北京市通州區(qū)2024屆高三上學(xué)期期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題 含解析

通州區(qū)2023—2024學(xué)年第一學(xué)期高三年級期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷2023年11月本試卷共4頁，共150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，請將答題卡交國.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由交集的運算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為集合，，則.故選：B2.已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算化簡即可求解.詳解】,故對應(yīng)的點為，在第三象限，故選：C3.已知向量，，，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.與的夾角為120°【答案】D【解析】【分析】利用向量平行，向量數(shù)量積，向量模，向量夾角的坐標(biāo)表示驗證各選項正誤即可得答案.【詳解】A選項，因，則與平行，故A錯誤；B選項，因，故B錯誤；C選項，，又，則，故C錯誤；D選項，，又，則，即與的夾角為120°，故D正確.故選：D.4.已知函數(shù)，則（）A.當(dāng)且僅當(dāng)，時，有最小值B.當(dāng)且僅當(dāng)時，有最小值2C.當(dāng)且僅當(dāng)時，有最小值D.當(dāng)且僅當(dāng)時，有最小值.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由基本不等式，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，有最小值2.故選：B5.下列命題中的假命題是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】對于A，根據(jù)指數(shù)的值域為可判斷；對于B，取可判斷；對于C，取可判斷；對于D，取可判斷.【詳解】對于A，因為指數(shù)函數(shù)的值域為，所以，，A對；對于B，當(dāng)時，，B對；對于C，當(dāng)時，，C錯；對于D，當(dāng)時，，D對.故選：C.6.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，，又，從而可得.【詳解】因為，所以，即，因為，所以，即，而，所以.故選：B.7.在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，則“角的終邊過點”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義即可判斷.【詳解】當(dāng)角的終邊過點時，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得，充分性成立；當(dāng)時，為第二象限角或第四象限角，若為第四象限角，則角的終邊不過點，必要性不成立.所以“角的終邊過點”是“”的充分不必要條件.故選：A.8.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求導(dǎo)可判斷A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判定BC，根據(jù)函數(shù)圖象即可判定D.【詳解】對于A,,所以在上單調(diào)遞增，故A錯誤，對于B，由于，所以在上單調(diào)遞增，B錯誤，對于C，，故在上單調(diào)遞減，C正確，對于D，的圖象如下所示：故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故D錯誤，故選：C9.已知函數(shù)是奇函數(shù)，且，將的圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)及圖象變換計算即可.【詳解】由題意可知，，所以或，由因為，所以，即，故.故選：A.10.已知數(shù)列的前項和為，且，則下列四個結(jié)論中正確的個數(shù)是（）①；②若，則；③若，則；④若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍是.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由，可得，兩式相減得到，進(jìn)而可得，可判斷①，根據(jù)的值可判斷是否為等差，再根據(jù)等差數(shù)列得前項和公式即可求解②③；根據(jù)條件得，，再根據(jù)數(shù)列單調(diào)遞增，則必有，且，求解即可得出的取值范圍．【詳解】因為，當(dāng)，，兩式相減得，所以，兩式相減得，故①錯誤，當(dāng)時，令，則，，得，所以，令，則，，得，所以，則，所以，故奇數(shù)項是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，偶數(shù)項是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，則，所以②正確；當(dāng)時，令，則，，得，所以，令，則，，得，故偶數(shù)項是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，奇數(shù)項從第二項開始以為首項，2為公差的等差數(shù)列，則，所以③正確；由于，，，則，又?jǐn)?shù)列單調(diào)遞增，則必有，且，所以，且，解得，所以的取值范圍是，所以④正確．故選：C．第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知函數(shù)，則的定義域為____________.【答案】【解析】【分析】依題意可得，，求解即可.【詳解】依題意可得，，解得且，所以的定義域為.故答案：.12.已知數(shù)列是等比數(shù)列，，，則數(shù)列的通項公式________；數(shù)列的前9項和的值為__________.【答案】①.②.171【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列基本量的計算即可求解，，進(jìn)而根據(jù)公式即可求解.【詳解】由，可得，，所以，，故答案為：，17113.已知實數(shù)a，b滿足關(guān)于x的不等式的解集為，且滿足關(guān)于的不等式的解集為，則滿足條件的一組a，b的值依次為______.【答案】故答案為：（答案不唯一，只要滿足就行）【解析】【分析】利用一元一次不等式的解集和二次不等式恒成立列不等式即可求解.【詳解】因為關(guān)于x不等式的解集為，所以，又關(guān)于的不等式的解集為，所以，解得，所以滿足條件的一組a，b的值依次為，（答案不唯一，只要滿足就行）故答案為：（答案不唯一，只要滿足就行）14.在等腰中，，，則____________；若點滿足，則的值為___________.【答案】①.②.【解析】【分析】利用余弦定理、平面向量及其線性運算、平面向量數(shù)量積的定義及運算分析運算即可得解.【詳解】解：如上圖，由題意等腰中，，則，∵，，∴，∴，即，∵由余弦定理得，∴，即，又因邊長，∴.∴是等邊三角形，則，，∵，∴，，∴.故答案為：；.15.已知函數(shù)，，給出下列四個結(jié)論：①函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；②函數(shù)的最大值是；③若關(guān)于的方程有且只有一個實數(shù)解，則的最小值為；④若對于任意實數(shù)a，b，不等式都成立，則的取值范圍是.