概率論知識點總結(jié)()

1、概率論知識點總結(jié)第一章 隨機事件及其概率第一節(jié) 基本概念隨機實驗：將一切具有下面三個特點：（ 1 ）可重復(fù)性（2）多結(jié)果性（3）不確定性的試驗或觀察稱為隨機試驗，簡稱為試驗，常用E 表示。隨機事件：在一次試驗中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事情（結(jié)果）稱為隨機事件，簡稱為事件。 TOC o 1-5 h z 不可能事件：在試驗中不可能出現(xiàn)的事情，記為 。必然事件：在試驗中必然出現(xiàn)的事情，記為 。樣本點 ：隨機試驗的每個基本結(jié)果稱為樣本點，記作 .樣本空間：所有樣本點組成的集合稱為樣本空間. 樣本空間用 表示 .一個隨機事件就是樣本空間的一個子集。基本事件單點集，復(fù)合事件多點集一個隨機事件發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)

2、該事件所包含的一個樣本點出現(xiàn)。事件的關(guān)系與運算（就是集合的關(guān)系和運算）包含關(guān)系：若事件A 發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱B包含A，記為B A或 A B。相等關(guān)系：若 B A且 A B，則稱事件A與事件 B相等，記為A B。事件的和：“事件 A與事件 B至少有一個發(fā)生”是一事件，稱此事件為事件 A與事件 B的和事件。記為AB。事件的積：稱事件“事件 A與事件 B都發(fā)生”為 A與 B的積事件，記為A B 或AB。事件的差： 稱事件“事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生”為事件 A與事件B的差事件, 記為A B。用交并補可以表示為A B AB 。互斥事件：如果A， B兩事件不能同時發(fā)生，即AB ，則稱事件A與事件

3、 B 是互不相容事件或互斥事件?；コ鈺rA B 可記為AB。對立事件：稱事件“A 不發(fā)生”為事件 A的對立事件(逆事件)，記為 A。對立事件的性質(zhì)：A B ,A B 。事件運算律：設(shè)A， B， C為事件，則有(1)交換律：AB=B A， AB=BA(2)結(jié)合律：A(B C)=(A B) C=ABC A(BC)=(AB)C=ABC(3)分配律：A(B C) (A B) (AC)A(B C) (A B)(A C)=ABAC( 4)對偶律(摩根律)： A B A B A B A B第二節(jié) 事件的概率概率的公理化體系：( 1)非負(fù)性：P(A) 0；( 2)規(guī)范性：P( ) 1( 3)可數(shù)可加性：A1 A

4、2An兩兩不相容時概率的性質(zhì)：( 1) P( ) 0( 2)有限可加性：A1 A2An 兩兩不相容時當(dāng) AB= 時 P(A B) P(A) P(B)P(A) 1 P(A)P(A B) P(A) P(AB)P( A B)P(A) P(B) P(AB)第三節(jié) 古典概率模型、設(shè)試驗E 是古典概型, 其樣本空間 由 n 個樣本點組成, 事件A 由k 個樣本點組成. 則定義事件A的概率為P(A) kn2、幾何概率：設(shè)事件A是 的某個區(qū)域，它的面積為 (A) ，則向區(qū)域 上隨機投擲一點，該點落在區(qū)域A 的概率為P(A) (A)()假如樣本空間 可用一線段，或空間中某個區(qū)域表示，則事件A的概率仍可用上式確定

5、，只不過把 理解為長度或體積即可.第四節(jié) 條件概率條件概率：在事件B 發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率稱為條件概率，記作P(A|B).乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B) P(A)P(B|A)全概率公式：設(shè)A1,A2, , An是一個完備事件組，則P(B)= P( Ai )P(B| Ai )貝葉斯公式：設(shè)A1,A2, , An是一個完備事件組, 則第五節(jié) 事件的獨立性兩個事件的相互獨立：若兩事件A、 B 滿足 P(AB)= P(A) P(B)，則稱A、 B獨立，或稱A、 B相互獨立.三個事件的相互獨立：對于三個事件A、B、C，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C

6、) ，P(BC)= P(B) P(C) ， P(ABC)= P(A) P(B)P(C) ，則稱A、 B、 C相互獨立三個事件的兩兩獨立：對于三個事件A、B、C，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C) ，P(BC)= P(B) P(C) ，則稱A、 B、 C兩兩獨立獨立的性質(zhì)：若A與B相互獨立，則A與B， A與B， A與 B均相互獨立總結(jié)： 1. 條件概率是概率論中的重要概念，其與獨立性有密切的關(guān)系，在不具有獨立性的場合，它將扮演主要的角色。2. 乘法公式、全概公式、貝葉斯公式在概率論的計算中經(jīng)常使用， 應(yīng)牢固掌握。3. 獨立性是概率論中的最重要概念之一，應(yīng)正確理解并

