教案編號(.極限的概念)

1、教案編號:NO:2課 題: 1.4 極限的概念教學時間: 教學班級: 授課類型:講授新課教學目的的要求:1理解數(shù)列極限的定義，并能用定義求解一些簡單數(shù)列的極限；2了解函數(shù)極限的描述性定義；3. 理解函數(shù)左右（無窮型）極限的概念，以及函數(shù)極限存在與左、右（或）極限之間的關系；4.了解極限的性質(zhì)。教學重點:函數(shù)極限的定義及性質(zhì)；教學難點:函數(shù)左右極限的概念，以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關系；函數(shù)無窮型極限的概念，以及函數(shù)極限存在與極限之間的關系。教學思路：極限是研究微積分的基本工具，本次課將帶領學生從特殊函數(shù)數(shù)列入手，分析函數(shù)中自變量在某一變化趨勢下函數(shù)的變化的趨勢，引出極限概念。再從數(shù)列過

2、渡到一般函數(shù)，從自變量的變化“路徑”得到左右極限，無窮型極限等概念。最后帶領同學探討極限的性質(zhì)。教學過程：一、新課引入：極限方法：討論當自變量在某一變化過程中，函數(shù)的變化趨勢。并用這種變化趨勢解決問題的方法叫做極限方法。 極限是研究微積分的基本工具。為了更好地描述極限概念，我們先從特殊函數(shù)數(shù)列入手，引入極限的概念。新課講授：1. 數(shù)列的極限 定義1 按一定順序排列的一串數(shù)， 稱為無窮數(shù)列，簡稱數(shù)列，記作。通常稱為數(shù)列第一項，為數(shù)列第二項，為數(shù)列第項，亦稱通項或一般項。例如（1） 數(shù)列：，。其通項為；（2） 數(shù)列：，。其通項為；（3） 數(shù)列：，。其通項為；（4） 數(shù)列：，。其通項為。上述各例中我

3、們不難看出，當項數(shù)無限增大時，每個數(shù)列都有一定的變化趨勢。有的無限趨于某一固定常值，有的是在某兩個常數(shù)間跳動，有的隨著項數(shù)無限增大而增大等。對于數(shù)列是否有一個確定的變化趨勢，是否向著某個常值趨近是我們本章節(jié)討論的重點。定義2 對于數(shù)列與常數(shù)，如果當無限增大時，無限接近于（即對任意小的正數(shù)，有），則稱常數(shù)為數(shù)列的極限，記作 或 讀作：當趨于無窮大時，趨于,亦稱數(shù)列收斂于，反之，稱數(shù)列是發(fā)散的。注：對于數(shù)列項數(shù)來說，只能取正整數(shù)。在以后討論數(shù)列極限時，不再說明。討論引例中數(shù)列的斂散性。（1）當無限增大時，無限接近于0,即，故數(shù)列是收斂的；（2）當無限增大時，無限增大,即極限不存在，通常也寫成，故數(shù)

4、列是發(fā)散的；（3）當無限增大時，在1和0之間跳躍,即極限不存在，故數(shù)列是發(fā)散的；（4）當無限增大時，無限接近于1,即，故數(shù)列是收斂的；2函數(shù)的極限上面我們討論數(shù)列的極限，數(shù)列可看作自變量為，定義域為正整數(shù)集的函數(shù) 。若不囿于數(shù)列中自變量只取正整數(shù)，擴展自變量的定義，可以由此引出實數(shù)自變量的函數(shù)的極限概念，以下分兩種情況討論。（1 ）當時，函數(shù)的極限定義3 設函數(shù)在 （為某個正實數(shù))時有定義，如果當時，相應的函數(shù)值無限接近于某一個的常數(shù)（即對任意小的正數(shù)，有），則稱在這個變化過程中極限存在，且是以為極限的，記作 或亦稱當時函數(shù)收斂于，反之，若極限不存在，則稱發(fā)散的。如果上述定義中，我們限制取正，

