處的導(dǎo)數(shù)，記作/(%)或丫以x0 ,即屋y. f(xx) f(x0)f (x0)lim - lim x 0 x Vx 0 x51.函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)稱函數(shù)f(x) limx) f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).Vx 0 x52.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)sinxcosxax(a 0)x eloga x(a 0且a 1)lnx導(dǎo)函數(shù)cosxsinxax ln xx e1xln a1x53.導(dǎo)數(shù)運算法則(1)f(x) g(x)f(x) g(x);(2) f (x) g(x) f(x)g(x) f (x)g(x)；(3)f(x)1 g(x)f (x

53、)g(x) f (x)g(x)2g(x)(g(x) 0).54.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y f (g(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y f(u) , u g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx yjux,即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.導(dǎo)數(shù)的運算方法(1)連乘積形式：先展開化為多項式的形式，再求導(dǎo).(2)分式形式：觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)， 再求導(dǎo).(3)對數(shù)形式：先化為和、差的形式，再求導(dǎo).(4)根式形式：先化為分數(shù)指數(shù)幕的形式，再求導(dǎo).(5)三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo).(6)復(fù)合函數(shù)：確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).對抽象函數(shù)求導(dǎo)的解題策

54、略在求導(dǎo)問題中，常涉及一類解析式中含有導(dǎo)數(shù)值的函數(shù)，即解析式類似為f(x) f(xq)x sinx lnx(x為常數(shù))的函數(shù)，解決這類問題的關(guān)鍵是明確 () 是常數(shù)，其導(dǎo)數(shù)值為Q.因此先求導(dǎo)數(shù)f(x),令x %,即可得到f(%)的值，進 而得到函數(shù)解析式，求得所求的導(dǎo)數(shù)值55導(dǎo)數(shù)的幾何意義函 數(shù) f (x) 在 點 x0 處 的 導(dǎo) 數(shù) f (x0 ) 的 幾 何 意 義 是 在 曲 線 y f (x) 上 點P(Xo,yo)處的切線的斜率.相應(yīng)地，切線方程為 y yo f(%)(x %).特別地， 如果曲線y f (x)在點(xo,yo)處的切線垂直于x軸，則此時導(dǎo)數(shù) 門(比)不存在， 由切

55、線定義可知，切線方程為x x0 .求切線方程問題的兩種類型及方法(1)求“在曲線y f(x)上一點P(Xo,yo)處的切線方程(高考常考類型)， 則點P(Xo,y0)為切點，切線斜率為k f(%),有唯一的一條切線，對應(yīng)的切線方 程為 y y0 f (x0)(x x0)(2)求“過”曲線y f(x)上一點P(%,y。)的切線方程，則切線經(jīng)過點P,點P可能是切點，也可能不是切點，這樣的直線可能有多條.解決問題的關(guān)鍵是設(shè) 切點，利用“待定切點法”，即：設(shè)切點A(xi,yi),則以A為切點的切線方程為 y yi f(xi)(x x1)；根據(jù)題意知點P(x0,y0)在切線上，點 A(x1,yi)在曲線

56、 y f(x)上，得到方程組y1 f(xi),求出切點A(xi,yi),代入方程y0 y1 f (x1 )(x0 x1)y yi f (xi)(x xi) ，化簡即得所求的切線方程提醒”過點A的曲線的切線方程”與“在點A處的曲線的切線方程”是不相 同的，后者A必為切點，前者未必是切點.曲線在某點處的切線，若有，則只有 一條；曲線過某點的切線往往不止一條切線與曲線的公共點不一定只有一個56函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系函數(shù)y f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)：若f(x) 0,則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；若f (x) 0,則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；若f(x) 0,則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù).57

57、.由函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可得的結(jié)論(1)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且f(x)在(a,b)任意子區(qū)間內(nèi)都不包等于0.當(dāng)x (a,b)時，f(x) 0?函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增；f(x) 0?函數(shù)f (x)在(a,b)上單調(diào)遞減.(2) f(x) 0( 0)在(a,b)上成立是f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增(減)的充分條件.58.判斷函數(shù)單調(diào)性的三種方法義 定法在定義域內(nèi)(或定義域的某個區(qū)間內(nèi))任取4為，且X ” 通過判斷f(x)i f (%)與0的大小關(guān)系來確定函數(shù)f(x)的單調(diào)性圖象 法利用函數(shù)圖象的變化趨勢直觀判斷，若函數(shù)圖象在某個區(qū)間內(nèi)呈上升 趨勢，則函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)是

58、增函數(shù)；若函數(shù)圖象在某個區(qū)間內(nèi)呈下 降趨勢，則函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)導(dǎo)數(shù) 法利用導(dǎo)數(shù)判斷可導(dǎo)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)(或定義域的某個區(qū)間內(nèi))的單 調(diào)性導(dǎo)數(shù)法證明或討論函數(shù)f (x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)性的步驟求f(x);(2)確定f(x)在(a,b)內(nèi)的符號;(3)得出結(jié)論：當(dāng)f(x) 0時，函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)f(x) 0時， 函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減.提醒討論含參函數(shù)的單調(diào)性時，需注意依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影 響進行分類討論.用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的三種類型及方法(1)當(dāng)不等式f(x) 0或f(x) 0可解時，確定函數(shù)的定義域，解不等式f(x) 0或f(x) 0

59、求出單調(diào)區(qū)間.(2)當(dāng)方程f(x) 0可解時，確定函數(shù)的定義域，解方程f(x) 0,求出實數(shù) 根，把函數(shù)f(x)的間斷點(即f (x)的無定義點)的橫坐標和實根按從大到小的順 序排列起來，把定義域分成若干個小區(qū)間，確定 f(x)在各個區(qū)間內(nèi)的符號，從而確定單調(diào)區(qū)間(3)不等式f (x) 0 或 f (x) 0及方程 f (x) 0均不可解時求導(dǎo)并化簡，根據(jù)f(x)的結(jié)構(gòu)特征，選擇相應(yīng)基本初等函數(shù)，利用其圖象與性質(zhì)確定f(x)的符號，得單調(diào)區(qū)間59由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)取值范圍的方法(1)可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)，實際上就是在該區(qū)間上 f(x) 0 (或f (x) 0)恒成立，得到關(guān)于參數(shù)的

60、不等式，從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，求出參數(shù)的取值范圍；(2)可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上存在單調(diào)區(qū)間，實際上就是f(x) 0 (或f(x) 0)在該區(qū)間上存在解集，即f (x)max 0 (或 f (x)min0)在該區(qū)間上有解，從而轉(zhuǎn)化為不等式問題，求出參數(shù)的取值范圍；(3)若已知f (x) 在區(qū)間 I 上的單調(diào)性，區(qū)間I 上含有參數(shù)時，可先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間，令I(lǐng)是其單調(diào)區(qū)間的子集，從而求出參數(shù)的取值范圍.(4)應(yīng)用結(jié)論“函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增？ f(x) 0恒成立；函數(shù) f(x)在(a,b)上單調(diào)遞減？ f(x) 0恒成立”時，切記檢驗等號成立時導(dǎo)數(shù)是否在(a,b)上恒為