含參數(shù)的一元二次不等式的解法以及含參不等式恒成立問題

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載含參數(shù)的一元二次不等式的解法解含參數(shù)的一元二次不等式，通常情況下，均需分類討論，那么如何討論呢？對(duì)含參一元二次不等式常用的分類方法有三種：一、按x2項(xiàng)的系數(shù)a的符號(hào)分類，即a0,a0,a0;例1解不等式：ax2a2x10分析：本題二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)，a224aa240，故只需對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分類討論。解：a224aa2402a2a解得方程ax2a2x10兩根x1a2a24a2a24,x2a2a24a2a24或x當(dāng)a0時(shí),解集為x|x2a2a2當(dāng)a0時(shí)，不等式為2x10,解集為x|x1當(dāng)a0時(shí),解集為x|a2a24a2a242a2a例2解不等式ax25ax6a0a0分析因?yàn)閍0，

2、0，所以我們只要討論二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)。x解a(x25x6)ax230 x當(dāng)a0時(shí)，解集為|x2或x3；當(dāng)a0時(shí)，解集為x|2x3二、按判別式的符號(hào)分類，即0,0,0；例3解不等式x2ax40分析本題中由于x2的系數(shù)大于0,故只需考慮與根的情況。解：a216當(dāng)a4,4即0時(shí)，解集為R；學(xué)習(xí)必備歡迎下載當(dāng)a4即0時(shí)，解集為xxR且xa；222不等式的解集為xx或x解因m210,(4)24m2143m2aa216aa216當(dāng)a4或a4即0,此時(shí)兩根分別為x，x，顯然12xx,12aa216aa21622例4解不等式m21x24x10mR所以當(dāng)m3，即0時(shí)，解集為x|x1；223m223m2當(dāng)3m3，

3、即0時(shí)，解集為xx或xm21m21；當(dāng)m3或m3，即0時(shí)，解集為R。三、按方程ax2bxc0的根x,x的大小來分類，即xx,xx,xx；12121212例5解不等式x2(a1a)x10(a0)分析：此不等式可以分解為：xa(x)0，故對(duì)應(yīng)的方程必有兩解。本題1a只需討論兩根的大小即可。(解：原不等式可化為：xax11)0，令a，可得：a1aa，故原不等式的解集為x|ax當(dāng)a1或0a1時(shí)，a1a1；a當(dāng)a1或a1時(shí)，a1a,可得其解集為；,解集為x|xa。當(dāng)1a0或a1時(shí),a11aa例6解不等式x25ax6a20，a0(分析此不等式5a224a2a20，又不等式可分解為x2ax3a)0，故學(xué)習(xí)必

4、備歡迎下載只需比較兩根2a與3a的大小.(解原不等式可化為：x2ax3a)0，對(duì)應(yīng)方程x2ax3a)0的兩根為x2a,x3a，當(dāng)a120時(shí)，即2ax3a，解集為|x3a或x2a；當(dāng)a0時(shí)，即2a3a，解集為x|x2a或x3a含參不等式恒成立問題的求解策略“含參不等式恒成立問題”把不等式、函數(shù)、三角、幾何等內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合起來，其以覆蓋知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，解法靈活等特點(diǎn)而倍受高考、競賽命題者的青睞。另一方面，在解決這類問題的過程中涉及的“函數(shù)與方程”、“化歸與轉(zhuǎn)化”、“數(shù)形結(jié)合”、“分類討論”等數(shù)學(xué)思想對(duì)鍛煉學(xué)生的綜合解題能力，培養(yǎng)其思維的靈活性、創(chuàng)造性都有著獨(dú)到的作用。本文就結(jié)合實(shí)例談?wù)勥@類問題

