天津大學(xué)船舶與海洋工程8結(jié)構(gòu)力學(xué)課件第九放映

1、矩形板彎曲理論第九章研究的對象： 板的受力特點 板的邊界特點 板的厚度范圍一、緒論19-1 概 述 本章主要討論的對象為承受各種垂直于板面載荷的、具有不同邊界條件的矩形平板彎曲時的應(yīng)力與變形問題；板為四周支持在縱骨架上的矩形平板；通常不考慮連續(xù)板；船體結(jié)構(gòu)中的板屬于薄板的范疇，其厚度t與板短邊b比值在以下范圍內(nèi)：2并不計應(yīng)變滿足直法線假定條件，具有中性層 且oyxz 因 ，可不計 通常板彎曲時有5個應(yīng)力分量3個應(yīng)變分量，如圖： 這類板的應(yīng)力分布的特點對薄板彎曲：這類板的變形特點不考慮擠壓力的影響；應(yīng)力分量應(yīng)變分量應(yīng)力應(yīng)變間的相互關(guān)系：3發(fā)生筒形彎曲條件(cylindrical bending)

2、:邊長比b/a 2.5外力沿長邊不變約束沿長邊不變9-2 板的筒形彎曲筒形板的橫彎曲lyq(x)xyo41L板條梁（如圖）：在板筒形部分沿彎曲方向取一單位寬度的狹條梁。5(a)板條梁截面(b)普通梁截面(C)受力拉壓板條梁與不同梁彎曲變形的差別:板條梁兩側(cè)面受相鄰板約束不自由變形，變形后截面仍為矩形普通板側(cè)面為自由的，變形后不再為矩形應(yīng)變的差別6應(yīng)力的差別（通過物理方程）板條梁為雙向應(yīng)力狀態(tài)普通梁為單向應(yīng)力狀態(tài)需解決問題板條梁應(yīng)力分布7 設(shè)：板條梁彎曲時平斷面假定成立，可導(dǎo)得彎曲微 分方程式稱D為板的“筒形剛度”或“彎曲剛度”（flexural rigity )8板面的最大正應(yīng)力：板條梁斷面的

3、彎曲正應(yīng)力沿斷面高度線性分布位于板的上下表面9yxqlTT筒形板的復(fù)雜彎曲（a） 此時，板除受橫載荷外，還在長邊受到中面應(yīng)力，據(jù)前分析 可得：其中求得板條梁的斷面彎矩，可求得總應(yīng)力如圖：10例 設(shè)有一兩端 自由支持的板條梁， , 受均布荷重 ，并有中面應(yīng)力，計算此板條梁的最大應(yīng)力。材料的彈性模數(shù) 解：先假設(shè)中面力為拉力，計算 參數(shù)u: 故板條梁中點的最大彎矩為最大彎曲應(yīng)力為：最大總應(yīng)力為：如果此板不受中面力，則最大彎矩為：最大彎曲應(yīng)力為：板條梁筒形剛度：中點撓度：此值已大大超過一般鋼材的屈服極限，此板沒有中面拉力不能承受 橫載荷。亦不能承受中面拉力11此例說明：中面拉力對板的承載 其了很大的作

4、用：如果沒有中面力，板 在橫荷重下會發(fā)生很大的應(yīng)力與應(yīng)變 ;板似乎不能承受中面壓力。但對于船體板后兩結(jié)論不正確 ，由于實際船體板的支持骨架 相當(dāng)強，板在彎曲時其支持骨架總是阻止板邊 （板條梁）的兩端自由趨近，因此板本身就會因彎曲而拉長，從而發(fā)生中面拉伸力 。這種中面力不容忽視，否則會低估辦得承載能力 。因此我們將在下節(jié)研究辦的大撓度彎曲問題.12qxdxdxdwxzdsl筒形板的大撓度彎曲為研究板彎曲時因支座阻礙板邊趨近而產(chǎn)生的中面力，先考慮板邊完全不可趨緊的情況。在板條梁中取出一長度為地 dx微段他在變形后的長度為 ds，如圖：微段變形后長為：整個板條梁伸長為（9-14）所以：13板條長度方