7、應(yīng)用于概率的計算。第二章 一維隨機變量及其分布第二節(jié) 分布函數(shù)分布函數(shù)：設(shè)X是一個隨機變量，x 為一個任意實數(shù)，稱函數(shù)F(x) PX x為 X的分布函 TOC o 1-5 h z 數(shù)。 如果將 X看作數(shù)軸上隨機點的坐標(biāo)，那么分布函數(shù)F（x） 的值就表示X落在區(qū)間（, x內(nèi)的概率分布函數(shù)的性質(zhì)：（ 1 ）單調(diào)不減；（ 2）右連續(xù)；（ 3）F （） 0, F （） 1第三節(jié) 離散型隨機變量離散型隨機變量的分布律：設(shè)xk（k=1,2, ）是離散型隨機變量X 所取的一切可能值，稱PX xkpk為離散型隨機變量X的分布律，也稱概率分布.當(dāng)離散性隨機變量取值有限且概率的規(guī)律不明顯時，常用表格形式表示分布律

8、。分布律的性質(zhì)：（ 1）0pk1 ； （ 2）pk1離散型隨機變量的概率計算：（1）已知隨機變量X的分布律，求X的分布函數(shù)；（ 2）已知隨機變量X的分布律, 求任意隨機事件的概率；（ 3）已知隨機變量X的分布函數(shù)，求X的分布律三種常用離散型隨機變量的分布：（ 0 1）分布：參數(shù)為p 的分布律為PX 1 p,PX 0 1 p二項分布：參數(shù)為n， p 的分布律為PX k Cnk pk（1 p）n k， k 0,1,2, ,n。例如 n 重獨立重復(fù)實驗中，事件A發(fā)生的概率為p，記X為這 n 次實驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，則X B（ n，p）k泊松分布：參數(shù)為 的分布率為P X k e ， k 0,1,2

9、, 。例如記X為某段事件內(nèi)k!電話交換機接到的呼叫次數(shù)，則X P（ ）第四節(jié) 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量概率密度f（x） 的性質(zhì)f（x） 0af （x）dx 1 ， PX a f （x）dx 0abPa X b Pa X b Pa X b Pa X b f (x)dxaxf (x) F (x), F (x) f (x)dx連續(xù)型隨機變量的概率計算：x( 1)已知隨機變量X的密度函數(shù)，求X的分布函數(shù)；F(x) f(x)dx( 2)已知隨機變量X的分布函數(shù)，求X的密度函數(shù)；f (x) F (x)( 3)已知隨機變量X的密度函數(shù), 求隨機事件的概率；Pa X b b f (x)dx( 4)已知隨機

10、變量X的分布函數(shù)，求隨機事件的概率；Pa X b F(b) F(a)三種重要的連續(xù)型分布：1 均勻分布：密度函數(shù)1f (x) b a a x b ，記為 X Ua， b.0 else指數(shù)分布：密度函數(shù)f (x) e x x 0，記為XE( )0 x0(x )2正態(tài)分布：密度函數(shù)f (x)1 e 2 2 ，記為 X N( , 2)2N( 0， 1 )稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)分布都可第五節(jié) 隨機變量函數(shù)的分布 離散型：在分布律的表格中直接求出；連續(xù)型：尋找分布函數(shù)間的關(guān)系，再求導(dǎo)得到密度函數(shù)間的關(guān)系；注意分段函數(shù)情況可能需要討論，得到的結(jié)果也可能是分段函數(shù)。

11、第三章 多維隨機變量及其分布第一節(jié) 二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)F (x, y) PX x,Y y ，表示隨機點落在以(x ， y)為頂點的左下無窮矩形區(qū)域內(nèi)的概率。聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)：( 1)分別關(guān)于x 和y 單調(diào)不減；( 2)分別關(guān)于x 和y 右連續(xù)；( 3) F (- , y ) = 0, F ( x ,- ) = 0,F(- ,- ) = 0F ( + ,+ ) =1第二節(jié) 二維離散型隨機變量聯(lián)合分布律：PX xi ,Yyj pij聯(lián)合分布律的性質(zhì)：pij0；pij 1第三節(jié) 二維連續(xù)性隨機變量聯(lián)合密度：F (x, y) y dv x f (u,v)du聯(lián)合密度的性質(zhì)：f (

12、x, y) 0； f(x, y)dxdy 1 ； P( x, y) D f (x, y)dxdyR2D第四節(jié) 邊緣分布二維離散型隨機變量的邊緣分布律：在表格邊緣，對應(yīng)概率相加求出；二維連續(xù)性隨機變量的邊緣密度：先求出邊緣分布函數(shù)，在求導(dǎo)求出邊緣密度第六節(jié) 隨機變量的獨立性獨立性判斷：( 1)若 X,Y取值互不影響，可認(rèn)為相互獨立；( 2)根據(jù)獨立性定義判斷F (x, y)FX(x)FY (y)離散型可用pijpi p j連續(xù)型可用f (x, y)fX (x) fY ( y)獨立性的應(yīng)用：( 1)判斷獨立性；( 2)已知獨立性，由邊緣分布確定聯(lián)合分布第四章 隨機變量的數(shù)字特征離散型隨機變量數(shù)學(xué)期望的計算EXxkpk，E(g(X)g(xk) pkkk連續(xù)型隨機變量數(shù)學(xué)期望的計算EXxf(x)dx， E(g(X)g(x)f(x)dx方差的計算：DX E(X EX)2，DX E(X2) E2(X)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)E (C ) = CE