滬教版高中一年級奧數(shù)《二次函數(shù)與方程、不等式》精講

1、二次函數(shù)與方程、不等式 第4講 二次函數(shù)與方程、不等式段意賽熱點，考點“知遲點函數(shù)，(/=a/+W+c (a WO)稱為二次函數(shù)，經(jīng)配方后成/(公= (I+ ；+生二二，它的圖像是拋物線.學(xué)習(xí)二次函數(shù)時,要注意其代數(shù) 2a 4a形式的變化以及圖像的特點，掌握好二次函數(shù)的對稱性、單調(diào)性、最值以及圖像 的對稱軸、開口、頂點等.二次函數(shù)應(yīng)用廣泛，是研究二次三項式、二次方程、二次不等式問題的基礎(chǔ). 二次方程根的分布、二次不等式恒成立等問題又是各類命題中的熱點.一元二次方程實根的分布有許多結(jié)論：如對于函數(shù)/(幻=2 +6z + c (a r0),方程/(%) =0在區(qū)間(加，)內(nèi)有且只有一個實根，且加、

2、都不是 根 /(n)0,等等.借助于圖像可以得到這些結(jié)論.電螳例髭精詡?cè)艉瘮?shù)/(Z) =/+a j；-1 |在10, +8)上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍.解 在1, +8)上，f(G =/+aia單調(diào)遞增，等價于一告&1,即 乙a2一2.在0, 上，fCr)=-az+a單調(diào)遞增,等價于即a1, fb-a)=/(3-a2).求/(幻的最小值.1IQ1 /I 2解 如果 46 a = 3 Y ,貝(J。= ( a2 +a + 3) =a) l產(chǎn)生矛盾！所以奶一口73 .2.10由于，(妨一 a) = /(3 ,故橫坐標(biāo)為46 a與3 Y的點關(guān)于對稱軸彳=對稱.于是(4b a) + (3 =2x(

3、一),化簡得到奶一/ =-3.所以/（%）的最小值是6卑 =-4. 44若關(guān)于1的方程n2 +aa+6 3 = 0 (a, b R)在區(qū)間1, 2上有實根，求/+3 4）2的最小值.解 由 /+。力+6-3 = 0知=一/一。% + 3.所以a2 + S 4)2 = / +(_幺 一。1 _ i)2 =a2 +(幺 +i)2 + 2az(/ 十 n 十弓2/ =(x2 + 1)(/ + 1 + 2ax + a2) = (x2 + l)(x4-a)2 +2 + 1.因為 1, 2,所以(6 4)2)/+i2,當(dāng)1 = 1, a = 1, 6 = 3時,等號成立.o SHU JNG JANG YU

4、 OE SH一所以，a? + S 4）2的最小值為2.已知函數(shù)/（x） = x2 2mx +加一l,z0, 4，7h是實常數(shù)，求函數(shù)/（%）的最大值與最小值.解 /（Z）=（1-771）2 + m 1, % e 0, 4,直線 x = m 是對稱軸.（1）當(dāng)初0時Cr）m=f（4） = 15 7四 /（ = /（0）=771-1 （注: /（Z）a指八工）的最大值J（外晶指fS）的最小值）；(2)當(dāng) 0Wm&4 時，/(%)11n =/(加)=/+a1, 1rax = max/(0), /(4).若 04M42 時，則 /(%)a = y(4) = 15-7m；若時，則F（z）e = f（。）

5、= m 1；(3)當(dāng) m 4 時，/(外的=f(0) = m 1, /(x) = /(4) = 15 Im.說明!這是一個給定區(qū)間含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題.類似還有給定對稱軸、區(qū)間由參數(shù)確定的二次函數(shù)最值問題，如：求函數(shù)/（工）=%2-21，“如32奧數(shù)精講與測試（修訂版）.高一年級 第4講 二次函數(shù)與方程、不等式-加+1的最大值與最小值，也需討論對稱軸與區(qū)間的關(guān)系.用最值還可以解決不 等式在定區(qū)間上恒成立問題，如：已知關(guān)于7的不等式爐一2的+秋一在 區(qū)間0, 4上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.實際上就是求Hi的范圍，使 /(R)max V。(/(x) = x2 27nlz +九一1, 0, 4