5、向的應(yīng)變?yōu)椋簩ⅲ?-14）代入：上式聯(lián)系了板條梁中面力T與撓度w之間的關(guān)系，但若要求出 T還要利用板條梁的復(fù)雜彎曲微分方程式 。（9-15）將（9-15）式中的T代入復(fù)雜彎曲微分方程式的解中求出撓曲線； 實際上我們可利用復(fù)雜彎曲梁的解的方式獲得。（查表、初參數(shù)方法）兩個未知數(shù)兩個方程完全可以求解具體方法是：再把求的 W (x, y) 代回（9-15）,銷去W，解出T。14(1)板條梁兩端自由支持受均布荷重：求出撓曲線將w帶入（9-16）（9-17）舉例：由 2-5（2-64），將其中EI用D代換得：得：該方程為超非線性方程，無法直接解方程，可采用數(shù)值解法。15（2）板條梁兩端剛性固定受均布荷重

6、：同樣由第二章公式：代入（9-15)式中，可得：由所得公式（9-17）及（9-19），當(dāng)板的尺寸，材料及荷重已知時可解出u,從而得板的中面力為為了實際應(yīng)用，已將公式（9-17）及（9-19）的關(guān)系畫成曲線（見下頁），并令（9-18）（9-19）（9-20）（9-21）16C1.31.21.11.00.90.80.71.31.21.11.00.90.80.72.22.12.01.91.81.51.71.61.41.31.24.03.53.02.52.02.01.51.03.02.52.00.90.93.50 1 2 3 48 9 10 11 12 4 5 6 7 8 0 1 2 3 44 5 6

7、 7 8 (b)板條梁兩端自由支持板條梁兩端剛性固定ABCCBA曲線A-u由0到4 曲線B-u由4到8 曲線C-u由8到12(a)17例 設(shè)有一兩端 自由支持的板條梁， , 受均布荷重 ，計算此板條梁的最大應(yīng)力。材料的彈性模數(shù) 。 解：先按公式（9-21）算出U：查圖(a)得u=2.60，故：當(dāng)u=2.60 時，由附錄B，得板條梁中點最大撓度與彎矩分別為板最大彎曲應(yīng)力為：最大總應(yīng)力為：考慮了板自身彎曲而產(chǎn)生的中面力影響后，此板可承受 的外載荷重，結(jié)論18由公式（9-21）及圖（a),(b)知當(dāng)板的柔性大且外力大時： U就小，這時u就小，表明中面拉力T大；反之，如板的柔性小且外力小： 則U大，u

8、小，表明中面拉力小19據(jù)此，在板的彎曲問題中長把 板分為以下幾類：（1）剛性板中面力對彎曲要素可以忽略不計的板；（2）柔性板中面力對彎曲要素不可略不計的板；（3）薄膜板的中面力遠較彎曲力為大 ，板主要靠中面拉力承載 。 以上推導(dǎo)是在板邊完全不能靠近時得到的，但實際的板條梁兩端不會絕對不能趨近，亦不會完全可以自由趨近。因此實際中的中面拉力比以上的結(jié)果要小。反映在公式中，將（9-17）菏（9-19）等號左邊乘一個影響系數(shù)：當(dāng) 時，中面應(yīng)力對板條梁彎曲要素的影響可以忽略不計由得，最終推得：表明當(dāng)板條梁受載荷時的最大撓度小與板厚的1/5時，可不計彎曲產(chǎn)生的中面力。對兩端剛性固定的情況亦可導(dǎo)得類似的結(jié)論

9、：（9-22）209-3 剛性板的彎曲微分方程式本節(jié)開始研究矩形板的一般彎曲，板只有橫載荷，沒有中面載荷，亦不考慮板變形而產(chǎn)生的中面。如圖:建立坐標(biāo)系yoxztab基本假定：直法線假定據(jù)此板z方向的正應(yīng)力與其他應(yīng)力相比可忽略不計不計板中面的變形 211、根據(jù)變形的假定條件及幾何關(guān)系式 求出應(yīng)變 與撓度w之間的相互關(guān)系；2、根據(jù)物理方程 與撓度w之間的相互關(guān)系；3、一dxdy微塊上斷面的合力及合力矩， 與撓度w之間的相互關(guān)系；4、微塊上力的平衡條件得到進而得到外力q(xy)與撓度之間的關(guān)系。 即彎曲板微分方程式求解剛性板彎矩微分方程的基本過程22zox 彎曲微分方程式剛性板的彎曲微分方程式 可以

