交通大學學年第二學期《高等代數(shù)I I》期末考試試卷

1、交通大學學年第二學期高等代數(shù)I I期末考試試卷(B)答案與評分標準一、填空題(每小題3分,共30分) 1.全體n階實反對稱矩陣, 關(guān)于矩陣的加法與數(shù)乘作成實數(shù)域上的線性空間,它的維數(shù)等于 .2.已知 1 = 1, 2 = x, 3 = x2, 4 = x3 和 1 = 1, 2 = 1+x, 3 = (1+x)2,4 = (1+x)3 是線性空間的兩組基, 則由基1, 2, 3, 4到基1, 2, 3, 4的過渡矩陣是 .3. 中的向量在基下的坐標是, 則在基下的坐標是 .4. 設矩陣有3個線性無關(guān)的特征向量，則= 0 .5. 設歐氏空間V的兩組基1, 2, , n與 1, 2, , n的度量

2、矩陣分別是A與B,從基1, 2, , n到 1, 2, , n的過渡矩陣是C, 則A與B之間的關(guān)系是 .6.上線性變換A（其定義為A）的值域的一組基是 (1,2) 核的維數(shù)為 1 7. 以下斷言正確的有 ( A,B )(A) 設是n維線性空間的子空間。若，則和是直和；(B) 若階方陣有個不同的特征值，則可以對角化；(C) 階方陣的最小多項式的次數(shù)必小于； (D) 有限維歐氏空間中保持長度不變的變換一定是正交變換。8. 以下集合對于所指的線性運算構(gòu)成實數(shù)域上線性空間的有 ( B ) (A) 次數(shù)等于3的實系數(shù)一元多項式的全體，對于多項式的加法和數(shù)量乘法；(B) 全體階實對稱矩陣, 關(guān)于矩陣的加法

3、和數(shù)量乘法；(C) 平面上不平行于 軸的向量全體，關(guān)于向量的加法與數(shù)量乘法； (D) 平面上的全體向量，關(guān)于向量的加法和以下定義的數(shù)量乘法： （零向量）。9. 下列變換A中，是線性變換的有 ( A,B ) (A) 在中，A； (B) 在中，A（；(C) 在中，A，其中是n 階單位矩陣； (D) 把復數(shù)域看作復數(shù)域上線性空間，定義A 其中是復數(shù)的共軛 。10. 對線性空間R2中以下函數(shù)f，不是線性函數(shù)的有 ( B，C，D ) (A) f(x1, x2) = 4x1 + x2log38 ； (B) f(x1, x2) = x1 + 4x2 + 4；(C) f(x1, x2) = x12 + x1x

4、2 + x22 ； (D) f(x1, x2) = sinx1 + cosx2 。二、（12分）記為實數(shù)域上3階方陣全體，則關(guān)于矩陣的加法與數(shù)乘構(gòu)成實數(shù)域上線性空間。設，令。（1）證明是的一個子空間；（2）求的維數(shù)和一組基。解 (1) W不空 1分W關(guān)于加法、數(shù)乘封閉 4分(2) 9分的維數(shù)是5，是一組基。 12分 （12分） 在線性空間中定義線性變換為 ，求在基下的矩陣；求的一組基，使在這組基下的矩陣為對角矩陣，并寫出該對角陣。解 (1)求在基下的矩陣為 3分（2）A 的特征根為1，1，2，2。 .6分對應特征值1，解齊次線性方程組得基礎解系 .8分對應特征值2，解齊次線性方程組 得基礎解系

5、 .10分令則P可逆。于是是基， .11分且A在該基下矩陣為對角陣 .12分四、（12分）求矩陣的不變因子、最小多項式和Jordan標準形。解 6分不變因子， 7分最小多項式 8分初等因子 10分 Jordan 標準形是 12分五、（12分）設1, 2, 3 是歐氏空間V的一組基, 這組基的度量矩陣是又設 1 = 1 + 2 ，(1) 證明 1 是一個單位向量；(2) 求x使 1 與 2 = 1 + 2 + x3 正交；(3) 把所求出的 2 單位化, 并記作 2 ；(4) 給出正交補空間的一組基。解 (1) (1 , 1)=1 2分(2) (2, 1)=x+1=0, x= -1. 所以 2 = 1 + 2 -3 6分(3) （2 ，2 ）=5, 所以 8分(4) 是V的一組基，令則是正交補空間的一組基。 12分六、（7分）設是線性空間的一組基，是它的對偶基。記證明也是的一組基，并用表示的對偶基。證 （1）因為 2分且矩陣可逆，所以是的一組基 3分記表示的對偶基，則 6分 即。 7分七、證明題 (每小題5分，共15分）1.設分別是數(shù)域上齊次線性方程組與的解空間。證明可表為與的直和。2設是階非零方陣，且存在正整數(shù)使。證明不能相似于對角陣。3.設是n維歐氏空間一個標準正交向量組。證明關(guān)于中任意向量，都有下面的不等式成立： 。