6、).是否存在二次函數(shù)八公,使得條件(1)當(dāng)|幻41時，1/(幻I&1;(2) 1/(2) | )7同時成立?解 存在，如于=2/ - 1.易證它滿足條件.說明本題 f(%)可以求，設(shè)/(%)=歷:+c.由 f(l)=a+6+c, /(1)=a = C,得+8-/(-%+22八。)，所以|八2) |= f+F與D2，,4+f一八一1) .2 + 22/(0) =| 3/(1)+/(-!)-3/(0) |3 I /(I) 1+1 /(-I) 1 + 3 1/(0) |7,根據(jù)等號成立的條件得/(D =/(-1) =-/(0) = 1或一1,解 得。=2, 6 = 0,。=一1 或。=-2, b =

7、 0, c = 1.所以/Cr)只能是 2z?1 或 一2/+1,進(jìn)一步可以驗證，它們都符合條件.若函數(shù)fGr) =&2-4*+1,10, 的最大值是M(a),最小值是根(a),求M(a)一加(a)的表達(dá)式.解 /(x) = (X 2a)2 4a + 1, a W 0. a(1)若a VO, Ma) = /(%)皿=/(0) = 1,加(短)=八*).=/(I)=3,所以 M(a) m(a) = 4 ； TOC o 1-5 h z aa(2)若a0,當(dāng)0V2aWl 即0Va41時，zn(a) =/(x) =/(2a)=一4a + l, M(a) = /(%) 1rax = max/(0), /

8、(l),/(I) /(0) = 3 1 = a1 4a11i.所以當(dāng) 二時，M(a) = /(I) =3, M(a) m(a) =Pa4aa4a 4；當(dāng):時，M(a) = /(0) = 1, M(a) m(a) = 4a；當(dāng) 2a 1 即 時，M(a) = /(0) = 1, m(a) = /(l) = 3,所，a以 M(a) m(a) = 4.a114, 當(dāng) qVO 或 qf 時;a，綜上可知，M(a)-mda)= ,+ 4-4,當(dāng)0 V時； a4114a,當(dāng)彳0在-2, 3內(nèi)恒成立；(2)山0時,/(幻=(22+%+1)+3。在-2, 3內(nèi)恒成立；(3)改o SHU JNG JANG YU

9、 OE SH一設(shè)函數(shù)fGc) =-yx2 +i+a (常數(shù)),問：是否存在實數(shù)m、n (n?O).使函數(shù)/(力)的定義域和值域分別是區(qū)間相，tT和3m, 3tzj?1)=3得方程解 f(.x) =包-1)2+。+ ，若九 1,則 a+ 3,使 a 1，這不可能，所以 YL F3 在國，0,根都在(一8, 1)內(nèi)，貝岫j g(D = 5 2a 0,解得一2 a V，所以一2 V 1-2z + l,所以4/+(461丘+62_120.又6 一 2z, z 0, 1,所以 6 (- 2)皿=0.方法一：取Z=0得所以61(必要條件).又時,4/ +(必一 1)l+ - 10顯然成立，所以是充要條件.

10、方法二：設(shè)/(Z) = 42 + (46l)z 加,在0, 1上恒有 r/(o)or/(i)o所以()或0解上面的不等式組，得 I-1.所以 O方法三：由 472 + (46 1)2 + 62-120得62+4*6+4%2Z120,又 b0,所以 62彳 +0, 1,即 6)(一 2力+，7不7)皿，*0, 1J 令 S=-2z +/r + L則 1, S=-2/+ +2= - 2(-7 +2 + 不，所以$皿=1 ( = 1 取到)，所以 61. 、4 /O一、選擇題.函數(shù)/(工)=/+2父+3在加，0上的最大值為3,最小值為2,實數(shù)相 的取值范圍是().A. 1, 2 B. (8, -1

11、C. -1, 0 D. 2, 1.函數(shù)/(%) = ax +6jr+0)滿足/(1 + 2) = /(2x),正確的是（ ）.A. /U-2) = fWfWD. /（0） 0),若 f(m) 5二、填空題o SHU JNG JANG YUCESH-36.關(guān)于力的方程h2 1 + 13）%+公一4一2 = 0的兩根分別在（0, 1）和 （1, 2）內(nèi)，實數(shù)A的取值范圍是.已知函數(shù)/（%） = ax2 +6z Cab豐0）,若/（%）=雙）（為工工2），則 + g）的值為.函數(shù)y = 一 1 的單調(diào)遞增區(qū)間為.J - 4% 5.兩條不同的拋物線y =x2 +萬+ 1與y = x k經(jīng)過軸上的同 一