5、的一般求解策略。一、判別式法若所求問題可轉(zhuǎn)化為二次不等式，則可考慮應(yīng)用判別式法解題。一般地，對(duì)于二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0,xR),有1）f(x)0對(duì)xR恒成立a00;a02）f(x)0對(duì)xR恒成立.0例1：若不等式(m1)x2(m1)x20的解集是R，求m的范圍。解析：要想應(yīng)用上面的結(jié)論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)m，所以要討論m-1是否是0。（1）當(dāng)m-1=0時(shí)，元不等式化為20恒成立，滿足題意；m10（2）m10時(shí)，只需，所以，m1,9)。(m1)28(m1)0例2已知函數(shù)ylgx2(a1)xa2的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：由題設(shè)可將問題轉(zhuǎn)化為不

6、等式x2(a1)xa20對(duì)xR恒成立，即有(a1)24a20解得a1或a13。1所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(,1)(,)。3若二次不等式中x的取值范圍有限制，則可利用根的分布解決問題。二、最值法將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題的一種處理方法，其一般類型有：1）f(x)a恒成立af(x)2）f(x)a恒成立af(x)學(xué)習(xí)必備歡迎下載minmax（1）當(dāng)a2即：a4時(shí)，fxf273a0a又a4所以a不存在；例3、若x2,2時(shí)，不等式x2ax3a恒成立，求a的取值范圍。解：設(shè)fxx2ax3a，則問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)x2,2時(shí)，fx的最小值非負(fù)。min723（2）當(dāng)22即：4a4時(shí)，fxf3a22aamin

7、4a44a2a2406a2又（3）當(dāng)2即：a4時(shí)，fxa2min綜上所得：7a2f27a0a7又a47a4例4函數(shù)f(x)x22xax,x1,)，若對(duì)任意x1,)，f(x)0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：若對(duì)任意x1,)，f(x)0恒成立，即對(duì)x1,)，f(x)x22xax0恒成立，考慮到不等式的分母x1,)，只需x22xa0在x1,)時(shí)恒成立而得而拋物線g(x)x22xa在x1,)的最小值g(minx)g(1)3a0得a3注：本題還可將f(x)變形為f(x)xax2，討論其單調(diào)性從而求出f(x)最小值。例5：在ABC中，已知f(B)4sinBsin2()cos2B,且|f(B)m|2恒成立

8、，求實(shí)B42數(shù)m的范圍。解析：由4f(B)4sinBsin2(B2)cos2B2sinB1,0B,sinB(0,1，f(B)(1,3，mf(B)2|f(B)m|2恒成立，2f(B)m2，即恒成立，m(1,3mf(B)2例6：求使不等式asinxcosx,x0,恒成立的實(shí)數(shù)a的范圍。2sin(x),x,，顯然函數(shù)有最大值2，4解析：由于函asinxcosx學(xué)習(xí)必備歡迎下載3444a2。三、分離變量法若所給的不等式能通過恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，從而問題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進(jìn)而求出參數(shù)范圍。這種方法本質(zhì)也還是求最值，但它思路更清晰，操作性更強(qiáng)。一般地有：1）f(x)g(a)(a為參

9、數(shù)）恒成立g(a)f(x)2）f(x)g(a)(a為參數(shù)）恒成立g(a)f(x)maxmax例7、已知x,1時(shí)，不等式12xaa24x0恒成立，求a的取值范圍。解：令2xt，x,1t0,2所以原不等式可化為：a2at1t2，要使上式在t0,2上恒成立，只須求出ftt1在t0,2上的最小值即可。t2t1111121,ftt2ttt24211t2ftminf23313a2aa4422例8、已知函數(shù)fxlgx2，若對(duì)任意x2,恒有fx0，試確定a的取值范圍。ax解：根據(jù)題意得：xax21在x2,上恒成立，即：ax23x在x2,上恒成立，xx23x，則fxx329設(shè)f24max2當(dāng)x2時(shí)，fx所以a2

10、例9已知函數(shù)f(x)ax4xx2,x(0,4時(shí)f(x)0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：將問題轉(zhuǎn)化為a4xx2x對(duì)x(0,4恒成立。令g(x)4xx2，則ag(x)xmin學(xué)習(xí)必備歡迎下載4xx2由g(x)x4x1可知g(x)在(0,4上為減函數(shù)，故g(x)ming(4)0a0即a的取值范圍為(,0)。注：分離參數(shù)后，方向明確，思路清晰能使問題順利得到解決。四、變換主元法處理含參不等式恒成立的某些問題時(shí)，若能適時(shí)的把主元變量和參數(shù)變量進(jìn)行“換位”思考，往往會(huì)使問題降次、簡化。例10對(duì)任意a1,1，不等式x2(a4)x42a0恒成立，求x的取值范圍。分析：題中的不等式是關(guān)于x的一元二次不等式，但