10、用梁的彎曲微分方程式相同方式建立：（1）應(yīng)變與位移 間的關(guān)系： 取微塊dxdy, 如圖因此：同理： （9-24）（9-23）目的：通過幾何變形分析找出 應(yīng)變與撓度之間的關(guān)系剪應(yīng)變的求解思路：通過上兩式求出位移u（x，y）、v（x，y）根據(jù)求出23 同理板剪應(yīng)變?yōu)椋海?-26）根據(jù)剛性板彎曲中性面不發(fā)生面內(nèi)位移及變形的假定：帶入上式得：24彎曲時應(yīng)變與位移間的關(guān)系，可用矩陣寫為：或式中：25 （2）應(yīng)力與應(yīng)變間關(guān)系：應(yīng)用方程式（9-2)得：將（9-28）代入上式，得分析應(yīng)力分布的特點： 沿板厚線性分布，在中性層處應(yīng)力為零26 （3）板單位寬度斷面上的力和 力矩：板中取一微塊，微塊斷面上分別有應(yīng)力

11、 ，及 27 板邊dx上單位寬度上斷面上 力和力矩由剪力互等定理 得：板邊dy上單位寬度上斷面上 力和力矩其中 通過力的平衡條件求得。28 將應(yīng)力代入得：式中為板的剛度矩陣 ，所以上式可表達為：29 式中：D為薄板彎曲問題中的“彈性矩陣”30 （4）靜力平衡條件建立板中面微塊的平衡方程式，使所有力對Oy軸的合力矩為零，得：如圖：31從上式可以看到， 在列平衡是不能忽略， 因為它們直接構(gòu)成域外荷重相平衡 略去三階微量，并同除以dxdy得： 32所有的力在Oz軸上的投影力為0，得： 此處 表示算子剛性板一般彎曲的平衡微分方程式，也可寫成：33這樣，一旦求得板的撓曲函數(shù)w(x,y), 得板彎曲時的應(yīng)

12、力為上式可簡寫為求解w是關(guān)鍵：邊界條件的引入34邊界條件 剛性板一般彎曲的微分方程式是兩個變數(shù)的四階線性偏微分方程式。解時要有八個任意常數(shù)。因此必須有八個邊界條件。看一下四種情況：板自由支持在剛性周界上（如圖）：板剛性固定在剛性周界上（如圖）：此時板邊緣撓度和彎矩均為零，因此在x=0和x=a處有因邊緣處板沒有撓度，所以從而：同理：35ybzox在dx范圍內(nèi)所有的剪力單位寬度上的合成力=向下為正b在中間dx上的扭矩的等效合力彈性支座邊（彈性支座支持在剛性支座上）：36ybzox單位長度上等效合力 在邊緣y=b處有：彈性支座邊（彈性支座支持在剛性支座上）：在邊緣x=a處有：在邊緣y=0處有：單位長

13、度上等效合力37ybzoxb一邊為自由支持在剛性周邊或彈性周邊上時，邊的兩角會出現(xiàn)集中力四邊均為自由支持在剛性周邊或彈性周邊上時，四角會出現(xiàn)集中力38板的邊緣為自由邊：若y=b邊為自由邊，則該邊應(yīng)滿足：這樣有三個邊界條件，但在解彎曲微分時，只允許有兩個邊界條件，因此，把剪力與扭矩都為零的條件化為等效剪力為零的條件：ybzox若x=a邊也為自由邊，則該邊應(yīng)滿足：x=a，y=b角點處應(yīng)滿足：399-4 剛性板彎曲的解 滿足兩個基本條件條件應(yīng)用雙三角級數(shù)解四邊自由支持板的彎曲對于四周自由支持的板，板的 撓曲線在支持周邊上必須適合下列條件為求解微分方程式 （9-43），將w(x,y)寫成下面的形式（9

14、-51）（9-52）yx將該函數(shù)帶入力的平衡條件求解可見該函數(shù)自然滿足邊界條件40（9-53）（9-54）將外載荷用三角級數(shù)展開：其中：41（1）若板上有均布載荷 ,這樣：42(2)若板受集中力P,作用點坐標(biāo)為 ， 如圖： oyxab 在集中力作用處，取邊長為 的矩形微塊，并認為此微塊作用著強度為：分布荷重。用公式（9-58），得：當(dāng) 趨于零時，其極限為于是：說明當(dāng)P作用在 處，則在板任意點（x,y)處引起的撓度就等于P作用在板上任意點(x,y)處在 處所產(chǎn)生的撓度，這就是位移互等定理。應(yīng)用雙三角級數(shù)對板彎曲問題的解稱為“納維葉解”。P43yx應(yīng)力單三角級數(shù)解一對邊自由支持的彎曲一對邊(x=0

