《計(jì)算方法》課件：Ch6_1 插值型求積公式

1、第六章 數(shù)值積分 本章內(nèi)容 6.1 插值型求積公式 6.2 復(fù)化求積公式 6.3 Romberg積分實(shí)際問題中，往往需要計(jì)算定積分問題的提出Newton-Leibniz公式： ，困難： 某些函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)來表示；如： 等； 簡單，但 過于復(fù)雜，不便計(jì)算； 以數(shù)據(jù)形式給出。 數(shù)值方法由 由積分中值定理： 定積分的值可能期望用被積函數(shù)的值來直接決定，只需給出平均值：的某種近似算法，便能相應(yīng)地獲得一種數(shù)值積分方法。 基本思想，可見如：梯形公式 中矩形公式 機(jī)械求積求積節(jié)點(diǎn)求積系數(shù)，亦稱伴隨節(jié)點(diǎn) 的權(quán)類比： 分類： 插值型求積公式： 插值多項(xiàng)式 外推型求積公式：由低階精度公式的線性組合 構(gòu)

2、造高階； 機(jī)械求積 定積分定義 本節(jié)內(nèi)容提要方法概述 Newton-Cotes公式 梯形公式、Simpson公式、Cotes公式 誤差分析 代數(shù)精度、截?cái)嗾`差6.1 插值型求積公式一、方法概述稱 為計(jì)算 的插值型求積公式 二、Newton-Cotes公式 取等距節(jié)點(diǎn) 稱為Newton-Cotes公式 Cotes系數(shù)多項(xiàng)式積分1、梯形公式： 梯形公式- 線性插值幾何意義：直線近似替代曲線 2、Simpson公式（拋物線公式）： Simpson公式幾何意義：- 拋物線插值拋物線近似替代曲線 3、Cotes公式： 注：Cotes公式一般， 梯形公式 Simpson公式 Newton公式 Cotes公

3、式 例：解： n適當(dāng)增大時(shí)，精度有所改善！三、誤差分析1、代數(shù)精度若求積公式對于次數(shù) 均能準(zhǔn)確成立，而至少對于一個(gè) 的多項(xiàng)式立，則稱求積公式具有 次多項(xiàng)式不能準(zhǔn)確成次代數(shù)精度。插值型求積公式誤差為： 若 為次數(shù) 的多項(xiàng)式，則 ，從而 個(gè)節(jié) 點(diǎn)的插值型求積公式至少有 次代數(shù)精度。判別定理 Th1： Th2： 例：證明：例：解：3次精度2、截?cái)嗾`差 梯形公式：廣義積分中值定理 Simpson公式： 事實(shí)上，由于Simpson公式具有三次代數(shù)精度，因而對三次多項(xiàng)式準(zhǔn)確成立，作滿足條件的3次Hermite插值 3次代數(shù)精度插值條件 Cotes公式：同理可得， 具有5次代數(shù)精度； 由誤差公式可知區(qū)間過大，誤差亦大；為避免可選取適當(dāng)多的節(jié)點(diǎn)，即選取相對高階的Newton-cotes公式；但由穩(wěn)定性分析又