12、點時，實數(shù)k的值為.二次函數(shù)八外滿足了（n 2） =f（一-2）,且圖像在軸上的截距為 1,在1軸上截得的線段長為2氏則八力）的解析式為/氏）=.若二次函數(shù) /（%）=%彳2 +6i + q 和 %（）=+仇 +。2,使得奧數(shù)精講與測試（修訂版）第4講 二次函數(shù)與方程、不等式 A(x) /2(x)在1, 2上是單調(diào)遞減函數(shù)，在1, 2上有最大值5,最 小值3,請給出一組滿足上述條件的函數(shù)力(幻=,月(外=三、解答題.已知函數(shù)，(%)=/一m%+ 5在區(qū)間-1, 1上有最小值屋段)，求 g(加)的解析式.已知定義域為0, H上的函數(shù)/Or) = 1 I 1 - 2z I和gG)=一 1凡且FG)

13、=/g型源力If (z)，右/(工) 0 且 6 2 0). 已知八0) | = | /(I) | = | /(-I) |= 1,試求八力的解析式及 /(%)的最小值；已知 |6|4用(0)|11, (一DIWL |&1,當(dāng)|t|&1 時，求證：I /(x) |4二.4B卷一、填空題.已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過三點A弓，千)、B(-l, 3)、C(2, 3),則其 解析式為.已知函數(shù) fCz)=。力2一% 滿足-4/(1)(一1, 一1&/(2)45,貝 I 八3)的取值范圍是.若不等式0&/ +力2 + 5 4 1恰好有一個實數(shù)解，則p的取值范圍是6、c滿足a2 be - 8a + 7 = 0

14、一 則a的取值范圍Zr +慶一6a + 6 = 0,.設(shè)實數(shù)a、 .已知函數(shù)/(幻=/-21+ 2,%, r + 1)的最小值是g(D,那么g()=. a、6都為正實數(shù)，方程/ + az + 26 = 0和/ + 2江+。= 0都有實數(shù) 根，則a + 6的最小值是.已知a為實數(shù)，對于一切實數(shù)了，二次函數(shù)了 = /-4奴+2a+ 30的值 均為非負(fù)數(shù)，方程一行=|。-1 |+1的根的取值范圍是.a 4-3.已知 -4n+6 = 0的一個根的相反數(shù)為/ +4z-。= 0的根，則/ + ba 4 = 0的正根為.設(shè)方程|Z2一 = %+。的不相等的實根個數(shù)為.4.二次函數(shù)/)=。/ + (3。-1)

15、%(10+ 3)(。#0)的圖像恒過兩 個定點，這兩個定點的坐標(biāo)是.函數(shù)/包)滿足f(3+z) =f(3 z), zg R,且方程義工)=0恰有三 個不同的實根，這三個實根的和為.拋物線y = x2 bxy y =-x2 +bx與直線y = kx最多能把平面分成 部分.o SHU JNG JANG YU OE SH-二、解答題.已知拋物線/(G =+r+q上有一點M(H0, /()位于Z軸的 下方.(1)求證：已知拋物線必與n軸有兩個交點A (為，0)、B(x2, 0),且4 在為、孫之間；(2)若點M為(1, 一2)時,求整數(shù)工、&.已知 a、b、c R,函數(shù)fO) = axL -rbx-c

16、. g(z) =。+。，當(dāng)| x &時，()I1.(1)求證：I c |0,當(dāng)|時,g(z)的最大值為2,求/Cr).設(shè)二次函數(shù)/(n) = a/ +就+C屹 0),方程/(力=z的兩個根與、奧數(shù)精講與測試(修訂版)高一年級二次函數(shù)與方程、不等式- 以滿足0 V V12 Vl.當(dāng)(0,為)時,證明:/(x) xj ；(2)設(shè)函數(shù)/(%)的圖像關(guān)于直線I =與對稱,證明： 0恒成立，則實數(shù)。的取值 范圍是.二、解答題.設(shè)函數(shù)/(了)= ax2 +8z + 3 (a V 0),對于給定的負(fù)數(shù)a,有一個最大 的正數(shù)2(。)使得在整個區(qū)間0, 2(a)上不等式| /(力)| &5都成立. 問：a為何值時Z(a)最大？求出這個最大的Z(a).已知實數(shù)a、A c滿足江一qc V 0,且由方程a(lgx)2 + 2MgM-Igy) 十C(lg)2 =1所表示的曲線過點(10,專)，求證：對于這條曲線上的任 意一點PCz, y),成立著不等式一一二-WlwCzyX1Mac Vac b.設(shè)二次函數(shù)/(X)當(dāng)z = a時取最大值5, a0.而二次函數(shù)g(x)的最 小值為2,并且g(a) = 25, f(H)+g(z) = x2 + 16x