11、若把a(bǔ)看成主元，則問題可轉(zhuǎn)化為一次不等式(x2)ax24x40在a1,1上恒成立的問題。解：令f(a)(x2)ax24x4，則原問題轉(zhuǎn)化為f(a)0恒成立（a1,1）。當(dāng)x2時(shí)，可得f(a)0，不合題意。當(dāng)x2時(shí)，應(yīng)有f(1)0f(1)0解之得x1或x3。故x的取值范圍為(,1)(3,)。注：一般地，一次函數(shù)f(x)kxb(k0)在,上恒有f(x)0的充要條件為f()0f()0。例11、若不等式2x1mx21對(duì)滿足m2的所有m都成立，求x的取值范圍。解：設(shè)fmmx212x1，對(duì)滿足m2的m，fm0恒成立，2x212x10f202x212x10f20解得：1713x22五、數(shù)形結(jié)合法數(shù)學(xué)家華羅庚

12、曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”，這充分說明了數(shù)形結(jié)合思想的妙處，在不等式恒成立問題中它同樣起著重要作用。我們知道，函數(shù)圖象和不等式有著密切的聯(lián)系：1）f(x)g(x)函數(shù)f(x)圖象恒在函數(shù)g(x)圖象上方；2）f(x)g(x)函數(shù)f(x)圖象恒在函數(shù)g(x)圖象下上方。學(xué)習(xí)必備歡迎下載例12設(shè)f(x)x24x,g(x)4x1a,3y滿足d833a若恒有f(x)g(x)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.分析：在同一直角坐標(biāo)系中作出f(x)及g(x)的圖象如圖所示，f(x)的圖象是半圓(x2)2y24(y0)g(x)的圖象是平行的直線系4x3y33a0。要使f(x)g(x)恒成立，則圓心(2

13、,0)到直線4x3y33a0的距離52解得a5或a5（舍去)3-4-2Ox由上可見，含參不等式恒成立問題因其覆蓋知識(shí)點(diǎn)多，方法也多種多樣，但其核心思想還是等價(jià)轉(zhuǎn)化，抓住了這點(diǎn)，才能以“不變應(yīng)萬變”，當(dāng)然這需要我們不斷的去領(lǐng)悟、體會(huì)和總結(jié)。例13：已知a0,a1,f(x)x2ax,當(dāng)x(1,1)時(shí),有f(x)12恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解析：由f(x)x2ax12，得x212ax，在同一直角坐標(biāo)系中做出兩個(gè)函數(shù)的圖象，a及(1)2a1得到a分別等于2和如果兩個(gè)函數(shù)分別在x=-1和x=1處相交，則由1211220.5，并作出函數(shù)y2x及y()x的圖象，所以，要想使函數(shù)x2ax在區(qū)間x(1,1)中11221恒成立，只須y2x在區(qū)間x(1,1)對(duì)應(yīng)的圖象在yx2在區(qū)間x(1,1)對(duì)應(yīng)圖象的上2面即可。當(dāng)a1時(shí),只有a2才能保證，而0a1時(shí)，只有a12才可以，所以例14、若不等式3x2logx0在x0,3內(nèi)恒1a,1)(1,2。21a成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：由題意知：3x2logx在x0,內(nèi)恒成立，3觀察兩函數(shù)圖象，當(dāng)x0,時(shí)，若a1函數(shù)ylogx的圖象顯然在函數(shù)y3x2圖象的下方，3學(xué)習(xí)必備歡迎下載1a在同一坐標(biāo)系內(nèi)，分別作出函數(shù)y3x2和ylogxa1a所以不成立；當(dāng)0a1時(shí)，由圖可