5、取負時，可以引出和時極限定義。定義4 設函數(shù)為某個實數(shù))內(nèi)有定義，如果當時，相應的函數(shù)值無限接近于某一個的常數(shù)，則稱在此變化過程中極限存在，且是以為極限，記作 或定義5 設函數(shù)(為某個實數(shù))內(nèi)有定義，如果當時，相應的函數(shù)值無限接近于某一個的常數(shù)，記作 或由上述定義，注意到當時，意味必須同時考慮和。從而我們?nèi)菀椎玫较旅娑ɡ恚?定理1 極限存在，且等于的充要條件是：與都存在且等于，即（2）當時，函數(shù)的極限 滿足不等式（其中為大于0的常數(shù)）的一切，稱為點的領域，記作。它的幾何意義為：以為中心，為半徑的開區(qū)間。對于滿足不等式（其中為大于0的常數(shù)）的一切，稱為點的去心領域，記作。定義6 設函數(shù)在點的去心

6、鄰域內(nèi)有定義，如果當時，相應的函數(shù)值無限接近于某一個的常數(shù)（即對任意小的正數(shù)，有），則稱在此變化過程中極限存在，且是以為極限，記作 或亦稱當時函數(shù)收斂于，反之，若極限不存在，則稱發(fā)散的。在上述定義中，如果我們限制趨近于的方式，即可以引出和相應極限定義。定義7 設函數(shù)在點的左半鄰域內(nèi)有定義，如果當時，相應的函數(shù)值無限接近于某一個的常數(shù)，則稱為當趨近于時函數(shù)的左極限，記作 或定義8 設函數(shù)的右半鄰域內(nèi)有定義，如果當時，相應的函數(shù)值無限接近于某一個的常數(shù)，則稱為當趨近于時函數(shù)的右極限，記作 或一般地，左極限和右極限我們又統(tǒng)稱為單側極限，它考慮的是自變量趨近于的方向，所以應注意：左、右極限不能寫成和。

7、由上述定義，注意到當時，意味必須同時考慮和。從而我們?nèi)菀椎玫较旅娑ɡ恚?定理2 極限存在，且等于的充要條件是：和都存在，且等于，即3極限的性質(zhì) 在本教材中，凡不標明自變量六種變化過程的，符號均表示適用于 各種情形。下面我們僅以極限形式為代表不加證明給出極限的性質(zhì)： 性質(zhì)1(唯一性) 若極限存在，則其極限是唯一的。性質(zhì)2(有界性) 若極限存在，則函數(shù)在某去心鄰域內(nèi)有界。性質(zhì)3(保號性) 若極限存在，且A0（或A0)，則函數(shù)在某去心鄰域內(nèi)恒有0（或0)。推論1 若極限存在，且0（或0)，則恒有A0（或A0)性質(zhì)4(夾逼準則) 若當時，有，且，則性質(zhì)5（數(shù)列單調(diào)有界原理）單調(diào)有界數(shù)列必有極限。三、例

8、題講解例1 已知函數(shù)，畫出函數(shù)的圖形，求，并討論是否存在。圖1-1解 的圖形（圖1-4），由圖形不難看出：=即：所以，不存在例2 已知函數(shù)畫出函數(shù)的圖形，求，并討論是否存在。圖1-2解 的圖形（圖1-4），由圖形不難看出：=即：=所以，存在，且等于0。即例3 解 例4 解 例5 已知函數(shù)（圖1-6）所示，求，并討論是否存在。解 根據(jù)的分段表達式，并觀察圖形得：=1圖1-3=1即：=1所以，存在，且等于1即=1例6 已知函數(shù)畫出函數(shù)的圖形，求，并討論是否存在。解 的圖形（圖1-7），且=-1=1即：圖1-4所以，不存在.四、課堂練習 練習：1. eq oac(,1) eq oac(,2) eq

9、oac(,3) eq oac(,4)2當n時，下列數(shù)列極限是否存在，若存在，求其極限值 eq oac(,1) eq oac(,2) eq oac(,3) eq oac(,4) 3計算下列數(shù)列極限： eq oac(,1) eq oac(,2)4習題1-4 1、2、3、4五、課時小結： 1.函數(shù)的極限（1）極限思想（2）極限的計算方法六、課后作業(yè)（習題1-4 5、6、7）七、板書設計：第四節(jié) 極 限一、數(shù)列極限二、函數(shù)極限例題與練習（副板書）八、課后分析：數(shù)列是特殊的函數(shù)，項數(shù)為自變量，項為函數(shù)，通項（公式）為函數(shù)關系式。其中定義域為正整數(shù)集。A 為常數(shù)注意：函數(shù)在某點處的極限與函數(shù)在該點是否有定義、函數(shù)值是多少無關.例3,4，5和6說明了下列幾種重