15、,x=a的邊)為自由支持，另一對邊為任意固定的板可將彎曲微分程式的解取單三角級數(shù)形式：為y的任意函數(shù)此時設(shè)定的函數(shù)自然滿足x邊的邊界條件，計算求解需利用力的平衡條件及y的邊界條件滿足 x = 0 , x = a 的邊界條件其中：44 把荷重q(x,y)展開成相應(yīng)的單三角函數(shù)：式中：得：求解上式的通解和它的特解組成。（9-66）解： （1）代入彎曲微分方程式得：（2）利用公式特點是y的單值函數(shù)45通解可將 代入方程（9-66）得特征方程式：求解上式的通解和它的特解組成。通解齊次方程：（3）特解方程依具體外載形式而定本解特點（1）y 的單值函數(shù)； （2）4個待定參數(shù)。46 此特征方程式有成對的重根

16、： 于是齊次方程的通解可以寫成下面的形式：或用雙曲線函數(shù)表示成：從而微分方程式（9-65）的一般解為：式中 為特解（9-67）（9-68）（9-69）47oxya例 試決定自由支持在邊緣 x=0與x=a處及剛性固定在邊緣y=+b/2的撓曲線（如圖）。板上受均布荷重 q0解：由于板的撓曲面對稱于OX軸，因而函數(shù) 中的奇函數(shù)項的系數(shù)應(yīng)等于零，及于是其中特解 可以這樣求得。因為（9-70）48積分常數(shù) 可以由 處的邊界條件來決定。所以從此方程中看到，只要取特解為常數(shù)就能成為方程的解 當(dāng) 時， 即：將式（9-70）代入此邊界條件得：49 式中 。由此解得 ：將求得之常數(shù)代入(9-70), 得：于是板撓

17、曲函數(shù)為：（9-71）50ayobx四邊剛性固定的板的解 如圖：板中點撓度板中點，與短邊平行的斷面（垂直于x軸的斷面）中的彎矩：板中點，與長邊平行的斷面（垂直于y軸的斷面）中的彎矩：板短邊中點的彎矩：板短邊中點的彎矩：以上公式中的系數(shù)k1 、k2、k3、k4及k隨板的邊長變化，見下頁(a)圖。有板上下表面的彎曲正應(yīng)力的按下式計算：由(a)圖可知 k5最大，因此板總是在長邊中點的彎矩最大，因此該處應(yīng)力以最大。當(dāng)a/b相當(dāng)大時， k5=0.0833, 由此得長邊中點斷面的最大彎曲應(yīng)力為：（9-72）（9-73）（9-74）（9-75）（9-76）（9-77）51由(a)圖可知 k5最大，因此板總是

18、在長邊中點的彎矩最大，因此該處應(yīng)力以最大。當(dāng)a/b相當(dāng)大時， k5=0.0833, 由此得長邊中點斷面的最大彎曲應(yīng)力為：2.82.41.80.080.070.060.050.040.030.020.011.00.091.21.42.21.62.02.63.0k5k4k3k1k2以上公式中的系數(shù)k1 、k2、k3、k4及k隨板的邊長變化，見圖。板上下表面的彎曲正應(yīng)力的按下式計算：52oyxs(b) 縱骨架式船體板（ab)，當(dāng)邊長比相當(dāng)大時，取k2=0.0125,k4=0.0571, 分別得沿船長方向跨度中點和支座斷面中的應(yīng)力（9-77）為：橫骨架式船體板（如圖），設(shè)短邊長度為s ,當(dāng)邊長比相當(dāng)大時，取k3=0.0417,k5=0.0833, 分別得沿船長方向跨度中點和支座斷面中的應(yīng)力為：從此例題獲得的結(jié)論：53習(xí)題1矩形水平薄板OABC的OA邊和OC邊為簡支邊，AB邊和CB為自由邊,在B點上受集中鉛直力P作用。試證w=mxy 滿足一切條件，并求出撓度 、彎矩和角點反力。xyoABCabP習(xí)題2xyoABCab簡支邊受到均布彎矩M、兩個自由邊受到均布彎矩M作用。試證:w=f(x,y)滿足一切條件并求出撓度。MM