其中所有正確結(jié)論的序號是_______.【答案】②④【解析】【分析】對于①，由分段函數(shù)的單調(diào)性判斷①；對于②，先得到函數(shù)的奇偶性，求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，畫出的圖象，數(shù)形結(jié)合得到的最大值；對于③，考慮方程有且只有一個交點；對于④，轉(zhuǎn)化為恒成立問題即可判斷.【詳解】對于①，當(dāng)時，，二次函數(shù)開口向下，對稱軸為，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，；當(dāng)時，單調(diào)遞減，；但無法判斷與的大小，故無法判斷函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性，①錯誤；對于②，定義域為R，且，故為奇函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，且，時,時,畫出的圖象如下：由圖象可得最大值是，②正確；對于③，當(dāng)時，由可得或，因此，故無解；可化為，故，故只有一個實數(shù)解，故③錯誤.對于④，由②可得，，若對于任意實數(shù)a，b，不等式都成立，則，所以只需，，故的取值范圍是，④正確.故答案為：②④【點睛】函數(shù)零點問題：將函數(shù)零點問題或方程解的問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖象交點問題，將代數(shù)問題幾何化，借助圖象分析，大大簡化了思維難度，首先要熟悉常見的函數(shù)圖象，包括指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，三角函數(shù)等，還要熟練掌握函數(shù)圖象的變換，包括平移，伸縮，對稱和翻折等，涉及零點之和問題，通?？紤]圖象的對稱性進(jìn)行解決.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，若，求的值域（2）若有兩個零點，分別為，，且，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而可求解；（2）根據(jù)題意可得，進(jìn)而可求解.【小問1詳解】當(dāng)時，的對稱軸為，且開口向上，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，所以，所以當(dāng)，的值為；【小問2詳解】的兩個零點分別為，且，，即，解得或，故的取值范圍為.17.已知函數(shù).（1）求的值；（2）求的最小正周期及單調(diào)區(qū)間；（3）比較與的大小，并說明理由.【答案】（1）（2）,遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為（3），理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)二倍角的正余弦公式和兩角和的正弦公式化一，從而可求解；（2）根據(jù)周期公式可求周期，令，求解可得增區(qū)間，令，求解可得減區(qū)間；（3）由周期可得，再利用單調(diào)性即可求解.【小問1詳解】，所以；【小問2詳解】的最小正周期,令，解得；令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問3詳解】，理由如下：由（2）可知的最小正周期,所以，由（2）可知，在上單調(diào)遞增，又，所以，即.18.已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中，，再從下面給出的條件①，條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一.（1）求的值；（2）求的面積.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）若選①，先求出，然后利用正弦定理可求；若選條件②，由余弦定理可檢驗是否存在；若選條件③，由余弦定理可求；（2）結(jié)合三角形面積公式即可求解．【小問1詳解】若選①，又因為,所以，所以，由正弦定理得，所以；若選條件②，由余弦定理得，整理得，此時方程無解，即這樣的三角形不存在，所以條件②不能選；若選條件③，由余弦定理得，整理得，解得或（舍去），所以.【小問2詳解】由（1）可知，所以.19.已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求的極值；（3）若對于任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）極小值為，無極大值（3）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，即可得斜率，進(jìn)而可求直線方程，（2）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性，即可求解極值，（3）將恒成立問題參數(shù)分離，構(gòu)造函數(shù)即可求導(dǎo)求解最值求解.【小問1詳解】由得，又，所以在切線為【小問2詳解】令，則，故在單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取極小值，無極大值，【小問3詳解】由得，故，構(gòu)造函數(shù)則，令，則，故當(dāng)時，，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減，故當(dāng)取極小值也是最小值，，所以，即20.已知函數(shù)，，.（1）求的值；（2）求在區(qū)間上的最大值；（3）當(dāng)時，求證：對任意，恒有成立.【答案】（1）（2）時，，時，時，，（3）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)即可代入求解，（2）分類討論，即可根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性并求解最值，（3）將問題轉(zhuǎn)化為，對分類討論，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可利用單調(diào)性求解最值求證.【小問1詳解】由得，所以，【小問2詳解】由得，當(dāng)時，，故區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，令，則，令，則，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時，，此時在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，，此時在區(qū)間上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，綜上可得：時，，時，時，，【小問3詳解】要證，即證，即證明，當(dāng)時，，而，所以，當(dāng)時，記，則，記，由于，所以當(dāng)單調(diào)遞增，所以，故在單調(diào)遞增，故，故，綜上，對任意，恒有【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟(1)作差或變形；(2)構(gòu)造新的函數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．21.已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，且滿足（，且